Mathematisches Institut WS 1998/99 der Universität München Blatt 9 Prof. Dr. B. Pareigis

MIB: Lineare Algebra für Informatiker

35. Sei G eine Gruppe und U eine Unterhalbgruppe von G mit der Eigenschaft, daß U (mit der von G her eingeschränkten Operation) eine Gruppe ist. Zeigen Sie, daß das neutrale Element e_{U} von U mit dem neutralen Element e_{G} von G übereinstimmt. (4)

36. Sei G eine Gruppe. Beweisen Sie die Rechenregeln:

(a) ∀a, b ∈ G [(a ∘ b)^{−1} = b^{−1} ∘ a^{−1}]

(b) ∀a ∈ G [(a^{−1})^{−1} = a]

(4)

37. Sei G eine Gruppe, in der jedes Element zu sich selbst invers ist. Zeigen Sie, daß G kommutativ ist. (6)

38. Sei G eine endliche Gruppe, d. h. eine Gruppe, die nur endlich viele Elemente enthält. Zeigen Sie, daß es zu jedem a ∈ G ein n ∈ ℕ gibt, so daß

a^{n} := a ∘ … ∘ a = e

ist. (6)

Abgabe: Dienstag, 2.2.99, 9.10 Uhr.