\documentclass[11pt,a4paper,oneside,fleqn]{article}

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 % Einstellungen

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 % Neue Kommandos

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 \newcommand{\re}{{\rm Re}\,}
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 \newcommand{\ee}{\end{equation}}
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 \newcommand {\Z}{\field Z}

 % Umgebung fuer Saetze

 \newtheorem{satz}{Satz}%[section]
 \newtheorem{lemma}[satz]{Lemma}
 \newtheorem{hilfssatz}[satz]{Hilfssatz}
 \newtheorem{korollar}[satz]{Korollar}
 \newtheorem{prop}[satz]{Proposition}
 \newtheorem{defi}[satz]{Definition}
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 \newtheorem{beis}[satz]{Beispiel}

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\newcommand{\dist}{\operatorname{dist}}

 \begin{document} 
 \pagestyle{empty}
\noindent Mathematisches Institut LMU 
\hspace{7cm} 09.05.2005\\
Prof. Dr. H. Steinlein \\
 \begin{center}
{\Large \bf {\"Ubungsblatt 5 zu MPIIA}  }
 \end{center}

\ %

\vspace{1.5cm}

\noindent{\bf Aufgabe 17: (4 Punkte)} Man definiere
\begin{align*}
  \delta\ :\quad &\mathbb R\times\mathbb R\to\mathbb R\\
          & (x,y)\mapsto\arctan|x-y|\ 
\end{align*}
Zeigen Sie, da\ss\ \(\delta\) auf \(\mathbb R\) eine zu der
gew\"ohnlichen Betragsmetrik \"aquivalente Metrik ist.
\vspace{1cm}


\noindent{\bf Aufgabe 18: (4 Punkte)} Sei \((X,d)\) metrischer Raum,
\(A\subset X\) und \(x\in X\setminus A\) mit \(\dist(x,A)=0\). Zeigen
Sie, da\ss\ \(x\) Randpunkt von \(A\) ist. Hierbei bezeichnet
\(\dist(x,A):=\inf\{ d(x,y) : y\in A\}\). 


\vspace{1cm}

\noindent{\bf Aufgabe 19: (4 Punkte)} Es sei \((X,d)\) metrischer Raum
mit der Eigenschaft, da\ss\ \(X\setminus\{x\}\) kompakt ist f\"ur alle
\(x\in X\). Zeigen Sie, da\ss\ \(X\) endlich ist.

\vspace{1cm}


\noindent{\bf Aufgabe 20: (4 Punkte)} Sei \((X,d)\) metrischer Raum,
und \(A_1,A_2,A_3,\ldots\) Teilmengen von \(X\). 
\begin{enumerate}
\item[(a)] Sei \(B_n:=\bigcup_{j=1}^nA_j\). Zeigen Sie, da\ss\
\(\overline{B_n}=\bigcup_{j=1}^n\overline{A_j}\).
\item[(b)] Sei \(B:=\bigcup_{j=1}^\infty A_j\). Ziegen Sie, da\ss\
  \(\overline{B}\supset\bigcup_{j=1}^\infty\overline{A_j}\). Zeigen Sie,
  durch 
  ein Gegenbeispiel, da\ss\ Gleichheit nicht immer gilt.
\end{enumerate}

\ %

\vspace{3cm}


{\bf \noindent Abgabe bis \underline{{\it Donnerstag 19.05.2005}}, {\it 11.15} Uhr in den MPIIA
\"Ubungskasten im 1.~Stock vor der Bibliothek. \\
Unter {\tt http://www.mathematik.uni-muenchen.de/$\sim$sorensen}
sind die Bl\"atter im Internet abrufbar. \\
Sprechstunden: H. Steinlein: \hspace{1cm} Mo 10-11, Zimmer 318\\
\hspace*{2.95cm} T. S\o rensen: \hspace{1.02cm} Mi 14-15, Zimmer 335}
\end{document}