Mathematisches Institut SS 1999 der Universität München Blatt 3 Prof. Dr. B. Pareigis

MIIB: Lineare Algebra für Informatiker

9. Zeigen Sie: Ein Vektorraum kann nicht Vereinigung von zwei echten Unterräumen sein. (2)

10. Zeigen Sie: Enthält der Grundkörper unendlich viele Elemente, so kann ein Vektorraum über diesem Körper nicht Vereinigung von endlich vielen echten Unterräumen sein.

(Hinweis: Man schließe durch Widerspruch und verwende das Dirichletsche Schubfachprinzip: Ist V doch Vereinigung von endlichen vielen Unterräumen U_{1}, …, U_{n}, so kann man n so klein wie möglich wählen. In dieser Situation gibt es u_{1} ∈ U_{1} und u_{2} ∈ U_{2}, die jeweils in keinem anderen Unterraum liegen. (Warum?) Für n+1 verschiedene Zahlen λ_{1}, …, λ_{n+1} ∈ K betrachte man die Vektoren u_{1} + λ_{1}u_{2}, …, u_{1} + λ_{n+1}u_{2}.) (6)

Abgabe: Dienstag, 1.6.99, 9.10 Uhr.