Mathematisches Institut WS 1998/99 der Universität München Blatt 5 Prof. Dr. B. Pareigis

MIB: Lineare Algebra für Informatiker

19. Betrachten Sie die Abbildung

f : A := {1, 2, 3, 4} → B := {1, 2}
1 ↦ 2, 2 ↦ 1, 3 ↦ 1, 4 ↦ 2

Nach Lemma 4.3 bestimmt f eine Äquivalenzrelation auf A, die wiederum nach Lemma 4.6 eine Partition von A bestimmt. Geben Sie diese Partition explizit an. (3)

20. Zeigen Sie, daß auf der Menge ℕ_{0} der natürlichen Zahlen einschließlich Null die Teilbarkeitsrelation eine Ordnungsrelation ist. Bestimmen Sie das größte und das kleinste Element. (5)

21. Sei A eine Menge. Bestimmen Sie alle Relationen auf A, die gleichzeitig eine Äquivalenzrelation und eine Ordnungsrelation sind. (5)

22. Eine Abbildung f : A → B zwischen geordneten Mengen heißt monoton (wachsend), falls gilt:

∀ a, a′ ∈ A[a ≤ a′ ⇒ f(a) ≤ f(a′)]

Sei f bijektiv und monoton. Ist dann auch die Umkehrabbildung monoton? (Begründen Sie Ihre Antwort, indem Sie einen Beweis oder ein Gegenbeispiel angeben.) (7)

Abgabe: Dienstag, 22.12.98, 9.10 Uhr