\documentclass[11pt,a4paper,oneside,fleqn]{article}

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 % Einstellungen

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 % Neue Kommandos

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 \newcommand{\re}{{\rm Re}\,}
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 \newcommand{\ee}{\end{equation}}
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 % Umgebung fuer Saetze

 \newtheorem{satz}{Satz}%[section]
 \newtheorem{lemma}[satz]{Lemma}
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 \newtheorem{korollar}[satz]{Korollar}
 \newtheorem{prop}[satz]{Proposition}
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 \newtheorem{beis}[satz]{Beispiel}

\newcommand{\Arsinh}{\operatorname{Arsinh}}
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\newcommand{\Arcoth}{\operatorname{Arcoth}}

 \begin{document} 
 \pagestyle{empty}
\noindent Mathematisches Institut LMU 
\hspace{7cm} 25.04.2005\\
Prof. Dr. H. Steinlein \\
 \begin{center}
{\Large \bf {\"Ubungsblatt 3 zu MPIIA}  }
 \end{center}

\ %


Ihre L\"osungen sollten die Herleitungen der jeweiligen
Stammfunktionen beinhalten (auf das blo\ss e Verifizieren einer
Stammfunktion durch Differerenzieren gibt es keine Punkte).


\vspace{1.5cm}

\noindent{\bf Aufgabe 9: (4 Punkte)} Integrale der Form \(\int f(\sin x, \cos
x)dx\) lassen sich oft mit der Substitution \(y=\tan \frac{x}{2}\)
elementar berechnen, zumindest in Intervallen, in denen
\(\tan\frac{x}{2}\) definiert ist.
\begin{enumerate}
\item[a)] Zeigen Sie \(\cos
  (x)=\frac{1-\tan^2(\frac{x}{2})}{1+\tan^2(\frac{x}{2})}\), wenn
  \(\frac{x}{2}\neq (k+\frac12)\pi\) f\"ur \(k\in\mathbb Z\) ist. 
\item[b)] Berechnen Sie die Integrale
  \begin{align*}
    \int_0^{\frac{\pi}{4}}\frac{dx}{\cos x}\, , \qquad
     \int_{\frac{3\pi}{4}}^{\frac{5\pi}{4}}\frac{dx}{\cos x}. 
  \end{align*}
\end{enumerate}


\ %


\noindent{\bf Aufgabe 10: (4 Punkte)} Sei \(\gamma_n:=\int_0^1x^ne^{-x}\,dx\)
f\"ur \(n\in\mathbb N\). 
\begin{enumerate}
\item[a)] Finden Sie durch partielle Integration eine Rekursionsformel
  f\"ur \(\gamma_n\). 
\item[b)] Finden Sie eine explizite Formel f\"ur \(\gamma_n\). 
\end{enumerate}



\ %


\noindent{\bf Aufgabe 11: (4 Punkte)} Entscheiden Sie mit Beweis, ob das
uneigentliche Integral
\begin{align*}
  \int_{-\infty}^\infty \sin(x^2)\, dx
\end{align*}
existiert.

\ %

\noindent{\bf Aufgabe 12: (4 Punkte)} Berechnen Sie Stammfunktionen auf
geeigneten (d. h. den maximal m\"oglichen) Intervallen zu folgenden
Funktionen:
\begin{align*}
  &\text{(a)} \qquad f(x)=\frac{x}{x^2-2x+2}\\
  &\text{(b)}\qquad f(x)=\frac{3x^2-3x-2}{x^3-x^2-x+1}
\end{align*}



\vspace{1cm}


{\bf \noindent Abgabe bis Montag 02.02.2005, {\it 11.15} Uhr in den MPIIA
\"Ubungskasten im 1.~Stock vor der Bibliothek. \\
Unter {\tt http://www.mathematik.uni-muenchen.de/$\sim$sorensen}
sind die Bl\"atter im Internet abrufbar. \\
Sprechstunden: H. Steinlein: \hspace{1cm} Mo 10-11, Zimmer 318\\
\hspace*{2.95cm} T. S\o rensen: \hspace{1.02cm} Mi 14-15, Zimmer 335}
\end{document}