Mathematisches Institut WS 1998/99 der Universität München Blatt 3 Prof. Dr. B. Pareigis

MIB: Lineare Algebra für Informatiker

11. Sei f : A → B eine Abbildung. Zeigen Sie:

(a) f ist genau dann injektiv, wenn es eine Abbildung g : B → A mit g ∘ f = id_{A} gibt. (2)

(b) f ist genau dann surjektiv, wenn es eine Abbildung g : B → A mit f ∘ g = id_{B} gibt. (2)

12. Sei f : A → B eine Abbildung.

(a) Sei A′ eine Teilmenge von A. Dann gilt: A′ ⊂ f^{−1}(f(A′)). Ist f injektiv, so gilt sogar A′ = f^{−1}(f(A′)). (2)

(b) Sei B′ eine Teilmenge von B. Dann gilt: f(f^{−1}(B′)) ⊂ B′. Ist f surjektiv, so gilt sogar f(f^{−1}(B′)) = B′. (2)

13. Sei f : A → B eine Abbildung. Betrachten Sie die Abbildungen

ϕ : P(A) → P(B), A′ ↦ f(A′)
ψ : P(B) → P(A), B′ ↦ f^{−1}(B′)

Zeigen Sie:

(a) Ist f injektiv, so ist ϕ injektiv und ψ surjektiv. (3)

(b) Ist f surjektiv, so ist ϕ surjektiv und ψ injektiv. (3)

(Hinweis: Verwenden Sie die beiden vorhergehenden Aufgaben.)

14. Zeigen Sie den Satz von Cantor: Eine Menge läßt sich nicht surjektiv auf ihre Potenzmenge abbilden. (Hinweis: Sei f : A → P(A) eine hypothetische surjektive Abbildung. Betrachten Sie die Menge {a ∈ A | a ∉ f(a)} und argumentieren Sie wie beim Russellschen Paradoxon.) (6)

Abgabe: Dienstag, 1.12.98, 9.10 Uhr Sprechstunde Andreas Sykora: Freitag, 12.15-13.00, vor den Übungskästen