Kapitel IV, §21
5o Die Quaternionenalgebra: H := R4 mit der üblichen Vektorraumstruktur
und der folgenden Multiplikation:
Die Algebra ist nicht
assoziativ, man teste mit e1 + e2, e1, e2 .
Die Algebra ist nicht
kommutativ, es gilt aber stets XY + YX = 0 .
Die Algebra erfüllt stets
((XY)Z) + ((YZ)X) + (ZX)Y) = 0 . Das ist die Jacobi-Identität,
die für Lie-Algebren eine wichtige Rolle spielt.
H ist eine assoziative R-Algebra mit 1 (= e1), H ist nicht kommutativ.
Jedes von Null verschiedene
Element in H ist invertierbar.
Verbreitete Notation: 1 = e1, i = e2, j = e3, k = e4 . Dann:
i2 = j2 = k2 = -1 , 12 = 1 , ij = k = -ji , jk = i =
- kj , ki = j = - ik und 1i = i1 = i, 1j = j1 = j, 1k = k1 = k .
XY durch bilineare Fortsetzung.
