\documentclass[11pt,a4paper,oneside,fleqn]{article}

 % usepackages

 \usepackage{latexsym}
 \usepackage{amstext,amsthm}
 \usepackage{amsmath}
 \usepackage{amsfonts,german}
 

 % Einstellungen

 \setlength{\oddsidemargin}{0.46cm}
 \setlength{\textwidth}{16cm}
 \setlength{\mathindent}{1cm}
 \setlength{\topmargin}{-1cm}
 \setlength{\headheight}{0cm}
 \setlength{\headsep}{0cm}
 \setlength{\topskip}{0cm}
 \setlength{\textheight}{26cm}
 
 % Neue Kommandos

 \newcommand{\fa}{\qquad \forall \quad}
 \newcommand{\eps}{\varepsilon}
 \newcommand{\im}{{\rm Im}\,}
 \newcommand{\re}{{\rm Re}\,}
 \newcommand{\be}{\begin{equation}}
 \newcommand{\ee}{\end{equation}}
 \newcommand {\field}[1]{\mathbb{#1}}
 \newcommand {\B}{\mathcal{B}}
 \newcommand {\C}{\field C}
 \newcommand {\D}{\mathcal{D}}
 \newcommand {\E}{\mathcal{E}}
 \newcommand {\F}{\field{F}}
 \newcommand {\G}{\mathcal{G}}
 \newcommand {\K}{\mathcal{K}}
 \newcommand {\Ll}{\mathcal{L}}
 \newcommand {\N}{\field N}
 \newcommand {\Oo}{\mathcal{O}}
 \newcommand {\PP}{\mathcal{P}}
 \newcommand {\Q}{\field Q}
 \newcommand {\R}{\field R}
 \newcommand {\Ss}{\mathcal{S}}
 \newcommand {\T}{\field T}
 \newcommand {\Z}{\field Z}

 % Umgebung fuer Saetze

 \newtheorem{satz}{Satz}%[section]
 \newtheorem{lemma}[satz]{Lemma}
 \newtheorem{hilfssatz}[satz]{Hilfssatz}
 \newtheorem{korollar}[satz]{Korollar}
 \newtheorem{prop}[satz]{Proposition}
 \newtheorem{defi}[satz]{Definition}
 \newtheorem{bem}[satz]{Bemerkung}
 \newtheorem{beis}[satz]{Beispiel}

\newcommand{\Arsinh}{\operatorname{Arsinh}}
\newcommand{\Arcosh}{\operatorname{Arcosh}}
\newcommand{\Artanh}{\operatorname{Artanh}}
\newcommand{\Arcoth}{\operatorname{Arcoth}}

 \begin{document} 
 \pagestyle{empty}
\noindent Mathematisches Institut LMU 
\hspace{7cm} 02.05.2005\\
Prof. Dr. H. Steinlein \\
 \begin{center}
{\Large \bf {\"Ubungsblatt 4 zu MPIIA}  }
 \end{center}

\ %

\vspace{1.5cm}

\noindent{\bf Aufgabe 17: (4 Punkte)} Bestimmen Sie die Bogenl\"ange der Kurve,
die ein Punkt der Peripherie des Einheitskreises durchl\"auft, wenn
der Kreis auf einer Geraden eine Umdrehung abrollt.

\vspace{1cm}


\noindent{\bf Aufgabe 18: (4 Punkte)} Berechnen Sie die Bogenl\"ange der
Funktion
\begin{align*}
  f: [0,\tfrac{\pi}{4}]\to\mathbb R, \quad f(x):=1-\ln \cos x.
\end{align*}

\vspace{1cm}

\noindent{\bf Aufgabe 19: (4 Punkte)} Die Gamma-Funktion
\(\Gamma:\mathbb R^{+}\to\mathbb R\) ist definiert durch
\(\Gamma(x)=\int_0^\infty t^{x-1}e^{-t}dt\). Zeigen Sie durch
partielle Integration
\begin{itemize}
\item[(a)] \(\forall x\in\mathbb R^+:\ x\Gamma(x)=\Gamma(x+1)\).
\item[(b)] \(\forall k\in\mathbb N_0:\ \Gamma(k+1)=k!\). 
\end{itemize}

\vspace{1cm}


\noindent{\bf Aufgabe 20: (4 Punkte)} F\"ur \(n\in\mathbb N_0\) sei
\(I_n:=\int_0^{\pi/2}(\sin x)^ndx\). Zeigen Sie:
F\"ur alle \(n\in\mathbb N_0\) gilt
\begin{align*}
  I_{2n}=\frac{\pi}{2}\prod_{j=1}^n\frac{2j-1}{2j},\quad
  I_{2n+1}=\prod\frac{2j}{2j+1}.
\end{align*}

\noindent Zusatzaufgabe, ohne Punkte: Zeigen Sie
\begin{align*}
  \frac{\pi}{2}=\lim_{n\to\infty}\left(\prod_{j=1}^{n}\frac{4j^2}{4j^2-1}\right).
\end{align*}

\vspace{1cm}


{\bf \noindent Abgabe bis Montag 09.05.2005, {\it 11.15} Uhr in den MPIIA
\"Ubungskasten im 1.~Stock vor der Bibliothek. \\
Unter {\tt http://www.mathematik.uni-muenchen.de/$\sim$sorensen}
sind die Bl\"atter im Internet abrufbar. \\
Sprechstunden: H. Steinlein: \hspace{1cm} Mo 10-11, Zimmer 318\\
\hspace*{2.95cm} T. S\o rensen: \hspace{1.02cm} Mi 14-15, Zimmer 335}
\end{document}