\documentclass[11pt,a4paper,oneside,fleqn]{article}

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 % Neue Kommandos

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 % Umgebung fuer Saetze

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 \begin{document} 
 \pagestyle{empty}
\noindent Mathematisches Institut LMU 
\hspace{7cm} 30.06.2005\\
Prof. Dr. H. Steinlein \\
 \begin{center}

\ %

{\Large \bf {\"Ubungsblatt 11 zu MPIIA}  }
 \end{center}

\ %

\vspace{1cm}


% Bestimme das Minimum und das
% Maximum der Funktion \(f(x,y,z):=5x+y-3z\) auf dem Schnitt der Ebene
% \(x+y+z=0\) mit der Kugeloberfl\"ache \(x^2+y^2+z^2=1\). Hinweis:
% Lagrange-Mulitplikatorenansatz. 

% (oder \(g(x,y,z)=x+2y+2z\), Ebene \(x+y+z=1\), gleiche Kugel)

\vspace{0.5cm}

\noindent{\bf Aufgabe 41: (4 Punkte)}


a) Zeigen Sie mit einem Lagrange-Multiplikatorenansatz, dass die Funktion 
      $f(x,y)=xy$ unter der Nebenbedingung $x^2-y^2=1$ {\it keine}
      lokalen Extrema besitzt.
      
b) Geben Sie an (mit Begr"undung!), ob $f$ stetig und ob
$\{(x,y)\in\mathbb R^2: x^
2-y^2=1\}$ 
      kompakt ist.

\vspace{0.5cm}

\noindent{\bf Aufgabe 42: (4 Punkte)} Bestimmen Sie unter allen
quaderf\"ormigen Pappschachteln mit gleichem Materialverbrauch,
d.h. gleicher Oberfl\"ache, diejenige mit maximalem Volumen.


% \vspace{0.5cm}

% \noindent{\bf Aufgabe 43: (4 Punkte)} Bestimmen Sie alle lokalen
% Extrema der Funktion
% \begin{align*}
%   \mathbb R^3\ni (x,y,z)\mapsto f(x,y,z):=(1-x)^2+(2-y)^2+(3-z)^2
% \end{align*}
% unter den Nebenbedinugen
% \begin{align*}
%   x^2+y^2+z^2=1\ , \quad x+y+z=1\ .
% \end{align*}


\vspace{0.5cm}

\noindent{\bf Aufgabe 43: (4 Punkte)} Man bestimme den Abstand des
Punktes \(P=(2\sqrt2,\frac{5}{\sqrt2}, 0)\in\mathbb R^3\) zur
Oberfl\"ache des Ellipsoids
\begin{align*}
  E:=\big\{(x,y,z)\in\mathbb R^3\,\big|\,
  \Big(\frac{x}{2}\Big)^2+y^2+z^2\leq 1\big\}.
\end{align*}


\vspace{0.5cm}

\noindent{\bf Aufgabe 44: (4 Punkte)} Sei \(f:\mathbb R\times\mathbb
R^2\to\mathbb R^2\) gegeben durch
\begin{align*}
  f(x,(y_1,y_2)):=((x^2+1)\sin(y_1+y_2), e^{y_2+x\cos y_1}-1).
\end{align*}
Zeigen Sie, da\ss\ es offene Nullumgebungen \(U\subset\mathbb R\) und
\(V\subset\mathbb R^2\) und ein \(g\in C^1(U,V)\) gibt mit der Eigenschaft
\begin{align*}
  \big\{(x,g(x))\,\big| x\in U\big\} = f^{-1}(0)\cap (U\times V).
\end{align*}
Bestimmen Sie die Jacobi-Matrix \(J_g(0)\). 


\vspace{1cm}

{\bf \noindent Abgabe bis {\it Donnerstag} 07.07.2005, 11.15 Uhr in den MPIIA
\"Ubungskasten im 1.~Stock vor der Bibliothek. \\
Unter {\tt http://www.mathematik.uni-muenchen.de/$\sim$sorensen}
sind die Bl\"atter im Internet abrufbar. \\
Sprechstunden: H. Steinlein: \hspace{1cm} Mo 10-11, Zimmer 318\\
\hspace*{2.95cm} T. S\o rensen: \hspace{1.02cm} Mi 14-15, Zimmer 335}
\\\noindent {\it Dieses ist das letzte Blatt des Semesters.}


\end{document}