Mathematisches Institut SS 1999 der Universität München Blatt 8 Prof. Dr. B. Pareigis

MIIB: Lineare Algebra für Informatiker

27. Seien M ∈ K_{m}^{n}, N ∈ K_{n}^{m} Matrizen mit der Eigenschaft M ·N = E_{m}. Zeigen Sie, das M Spaltenrang m und N Zeilenrang m hat. (4)

28. Seien v_{1}, …, v_{n} und w_{1}, …, w_{n} Basen des Vektorraumes V. T sei die Transformationsmatrix des Basiswechsels von (v_{i}) nach (w_{i}). Zeigen Sie, daß T^{−1} die Transformationsmatrix des Basiswechsels von (w_{i}) nach (v_{i}) ist. (4)

29. Sei v_{1}, …, v_{n} eine Basis des Vektorraumes V. Sei T = (α_{ij}) ∈ K_{n}^{n} eine invertierbare Matrix. Für j = 1, …, n setze

w_{j} := ∑_{i=1}^{n} α_{ij}v_{i}

Zeigen Sie, daß w_{1}, …, w_{n} ebenfalls eine Basis von V ist. (4)

30. Sei

M = ( \begin{matrix}0 & 2 & −1 \\ 1 & −1 & 0 \\ −1 & 0 & 1 \end{matrix} )

Berechnen Sie mit Hilfe der Transformationsformel aus Satz 5.20 die darstellende Matrix von M̂ bezüglich der Basis

v_{1} = ( \begin{matrix}1 \\ −1 \\ 0 \end{matrix} ) v_{2} = ( \begin{matrix}0 \\ 1 \\ −1 \end{matrix} ) v_{2} = ( \begin{matrix}1 \\ 1 \\ 1 \end{matrix} )

von ℚ_{3}. (4)

Abgabe: Dienstag, 6.7.99, 9.10 Uhr.