Mathematisches Institut SS 1999 der Universität München Blatt 9 Prof. Dr. B. Pareigis

MIIB: Lineare Algebra für Informatiker

31. Sei U := Span((1, 1, 0, 0), (0, 0, 1, 1)) ⊂ ℚ^{4}. Bestimmen Sie eine Basis von ℚ^{4}/U. (4)

32. Sei V ein Vektorraum. U_{1} und U_{2} seien zwei Untervektorräume von V. Zeigen Sie, daß die Abbildung

U_{1}/(U_{1} ∩ U_{2}) → (U_{1} + U_{2})/U_{2}, v̄ ↦ v̄

ein Isomorphismus ist. (1. Isomorphiesatz) (4)

33. Sei V ein Vektorraum. U_{1} und U_{2} seien zwei Untervektorräume von V mit U_{2} ⊂ U_{1}.

(a) Zeigen Sie, daß U_{1}/U_{2} ein Untervektorraum von V/U_{2} ist. (1)

(b) Zeigen Sie, daß die Abbildung

(V/U_{2})/(U_{1}/U_{2}) → V/U_{1}, ¯ v̄ ↦ v̄

ein Isomorphismus ist. (2. Isomorphiesatz) (3)

34. Sei V ein Vektorraum und A ⊂ V ein affiner Unterraum. Wir definieren den Translationsraum

U_{A} := {a − b | a, b ∈ A}

Zeigen Sie, daß U_{A} ein Untervektorraum ist und daß für jedes a ∈ A gilt: A = a + U_{A}. (Hinweis: Der Begriff des Translationsraumes wurde in Definition 6.2 anders definiert. Diese Übungsaufgabe soll zeigen, daß beide Definitionen äquivalent sind.) (4)

Abgabe: Dienstag, 13.7.99, 9.10 Uhr.