Mathematisches Institut SS 1999 der Universität München Blatt 6 Prof. Dr. B. Pareigis

MIIB: Lineare Algebra für Informatiker

19. Sei V ein Vektorraum und p : V → V eine Projektion. Zeigen Sie, daß es genau eine Projektion q : V → V gibt, so daß gilt:

pq = qp = 0 p + q = id_{V}

Drücken Sie Kern und Bild von q durch Kern und Bild von p aus. (3)

20. Sei V ein Vektorraum und v_{1}, …, v_{n} eine Basis von V. Für i = 1, …, n sei f_{i} : V → K diejenige lineare Abbildung, die auf der gegebenen Basis durch

f_{i}(v_{j}) = δ_{ij}

bestimmt ist (vgl. Beispiel 4.16ff). Zeigen Sie:

(a) Für alle v ∈ V gilt: v = ∑_{i=1}^{n} f_{i}(v)v_{i}

(b) Für alle f ∈ V^{∗} := Hom(V, K) gilt: f = ∑_{i=1}^{n} f(v_{i})f_{i} (4)

21. Sei V ein endlichdimensionaler Vektorraum. Zeigen Sie, daß V^{∗} ebenfalls endlichdimensional ist und dieselbe Dimension wie V hat. (4)

22. Zeigen Sie die folgenden Rechenregeln für die Matrizenmultiplikation:

(a) Für M ∈ K_{m}^{n}, N ∈ K_{n}^{k} und P ∈ K_{k}^{p} gilt: (M · N) · P = M · (N · P)

(b) Für M ∈ K_{m}^{n}, N ∈ K_{m}^{n} und P ∈ K_{n}^{k} gilt: (M +N)·P = (M ·P)+(N ·P)

(c) Für M ∈ K_{m}^{n}, N ∈ K_{n}^{k} und P ∈ K_{n}^{k} gilt: M·(N+P) = (M·N)+(M·P)

(d) Für M ∈ K_{m}^{n}, N ∈ K_{n}^{k} und λ ∈ K gilt: (λM)·N = M·(λN) = λ(M·N)

(e) Für M ∈ K_{m}^{n} gilt: E_{m} · M = M · E_{n} = M

(5)

Abgabe: Dienstag, 22.6.99, 9.10 Uhr.