Mathematisches Institut SS 1999 der Universität München Blatt 2 Prof. Dr. B. Pareigis

MIIB: Lineare Algebra für Informatiker

5. Seien v_{1}, …, v_{n} linear abhängige Vektoren in dem Vektorraum V über dem Körper K mit der Eigenschaft, daß je n − 1 von diesen Vektoren linear unabhängig sind. Seien

λ_{1}v_{1} + … + λ_{n}v_{n} = 0

und

μ_{1}v_{1} + … + μ_{n}v_{n} = 0

zwei Linearkombinationen, bei denen jeweils nicht alle Koeffizienten Null sind. Zeigen Sie, daß es eine Zahl λ ∈ K mit der Eigenschaft

μ_{j} = λλ_{j}

für alle j = 1, …, n gibt. (5)

6. Seien v := (a_{1}, a_{2}) und w := (b_{1}, b_{2}) zwei Vektoren im K^{2}. Zeigen Sie, daß v und w genau dann linear abhängig sind, wenn a_{1}b_{2} − a_{2}b_{1} = 0 ist. (3)

7. (a) Entscheiden Sie, ob die Vektoren (1, 0, 2), (2, 1, 4) und (1, −1, 0) eine

Basis des ℝ^{3} bilden. (2)

(b) Entscheiden Sie, ob die Vektoren (1, 0, 2), (3, 1, −1) und (−2, −1, 3) eine Basis des ℝ^{3} bilden. (2)

(Dabei wird eine Frage als entschieden betrachtet, wenn die richtige Antwort in logisch einwandfreier, nachvollziehbarer Weise begründet wurde.)

8. Seien V und W zwei Vektorräume über dem Körper K.

(a) Zeigen Sie, daß das kartesische Produkt V × W mit der Addition

(v, w) + (v′, w′) := (v + v′, w + w′)

und der Multiplikation mit Skalaren

λ(v, w) := (λv, λw)

ein Vektorraum ist. (2)

(b) Zeigen Sie: Hat V eine Basis aus n Vektoren und W eine Basis aus m Vektoren, so hat V × W eine Basis aus n + m Vektoren. (2)

Abgabe: Dienstag, 25.5.99, 9.10 Uhr