Mathematisches Institut WS 1998/99 der Universität München Blatt 2 Prof. Dr. B. Pareigis

MIB: Lineare Algebra für Informatiker

6. Seien A, B und C Mengen. Die symmetrische Differenz von A und B ist AΔB := (A ∪ B) \ (A ∩ B) (vgl. Definition 1.13). Zeigen Sie:

(a) AΔB = (A \ B) ∪ (B \ A),

(b) \overline{A}Δ\overline{B} = AΔB,

(c) AΔ(BΔC) = (AΔB)ΔC. (4)

7. Zeigen Sie für Mengen A, B und C:

(a) A ∩ (BΔC) = (A ∩ B)Δ(A ∩ C),

(b) AΔ(B ∩ C) ⊃ (AΔB) ∩ (AΔC),

(c) AΔ(B ∩ C) ⊂ (AΔB) ∪ (AΔC).

(d) Geben Sie Beispiele an, in denen die Inklusionen in (b) und (c) echt sind. (4)

8. Zeigen Sie für Mengen A und B:

(a) P (A ∩ B) = P (A) ∩ P (B),

(b) P (A) ∪ P (B) ⊂ P (A ∪ B),

(c) P (A ∪ B) = P (A) ∪ P (B) ⇔ A ⊂ B ∨ B ⊂ A,

(d) P (A)ΔP (B) und P (AΔB) sind genau dann disjunkt, wenn A = B gilt. (5)

9. Sei A eine Menge. Eine Relation (A, A, R) auf A heißt transitiv, wenn gilt: Ist (a, b) ∈ R und (b, c) ∈ R, so ist auch (a, c) ∈ R. Zeigen Sie: Sind (A, A, R_{1}) und (A, A, R_{2}) transitive Relationen, so ist auch (A, A, R_{1} ∩ R_{2}) transitiv. (3)

10. Sei f : A → B eine Abbildung. A_{1} und A_{2} seien Teilmengen von A.

(a) Zeigen Sie: f(A_{1} ∪ A_{2}) = f(A_{1}) ∪ f(A_{2}), oder widerlegen Sie diese Gleichung anhand eines Gegenbeispiels.

(b) Zeigen Sie: f(A_{1} ∩ A_{2}) = f(A_{1}) ∩ f(A_{2}), oder widerlegen Sie diese Gleichung anhand eines Gegenbeispiels. (4)

Abgabe: Dienstag, 24.11.98, 9.10 Uhr