\documentclass[11pt,a4paper,oneside,fleqn]{article}

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 % Neue Kommandos

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 \newcommand{\re}{{\rm Re}\,}
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 \newcommand{\ee}{\end{equation}}
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 % Umgebung fuer Saetze

 \newtheorem{satz}{Satz}%[section]
 \newtheorem{lemma}[satz]{Lemma}
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 \newtheorem{beis}[satz]{Beispiel}

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 \begin{document} 
 \pagestyle{empty}
\noindent Mathematisches Institut LMU 
\hspace{7cm} 19.04.2005\\
Prof. Dr. H. Steinlein \\
 \begin{center}
{\Large \bf {\"Ubungsblatt 2 zu MPIIA}  }
 \end{center}

\ %

\vspace{1.5cm}

\noindent{\bf Aufgabe 5: (4 Punkte)} 
\begin{enumerate}
\item[a)] Zeigen Sie, da\ss\ \(\mathbb Q\subset\mathbb R\) eine
  Lebesguesche Nullmenge ist. 
\item[b)] Sei \(K_0=[0,1]\). Man entferne aus \(K_0\) das offene
  mittlere Drittel \(I_{0,1}:=\,]\frac13,\frac23[\,\). Es bleiben die \(2^1\)
  abgeschlossene Intervalle \(K_{0,1}=[0,\frac13],
  K_{0,2}=[\frac23,1]\). Aus diesen Intervallen entferne man beim zweiten Schritt
  wieder jeweils das offene mittlere Drittel \(I_{1,1}:=\,]\frac19,\frac29[\,,
  I_{1,2}:=\,]\frac79,\frac89[\,\), und es bleiben die \(2^2\)
  abgeschlossene Intervalle \(K_{1,1}=[0,\frac19],
  K_{1,2}=[\frac29,\frac13], K_{1,3}=[\frac23,\frac79],
  K_{1,4}=[\frac89,1]\). Aus jedem dieser Intervallen entferne mann wieder
  das offene mittlere Drittel und so fort. Formal, sei
  \begin{align*}
    C:=\bigcap_{n=0}^\infty\bigcup_{j=1}^{2^{n+1}}
    K_{n,j}=K_0\setminus\bigcup_{n=0}^\infty\bigcup_{j=1}^{2^n}I_{n,j}.
  \end{align*}
  Zeigen Sie,  da\ss\ \(C\) eine
  Lebesguesche Nullmenge ist. 
\end{enumerate}


\ %


\noindent{\bf Aufgabe 6: (4 Punkte)} Seien \(p,q\in\mathbb R, p, q>1\) mit
\(\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1\). Zeigen Sie:
\begin{align*}
  xy\leq\frac{x^p}{p}+\frac{y^q}{q}\quad\text{f\"ur alle } x,y\geq0,
\end{align*}
wobei Gleichheit genau dann gilt, wenn \(y=x^{p-1}\). Hinweis: F\"ur
\(y>0\) betrachte man die Funktion
\(f_y(x):=\frac{x^p}{p}+\frac{y^q}{q}-xy\).

\noindent Im Falle \(p=2\) gebe man einen Beweis obiger Aussage, der
(ohne Lupe lesbar) in einer Zeile pa\ss t.

\ %


\noindent{\bf Aufgabe 7: (4 Punkte)} Geben Sie Funktionen
\(f:[0,1]\to\mathbb R\) an, die folgende Eigenschaften haben (mit
Begr\"undung):
\begin{enumerate}
 \item[(a)] \(f\) beschr\"ankt, aber nicht integrierbar auf \([0,1]\). 
\item[(b)] \(f\) integrierbar auf \([0,1]\) und \(f\) ist weder
  monoton noch stetig.
\end{enumerate}

\noindent{\bf Aufgabe 8: (4 Punkte)} Man beweise ({\it ohne}
Differentialrechnung) die Gleichung
\begin{align*}
  \int_0^x\frac{dt}{1+t^2}=\arctan x\quad\text{f\"ur } x\in\mathbb R.
\end{align*}Anleitung: Man setze \(x=\tan y\) und betrachte die
Zerlegung \(Z_n:\ t_k=\tan(ky/n), k=0,\ldots,n\). Man \"uberlege,
da\ss\ \(\sum (t_k-t_{k-1})/(1+t_{k-1}t_k)\) eine Riemannsche Summe ist,
  und zeige mit dem Additionstheorem, da\ss\
  \((t_k-t_{k-1})/(1+t_{k-1}t_k)=\tan(y/n)\) ist (unabh\"angig von
  \(k\)). 


\ % \\


\vspace{1cm}


{\bf \noindent Abgabe bis Montag 25.04.2005, {\it 11.15} Uhr in den MPIIA
\"Ubungskasten im 1.~Stock vor der Bibliothek. \\
Unter {\tt http://www.mathematik.uni-muenchen.de/$\sim$sorensen}
sind die Bl\"atter im Internet abrufbar. \\
Sprechstunden: H. Steinlein: \hspace{1cm} Mo 10-11, Zimmer 318\\
\hspace*{2.95cm} T. S\o rensen: \hspace{1.02cm} Mi 14-15, Zimmer 335}
\end{document}