\documentclass{article}

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\include{AnaHdrMusterLoes}
\begin{document}
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\begin{center}
{\LARGE Musterlösung zu Blatt \theblatt, Aufgabe \theaufgabe}
\end{center}

\section{Aufgabenstellung}
Sei $(a_{n})$ eine Folge in $\M{R}$ und seien $(b_{n})$, $(c_{n})$, $(d_{n})$ definiert durch
\begin{eqnarray}
	b_{n}&:=&\inf \{a_{k}:k\geq n\},\\
	c_{n}&:=&\sup \{a_{k}:k\geq n\},\\
	d_{n}&:=&\frac{1}{n}\sum^{n}_{k=1}{a_{k}}\qquad \mbox{für}\,\,n\in\M{N}_1.
\end{eqnarray}
a) Zeigen Sie: Aus $(a_{n})\rightarrow a$ folgen auch $(b_{n})\rightarrow a$, $(c_{n})\rightarrow a$ und $(d_{n})\rightarrow a$.\\
b) Geben Sie eine divergente Folge $(a_{n})$ an, für die $(b_{n})$, $(c_{n})$ und $(d_{n})$ konvergieren.
\section{Beweisidee}
\paragraph{"`Worum geht's?"':}
Offensichtlich sind 3 Folgen $(b_n)$, $(c_n)$, $(d_n)$ gegeben. Folgen $(b_n)$ und $(c_n)$ stellen dabei Infimum und Supremum der Folge $(a_k)$ ab einem bestimmten (dem $n$-ten) Element dar. $(d_n)$ dagegen ist der (arithmetische) Mittelwert der ersten $n$ Folgenglieder von $(a_k)$.\\
Die Aufgabe besteht nun darin, einen Zusammenhang zwischen der Konvergenz (und damit dem Limes) von $(a_n)$ (das ist dieselbe Folge wie $(a_k)$, nur dass bei letzterer $k$ die "`Laufvariable"' ist) und denen der Folgen $(b_n)$, $(c_n)$ und $(d_n)$ herzustellen.
\paragraph{"`Wie mach' ich das?"':}
Für $(b_n)$ und $(c_n)$ ist es sinnvoll, sich vorzustellen, dass die Folgenglieder von $(a_n)$ ab einem bestimmten Folgenglied aufgrund der Konvergenz in einer jeweiligen $\varepsilon$-Umgebung um den Grenzwert (=Limes) $a$ zu finden sind. Weil damit alle Folgenglieder von $(a_n)$ ab dem bestimmten in dieser $\varepsilon$-Umgebung liegen, sind dabei auch Infimum und Supremum in der abgeschlossenen Menge der $\varepsilon$-Umgebung, wie in der Lösung gezeigt wird. Damit erfüllen auch $(b_n)$ und $(c_n)$ das $\varepsilon$-Kriterium für Folgenkonvergenz.\\
Um die Konvergenz der "`Mittelwertsfolge"' $(d_n)$ zu zeigen, untersucht man die Folge $a_n$ für kleine und große $n$. Für die großen $n$ ist anschaulich klar, dass für die entsprechenden Glieder $a_n$, weil immer näher an $a$ liegend, der Mittelwert gegen $a$ geht. Die relativ großen Abweichungen der Glieder $a_n$ mit kleinen $n$ von $a$ fällt dabei bei immer größer werdenden $n$ im Mittelwert immer weniger ins Gewicht. Das Gewicht der unendlich vielen beliebig nahe an $a$ gelegenen Folgeglieder $a_n$ mit großen $n$ verschiebt also den Mittelwert immer mehr gegen $a$. \\
In Aufgabenteil b) muss ein Gegenbeispiel gefunden werden (siehe "`Wie komm' ich drauf?"').
\paragraph{"`Wie komm' ich drauf?"':}
Hilfreich ist, wie so oft, eine Skizze. Darin ist zum Beispiel zu erkennen, welche Auswirkungen die $\varepsilon$-Umgebung auf die zu untersuchenden Folgen $(b_n)$, $(c_n)$ und $(d_n)$ hat. Unerlässlich für den formalen Beweis ist es dann, die erkannten Konvergenzen zu "`quantifizieren"' und, in diesem Fall, mit der $\varepsilon$-Definition festzuhalten. \\
Besonders nützlich sind genannte Skizzen auch bei der Suche nach Beispielen für Aufgabenteil b), weiterhin das Ausprobieren bekannter Folgen und den "`üblichen Verdächtigen"'.
\section{Lösung}
a) Konvergenz von $(b_{n})$ und $(c_{n})$: \\
$(a_{n})\rightarrow a \quad\Rightarrow \quad\forall \,\varepsilon>0\; \exists\, n_{0} \in \M{N}$, sodass $a_{n} \in\; [a-\varepsilon, a+ \varepsilon ]\;\; \forall\, n\geq n_{0}$ \\
Sei also $\varepsilon$ vorgegeben und $n\geq n_{0}$ beliebig. Da $b_{n}=\inf\{a_{k}:k\geq n\}$, ist in diesem Fall $b_{n}$ das Infimum einer Teilfolge von $a_{n}$, die in einer geschlossenen $\varepsilon$\,-\,Umgebung um $a$ liegt. Also liegt $b_{n}$ selber in dieser Umgebung. Für $c_{n}$ gilt die selbe Aussage (nur mit Supremum statt Infimum). Also gibt es für jedes vorgebene $\varepsilon$ ein $n_0$, sodass gilt:
\begin{eqnarray*}
	a-\varepsilon \leq b_n \leq a + \varepsilon \;\;\forall n \geq n_0 \\
	a-\varepsilon \leq c_n \leq a + \varepsilon \;\;\forall n \geq n_0
\end{eqnarray*}
Dies ist aber gerade die $\varepsilon$\,-\,Definition der Konvergenz $\Rightarrow$ $(b_{n})\rightarrow a$, $(c_{n})\rightarrow a$.\\
\\
Konvergenz von $(d_{n})$:\\
$(a_{n})\rightarrow a \quad\Rightarrow \quad\forall \,\varepsilon>0\; \exists\, n_{1} \in \M{N}$, sodass $\left|a_{n}-a\right|<\frac{\varepsilon}{2}\;\; \forall\, n\geq n_{1}$ \\
Nach dem Satz von Eudoxos gibt es dann auch ein $n_2 \in \M{N}$, sodass $\frac{1}{n}\sum^{n_1}_{k=1}\left|a_k - a\right|<\frac{\varepsilon}{2} \;\; \forall\, n\geq n_{2}$, dieses $n_2$ muss dazu nur beliebig groß gewählt werden, da die Summe ja konstant ist.\\
Sei $N:=\max(n_1,\;n_2)$, also die größere der beiden Zahlen. Dann gilt unter Anwendung der Dreiecksungleichung für alle $n\geq N$:
\begin{eqnarray*}
& &\left|d_{n}-a\right|
=\left|\frac{1}{n}\left(\sum^{n}_{k=1}{a_{k}}\right)-a\right|
=\left|\frac{1}{n}\left(\left(\sum^{n}_{k=1}{a_{k}}\right)-na\right)\right|
=\frac{1}{n}\left|\sum^{n}_{k=1}\left({a_{k}}-a\right)\right|
\leq \frac{1}{n}\sum^{n}_{k=1}\left|{a_{k}}-a\right| \\
& &=\frac{1}{n}\sum^{n_1}_{k=1}\left|{a_{k}}-a\right|+\frac{1}{n}\sum^{n}_{k=n_1+1}\left|{a_{k}}-a\right|
<\frac{\varepsilon}{2}+\frac{1}{n}\sum^{n}_{k=n_1 +1}\frac{\varepsilon}{2}
=\frac{\varepsilon}{2}+\frac{1}{n}(n-n_1)\frac{\varepsilon}{2} \\
& &=\frac{\varepsilon}{2}+\left(1-\frac{n_1}{n}\right)\frac{\varepsilon}{2}
<\frac{\varepsilon}{2}+\frac{\varepsilon}{2}=\varepsilon.
\end{eqnarray*}

Für alle $\varepsilon$ liegen also ab einem hinreichend großen $n$ alle $d_n$ in der $\varepsilon$\,-\,Umgebung um a, also $(d_{n})\rightarrow a$ \\ \\
b)
Sei $(a_n):=(-1)^n \Rightarrow (a_n)$ ist bekanntermaßen divergent.
\begin{eqnarray*}
\Rightarrow b_{n}&=&\inf \{a_{k}:k\geq n\}=-1,\\
	c_{n}&=&\sup \{a_{k}:k\geq n\}=1,\\
	d_{n}&=&\frac{1}{n}\sum^{n}_{k=1}{a_{k}}=\left\{\begin{array}{cl}
	-\frac{1}{n} & \mbox{für $n$ ungerade, } n \geq 1 \\
	0 & \mbox{für $n$ gerade, } n > 1
	\end{array}\right.
\end{eqnarray*}
Für beide Fälle ist $d_n\rightarrow 0$ für $n \rightarrow \infty$. 

\section{Variationen, Verallgemeinerungen, Abschwächungen}
Wie in Aufgabenteil b) schon angedeutet, ist die Konvergenz von $(a_n)$ hinreichende, aber noch keineswegs notwendige Bedingung für die Konvergenz von $(b_n)$, $(c_n)$ und $(d_n)$. Umgekehrt ist die Divergenz von $(a_n)$ offenbar noch keine hinreichende Bedingung (es ließen sich leicht auch Beispiele finden, für die $(b_n)$, $(c_n)$ und $(d_n)$ divergieren). \\
Zu untersuchen bleibt nun also, welche weiteren Bedingungen dies (bei divergenten $(a_n)$) sind. Ansätze hierfür sind Bedingungen wie Beschränktheit oder die Konvergenz der Absolutbeträge von $(a_n)$.
\section{Nutzen \& Anwendungen}
Diese Aufgabe illustriert und trainiert den Umgang mit dem $\varepsilon$-Kriterium für die Konvergenz von Folgen und den Begriffen von Supremum und Infimum von Mengen. Sie stellt keinen Erkenntniszugewinn im eigentlichen Sinne dar, sondern erweitert das Verständnis des Begriffs "`Konvergenz"' (und seiner Implikationen) und stellt somit, quasi in zweiter Stufe, die Grundlage für weitergehende Untersuchungen dar.

\begin{flushright}
{\footnotesize Yilin Xu, Johannes Flake, Ludwig Straub \quad $\cdot$ \quad \today}
\end{flushright}
\end{document}