Mathematisches Institut SS 1999 der Universität München Blatt 5 Prof. Dr. B. Pareigis

MIIB: Lineare Algebra für Informatiker

15. Sei f : V → W eine bijektive lineare Abbildung. Zeigen Sie, daß auch die Umkehrabbildung linear ist. (Hinweis: Beachten Sie, daß V und W nicht notwendig endlichdimensional sind.) (4)

16. Sei K ein Körper. Definiere

f : K^{2} → K^{2}, (x, y) ↦ (ax + by, cx + dy)

für a, b, c, d ∈ K.

(a) Zeigen Sie, daß f eine lineare Abbildung ist. (1)

(b) Definiere

g : K^{2} → K^{2}, (x, y) ↦ (dx − by, −cx + ay)

Zeigen Sie:

(f ∘ g)(x, y) = (ad − bc)(x, y) = (g ∘ f)(x, y)

(1)

(c) Schließen Sie: f ist genau dann bijektiv, wenn ad − bc ≠ 0 ist. (2)

17. Definiere für ϕ ∈ ℝ:

f : ℝ^{2} → ℝ^{2}, (x, y) ↦ (x cos ϕ − y sin ϕ, x sin ϕ + y cos ϕ)

Zeichnen Sie die Bilder der kanonischen Basisvektoren in ein Koordinatensystem ein. Erklären Sie anhand dieses Bildes, daß die Abbildung f eine Drehung beschreibt. Bestimmen Sie den Drehsinn und den Drehwinkel. Bestimmen Sie mit Hilfe der vorhergehenden Aufgabe die Umkehrabbildung und erläutern Sie, daß auch die Umkehrabbildung eine Drehung ist. Bestimmen Sie Drehsinn und Drehwinkel der Umkehrabbildung. (4)

18. Definiere

f : ℝ^{2} → ℝ^{2}, (x, y) ↦ (x/3 + 2y/3, x/3 + 2y/3)

(a) Zeigen Sie, daß f ∘ f = f ist.

(b) Bestimmen Sie Kern und Bild von f. Zeigen Sie:

ℝ^{2} = Ke(f) ⊕ Bi(f)

(c) Zeichnen Sie Ke(f) und Bi(f) in ein Koordinatenkreuz ein. Beschreiben Sie anhand dieses Bildes die Abbildung f.

(d) Entscheiden Sie, ob f bijektiv ist.

(4)

Abgabe: Dienstag, 15.6.99, 9.10 Uhr.

Sprechstunde Uwe Lück: Donnerstag, 13.00 - 14.00 Uhr, Café Gumbel