Mathematisches Institut SS 1999 der Universität München Blatt 7 Prof. Dr. B. Pareigis

MIIB: Lineare Algebra für Informatiker

23. Sei V ein endlichdimensionaler Vektorraum und f : V → V eine lineare Abbildung mit f ∘ f = id_{V}. Im Grundkörper K sei 1 + 1 ≠ 0.

(a) Sei V_{+} := {v ∈ V | f(v) = v} und V_{−} := {v ∈ V | f(v) = −v}. Zeigen Sie: V = V_{+} ⊕ V_{−}. (Hinweis: Erklären Sie, wo die Voraussetzung über den Grundkörper eingeht.)

(b) Zeigen Sie, daß es eine Basis von V gibt, für die die darstellende Matrix von f auf der Diagonalen nur die Einträge 1 und −1 und außerhalb der Diagonalen nur den Eintrag 0 hat. (4)

24. Betrachte die Basis (1, −1, 0), (1, 0, −1), (1, 1, 1) des Vektorraumes ℚ^{3}. Bestimme die Transformationsmatrix des Basiswechsels von dieser Basis auf die kanonische Basis und die Transformationsmatrix des Basiswechsels von der kanonischen Basis auf diese Basis. Zeige, daß beide Transformationsmatrizen zueinander invers sind. (4)

Abgabe: Dienstag, 29.6.99, 9.10 Uhr.