Mathematisches Institut WS 1998/99 der Universität München Blatt 8 Prof. Dr. B. Pareigis

MIB: Lineare Algebra für Informatiker

31. Beweisen Sie die Formel von Zhu-Vandermonde:

\binom{m + n}{k} = ∑_{l=0}^{k} \binom{m}{l}\binom{n}{k − l}

für Zahlen k, m, n ∈ ℕ_{0} mit k ≤ m und k ≤ n. (Hinweis: Wenden Sie den binomischen Lehrsatz auf die Gleichung (1 + x)^{m+n} = (1 + x)^{m}(1 + x)^{n} an. Benutzen Sie ohne Beweis die Tatsache, daß im Reellen zwei Polynomfunktionen genau dann übereinstimmen, wenn ihre Koeffizienten übereinstimmen.) (4)

32. Betrachten Sie die in Definition 5.1 definierte Menge der ganzen Zahlen ℤ (vgl. auch Aufgabe 15).

(a) Zeigen sie, daß es genau eine Abbildung

+ : ℤ × ℤ → ℤ, (\overline{(a, b)}, \overline{(c, d)}) ↦ \overline{(a + c, b + d)}

gibt.

(b) Zeigen sie, daß es genau eine Abbildung

· : ℤ × ℤ → ℤ, (\overline{(a, b)}, \overline{(c, d)}) ↦ \overline{(ac + bd, ad + bc)}

gibt.

(c) Beweisen Sie das Distributivgesetz:

\overline{(a, b)}(\overline{(a′, b′)} + \overline{(a′′, b′′)}) = \overline{(a, b)} \overline{(a′, b′)} + \overline{(a, b)} \overline{(a′′, b′′)}

(6)

33. Betrachten Sie die in Definition 5.2 definierte Menge der rationalen Zahlen ℚ (vgl. auch Aufgabe 16).

(a) Zeigen sie, daß es genau eine Abbildung

+ : ℚ × ℚ → ℚ, (\frac{a}{b}, \frac{c}{d}) ↦ \frac{ad + bc}{bd}

gibt.

(b) Zeigen sie, daß es genau eine Abbildung

· : ℚ × ℚ → ℚ, (\frac{a}{b}, \frac{c}{d}) ↦ \frac{ac}{bd}

gibt.

(c) Beweisen Sie das Distributivgesetz:

\frac{a}{b}(\frac{a′}{b′} + \frac{a′′}{b′′}) = \frac{a}{b} \frac{a′}{b′} + \frac{a}{b} \frac{a′′}{b′′}

(6)

34. Betrachten Sie die in Definition 5.4 definierte Menge der komplexen Zahlen ℂ. Zeigen Sie, daß es zu jeder von (0, 0) verschiedenen komplexen Zahl (a, b) eine zweite komplexe Zahl (c, d) mit der Eigenschaft

(a, b)(c, d) = (1, 0)

gibt. (Hinweis: Erläutern Sie, wo Sie in Ihrer Argumentation benutzen, daß die komplexe Zahl von (0, 0) verschieden ist.) (4)

Abgabe: Dienstag, 26.1.99, 9.10 Uhr.