Mathematisches Institut SS 1999 der Universität München Blatt 4 Prof. Dr. B. Pareigis

MIIB: Lineare Algebra für Informatiker

11. Sei V ein Vektorraum über K. U_{1} und U_{2} seien Untervektorräume von V mit V = U_{1} ⊕ U_{2}. Zeigen Sie, daß die Abbildung

f : U_{1} × U_{2} → V, (u_{1}, u_{2}) ↦ u_{1} + u_{2}

ein Isomorphismus ist, wobei U_{1}×U_{2} die in Aufgabe 8 erklärte Vektorraumstruktur trägt. (4)

12. Sei f : V → W eine lineare Abbildung zwischen zwei Vektorräumen. Zeigen Sie: Ist U ⊂ W ein Untervektorraum von W, so ist f^{−1}(U) ein Untervektorraum von V. (2)

13. Seien V und W zwei Vektorräume und v_{1}, …, v_{n} Vektoren aus V, w_{1}, …, w_{n} Vektoren aus W.

(a) Zeigen Sie: Sind v_{1}, …, v_{n} linear unabhängig, so gibt es mindestens eine lineare Abbildung f : V → W mit f(v_{j}) = w_{j} für alle j = 1, …, n.

(b) Zeigen Sie: Erzeugen v_{1}, …, v_{n} den Vektorraum V, so gibt es höchstens eine lineare Abbildung f : V → W mit f(v_{j}) = w_{j} für alle j = 1, …, n. (4)

14. Sei f : V → W eine lineare Abbildung zwischen zwei Vektorräumen. v_{1}, …, v_{n} sei eine Basis von V.

(a) Zeigen Sie, daß f genau dann injektiv ist, wenn f(v_{1}), …, f(v_{n}) linear unabhängig sind.

(b) Zeigen Sie, daß f genau dann surjektiv ist, wenn f(v_{1}), …, f(v_{n}) ein Erzeugendensystem von W ist. (6)

Abgabe: Dienstag, 8.6.99, 9.10 Uhr.