\documentclass[11pt,a4paper,oneside,fleqn]{article}

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 % Neue Kommandos

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 % Umgebung fuer Saetze

 \newtheorem{satz}{Satz}%[section]
 \newtheorem{lemma}[satz]{Lemma}
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 \newtheorem{korollar}[satz]{Korollar}
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\newcommand{\Arsinh}{\operatorname{Arsinh}}
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 \begin{document} 
 \pagestyle{empty}
\noindent Mathematisches Institut LMU 
\hspace{7cm} 11.04.2005\\
Prof. Dr. H. Steinlein \\
 \begin{center}
{\Large \bf {\"Ubungsblatt 1 zu MPIIA}  }
 \end{center}

\ %

\vspace{1.5cm}

{\bf Aufgabe 1: (4 Punkte)} 
\begin{enumerate}
  \item[a)] Berechnen Sie mit Hilfe der Additionstheoreme die exakten
  Werte von \(\sin x, \cos x, \tan x\) an den Stellen
  \(x=\frac\pi3,\frac\pi4,\frac\pi5,\frac\pi6\). 
\item[b)] Zeigen Sie, da\ss\ f\"ur \(x,y\in\,]-1,1[\, \) gilt: 
  \begin{align*}
    \arctan x+\arctan y=\arctan\big(\frac{x+y}{1-xy}\big).
  \end{align*}
   (Hinweis: IV.3.14c).\\
  Leiten Sie hiermit die Formel:
  \begin{align*}
    \frac\pi4=4\arctan(\frac15)-\arctan(\frac{1}{239}) \text{ her}.
  \end{align*}
 Berechnen Sie damit und mit der Reihendarstellung
  vom Arcustangens \(\pi\) auf 8 Stellen (Herleitung,
  Fehlerabsch\"atzung, Taschenrechner).
\end{enumerate}

\ %


{\bf Aufgabe 2: (4 Punkte)}
Beweisen Sie die Formel von C. L. Dodgson, alias Lewis
  Caroll (Autor von ``Alice im Wunderland''):
  \begin{align*}
    \arctan\frac{1}{p}=\arctan\frac{1}{p+m}+\arctan\frac{1}{p+n}
    \text{ wobei } p,m,n\in\mathbb N \text{ und } p^2+1=mn.
  \end{align*}


\ %


{\bf Aufgabe 3: (4 Punkte)} Beweisen Sie die folgende Darstellung der
Areafunktionen:
\begin{align*}
  \Arsinh x &= \log(x+\sqrt{x^2+1})\ , \ x\in\mathbb R\\
   \Arcosh x &= \log(x+\sqrt{x^2-1})\ , x\in[1,\infty[,\\
   \Artanh x&=\frac12\log\big(\frac{1+x}{1-x}\big)\ , \ x\in\,]-1,1[\ ,
   \\
   \Arcoth x&=\frac12\log\big(\frac{x+1}{x-1}\big)\ , \ x\in
   \,]1,\infty[\, .
\end{align*}


\vspace{1cm}


b.w.


\newpage


\ \({ }\) \ %

\vspace{3cm}


{\bf Aufgabe 4: (4 Punkte)} Eine {\it Hamilton-Funktion} ist eine
\(C^1\)-Funktion \(H:D\to\mathbb R\ (D\subset\mathbb R^2 \) offene
Menge). Das zugeh\"orige (ebene) {\it hamiltonsche System} besteht
aus den
(gekoppelten) Differentialgleichungen
\begin{align}
  \label{ham}
  \begin{cases}
      \dot{x}=\frac{\partial H}{\partial y}(x,y)\\
      \dot{y}={}-\frac{\partial H}{\partial x}(x,y)\\
\end{cases}
\end{align}
Diese beschreiben die Bewegung  des Punktes \((x,y)\) in der Ebene  als
Funktion der Zeit.
\begin{enumerate}
  \item[a)] Gegeben eine L\"osung \((x,y):I\to\mathbb R^2, t\mapsto
  (x(t),y(t))\) zu \eqref{ham}. Zeigen Sie,
  da\ss\ die Hamilton-Funktion \(H\) l\"angs dieser L\"osung konstant
  ist.
  \item[b)] Sei
  \(H(x,y)=y^2/2-\cos x\). Leiten
  Sie das zugeh\"orige {\it hamiltonsche System} her.
\item[c)] Einen Punkt \((x_0,y_0)\in\mathbb R^2\) mit \(\frac{\partial H}{\partial
    y}(x_0,y_0)=\frac{\partial H}{\partial x}(x_0,y_0)=0\) nennt man
    eine {\it Ruhelage} (warum?). Zeigen Sie, da\ss\
    \((x,y)=(k\pi,0), k\in\mathbb Z\),
    f\"ur die oben definierte Hamilton-Funktion
    alle Ruhelagen sind.
\item[d)] Aus a) folgt, da\ss\ jede Trajektorie \(\{(x(t),y(t)\,|\,
  t\in I\}\) einer L\"osung \((x,y):I\to\mathbb R^2\) eine Teilmenge einen
  geeigneter Niveaumenge
  \begin{align}
    N_{c}:=\{(x,y)\in\mathbb R^2\,|\, H(x,y)=c\}
  \end{align}
  sein mu\ss. Bestimmen Sie \(\alpha\in\mathbb R\), so da\ss\
  \(\{(x,\pm\alpha\cos(x/2))\,|\,x\in\mathbb R\}\) die Niveaumenge \(N_1\) ist. 
\end{enumerate}

Zusatzaufgabe, ohne Punkte: Skizzieren Sie die Niveaumengen f\"ur
\(c=-1, 0, 1\) und \(2\). 


\ % \\


\vspace{1cm}


{\bf \noindent Abgabe bis Montag 18.04.2005, {\it 11.15} Uhr in den MPIIA
\"Ubungskasten im 1.~Stock vor der Bibliothek. \\
Unter {\tt http://www.mathematik.uni-muenchen.de/$\sim$sorensen}
sind die Bl\"atter im Internet abrufbar. \\
Sprechstunden: H. Steinlein: \hspace{1cm} Mo 10-11, Zimmer 318\\
\hspace*{2.95cm} T. S\o rensen: \hspace{1.02cm} Mi 14-15, Zimmer 335}
\end{document}