Mathematisches Institut SS 1999 der Universität München Blatt 11 Prof. Dr. B. Pareigis

MIIB: Lineare Algebra für Informatiker

37. Sei ϕ eine reelle Zahl und betrachten Sie die Matrix

( \begin{matrix}cos ϕ & − sin ϕ \\ sin ϕ & cos ϕ \end{matrix} )

Bestimmen Sie alle diejenigen ϕ, für die alle Eigenwerte dieser Matrix reell sind. Erläutern Sie das Resultat geometrisch, indem Sie die durch die Matrix beschriebene lineare Abbildung graphisch darstellen. (4)

38. Sei A ∈ K_{n}^{n} eine von Null verschiedene quadratische Matrix, deren k-te Potenz verschwindet. Zeigen Sie, daß A den Eigenwert Null besitzt, aber außer Null keine weiteren Eigenwerte besitzen kann. (4)

39. Sei A ∈ K_{n}^{n} eine quadratische Matrix, die n verschiedene Eigenwerte besitzt. Zeigen Sie, daß A diagonalisierbar ist. (4)

40. Bestimmen Sie alle Eigenwerte der komplexen Matrix

( \begin{matrix}0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \end{matrix} )

(Hinweis: Nicht alle Eigenwerte sind reell.) (4)

Abgabe: Dienstag, 27.7.99, 9.10 Uhr.