\documentclass[11pt,a4paper,oneside,fleqn]{article}

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 % Einstellungen

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 % Neue Kommandos

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 \newcommand{\re}{{\rm Re}\,}
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 \newcommand{\ee}{\end{equation}}
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 % Umgebung fuer Saetze

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 \begin{document} 
 \pagestyle{empty}
\noindent Mathematisches Institut LMU 
\hspace{7cm} 20.06.2005\\
Prof. Dr. H. Steinlein \\
 \begin{center}

\ %

{\Large \bf {\"Ubungsblatt 10 zu MPIIA}  }
 \end{center}

\ %

\vspace{1cm}

\noindent{\bf Aufgabe 37: (4 Punkte)} Berechnen Sie n\"aherungsweise
\(1,05^{1.02}\) mit einem Fehler \(<10^{-4}\). Hinweis: Wende auf die
Funktion \(f(x,y):=x^{y}\) den Satz von Taylor mit \(x_0=y_0=1\) und
\(n=2\) an.


\vspace{0.5cm}

\noindent{\bf Aufgabe 38: (4 Punkte)} Sei \(f:\{(x,y)\in\mathbb
R^2\,|\, x^2+y^2\leq 1\}\to\mathbb R\) gegeben durch
\begin{align*}
  f(x,y):=(3x^2-y^2)\exp(-x^2-y^2).
\end{align*}
Besitzt \(f\) ein globales Minimum bzw.\ ein globales Maximum? Wenn ja,
bestimmen Sie die Stelle(n), an denen das Minimum bzw.\ Maximum
angenommen wird.


\vspace{0.5cm}

\noindent{\bf Aufgabe 39: (4 Punkte)} Sei \(f:\mathbb R^2\to\mathbb
R\) gegeben durch
\begin{align*}
  f(x,y):=-yx^2+(1+y)^2.
\end{align*}
\begin{itemize}
\item[a)] Bestimmen Sie s\"amtliche kritischen Punkte von \(f\)
  (d.h. Punkte, 
an denen der Gradient verschwindet) und bestimmen Sie an diesen
Stellen die Terme der Taylorreihe der Ordnung \(\leq2 \).
\item[b)] Besitzt \(f\) globale Extrema? Wenn ja, bestimmen Sie
diese. Besitzt \(f\) lokale Extrema? Wenn ja, bestimmen Sie diese.
\item[c)] Sei \(g\) die Einschr\"ankung von \(f\) auf das Quadrat
\([-2,2]^2\). Bestimmen Sie alle lokalen und globalen Extrema von \(g\).
\end{itemize}


\vspace{0.5cm}

\noindent{\bf Aufgabe 40: (4 Punkte)} Bestimmen Sie die kritischen Stellen der
Funktion \(f:\mathbb R^2\to\mathbb R\) gegeben durch
\begin{align*}
  f(x,y)=x^3+3x^2y+3xy^2+y^3-3y^2-3x.
 \end{align*}
 Bestimmen Sie mit Hilfe der Hesse-Matrix, ob es sich um lokale Minima,
 Maxima, oder Sattelpunkte handelt.

\vspace{1cm}

{\bf \noindent Abgabe bis Montag 27.06.2005, 11.15 Uhr in den MPIIA
\"Ubungskasten im 1.~Stock vor der Bibliothek. \\
Unter {\tt http://www.mathematik.uni-muenchen.de/$\sim$sorensen}
sind die Bl\"atter im Internet abrufbar. \\
Sprechstunden: H. Steinlein: \hspace{1cm} Mo 10-11, Zimmer 318\\
\hspace*{2.95cm} T. S\o rensen: \hspace{1.02cm} Mi 14-15, Zimmer 335}
\end{document}