Mathematisches Institut WS 1998/99 der Universität München Blatt 6 Prof. Dr. B. Pareigis

MIB: Lineare Algebra für Informatiker

23. Betrachten Sie die Abbildung

f : A := {1, 2, 3, 4} → B := {1, 2}
1 ↦ 2, 2 ↦ 1, 3 ↦ 1, 4 ↦ 2

aus Aufgabe 19. Sei ∼ die durch f bestimmte Äquivalenzrelation. Zeigen Sie unter Benutzung des Faktorisierungssatzes, daß durch

f̄: A/ ∼ → B, ā ↦ f̄(ā) := f(a)

eine Abbildung definiert wird. Bestimmen Sie anschließend diese Abbildung explizit, indem Sie das Bild jeder Äquivalenzklasse angeben. (4)

24. Sei ℝ die Menge der reellen Zahlen. Wir führen auf ℝ eine Äquivalenzrelation ein, indem wir definieren:

r ∼ s :⇔ r − s ∈ ℤ

für r, s ∈ ℝ. Zeigen Sie, daß dadurch eine Äquivalenzrelation definiert wird. Zeigen Sie weiter unter Benutzung des Faktorisierungssatzes, daß es genau eine Abbildung

ℝ/ ∼ → ℝ, x̄ ↦ cos(2πx)

gibt. (Hinweis: Verwenden Sie die aus der Schule bekannte Tatsache, daß der Kosinus die Periode 2π hat, daß also gilt: cos(x + 2π) = cos(x).) (6)

25. Sei ℝ die Menge der reellen Zahlen und ∼ die in der vorhergehenden Aufgabe definierte Äquivalenzrelation. Zeigen Sie, daß die Abbildung

ℝ/ ∼ → ℝ, x̄ ↦ cos(x)

nicht wohldefiniert ist, indem Sie explizit eine Äquivalenzklasse angeben, die kein eindeutig bestimmtes Bild hat. (Hinweis: In Ihrer Lösung müssen ganz konkrete Zahlen auftauchen.) (5)

26. Sei ℤ die Menge der ganzen Zahlen. Wir führen auf ℤ eine Äquivalenzrelation ein, indem wir definieren:

n ∼ m :⇔ n − m ist durch 6 teilbar

für n, m ∈ ℤ. Zeigen Sie, daß dadurch eine Äquivalenzrelation definiert wird. Zeigen Sie weiter, daß es keine Abbildung

f : ℤ/ ∼ → ℤ/ ∼, n̄ ↦ f(n̄)

gibt, so daß für jede durch 3 teilbare ganze Zahl n gilt: f(n̄) = \overline{n/3}. (5)

Abgabe: Dienstag, 12.1.99, 9.10 Uhr. Wir wünschen schöne Weihnachten und ein frohes neues Jahr.