Mathematisches Institut WS 1998/99 der Universität München Blatt 12 Prof. Dr. B. Pareigis

MIB: Lineare Algebra für Informatiker

47. Seien R und S zwei Ringe. Zeigen Sie, daß das kartesische Produkt R × S ein Ring ist, wenn man die Addition durch

(r, s) + (r′, s′) := (r + r′, s + s′)

und die Multiplikation durch

(r, s) · (r′, s′) := (r · r′, s · s′)

definiert. (Hinweis: Geben Sie alle weiteren Strukturelemente, etwa das neutrale Element der Addition, der Multiplikation etc., explizit an. Überprüfen Sie, daß diese Elemente die verlangten Eigenschaften auch besitzen.) (4)

48. Zeigen Sie oder widerlegen Sie: Sind in der vorhergehenden Aufgabe R und S Körper, so ist auch R × S ein Körper. (Hinweis: Das Widerlegen einer Aussage erfordert immer die Angabe eines expliziten Gegenbeispiels, während es zum Beweis einer Aussage nicht genügt, sie an einem Beispiel zu überprüfen.) (4)

49. Sei n eine natürliche Zahl. Zeigen Sie, daß die Ringe ℤ/(n) × ℤ/(n) und ℤ/(n^{2}) nicht isomorph sind. (5)

50. Seien n und m teilerfremde natürliche Zahlen. Zeigen Sie, daß die Ringe ℤ/(nm) und ℤ/(n)×ℤ/(m) isomorph sind. (Hinweis: Nach Folgerung 3.10 gibt es ganze Zahlen a, b ∈ ℤ mit an + bm = 1. (Warum?)) (7)

Abgabe: Dienstag, 23.2.99, 9.10 Uhr.