Mathematisches Institut SS 1999 der Universität München Blatt 1 Prof. Dr. B. Pareigis

MIIB: Lineare Algebra für Informatiker

1. Sei V ein Vektorraum über dem Körper K, und sei X eine Menge. Zeigen Sie, daß die Menge aller Abbildungen Abb(X, V) von X nach V in Bezug auf die Verknüpfungen

Abb(X, V) × Abb(X, V) → Abb(X, V), (f, g) ↦ f + g

mit (f + g)(x) := f(x) + g(x) und

K × Abb(X, V) → Abb(X, V), (α, f) ↦ αf

mit (αf)(x) := α(f(x)) ein Vektorraum ist. (Sie sollen also die Vektorraumaxiome detailliert überprüfen.) (4)

2. Sei

G := {f : ℝ → ℝ | ∀x ∈ ℝ [f(−x) = f(x)]}

der Raum der geraden Funktionen und

U := {f : ℝ → ℝ | ∀x ∈ ℝ [f(−x) = −f(x)]}

der Raum der ungeraden Funktionen.

(a) Zeigen Sie, daß G und U Untervektorräume des Vektorraumes Abb(ℝ, ℝ) sind. (1)

(b) Zeigen Sie: Abb(ℝ, ℝ) = G + U. (3)

3. Im Vektorraum ℝ^{3} betrachten wir die Vektoren v = (1, 2, 1) und w = (1, 2, −1).

(a) Zeigen Sie, daß der Vektor (1, 2, 5) eine Linearkombination von v und w ist. (2)

(b) Zeigen Sie, daß der Vektor (3, 4, 0) keine Linearkombination von v und w ist. (2)

4. Wir betrachten die reellen Zahlen als Vektorraum über den rationalen Zahlen (vgl. Beispiel 1.2.6). Zeigen Sie, daß \sqrt{7} keine Linearkombination von \sqrt{3} und \sqrt{5} ist. (Hinweis: Binomische Formel, Primfaktorzerlegung: Kann die Quadratwurzel einer Primzahl rational sein?) (4)

Abgabe: Dienstag, 18.5.99, 9.10 Uhr Sprechstunden: B. Pareigis: Donnerstag, 14.00-15.00, Raum 429 Y. Sommerhäuser: Mittwoch, 10.15-11.00, Raum 426 D. Hobst, R. Fischer: Nach den Übungsgruppen