Mathematisches Institut WS 1998/99 der Universität München Blatt 11 Prof. Dr. B. Pareigis

MIB: Lineare Algebra für Informatiker

43. Sei n, m ∈ ℕ natürliche Zahlen. Zeigen Sie, daß es genau dann einen injektiven Gruppenhomomorphismus

f : ℤ/(n) → ℤ/(m)

gibt, wenn n ein Teiler von m ist. (6)

44. Sei f : G → G′ ein Gruppenhomomorphismus. Zeigen Sie, daß

ker(f) := {g ∈ G | f(g) = 1}

der sog. Kern von f, eine normale Untergruppe von G ist. (3)

45. Sei G eine Gruppe und N eine normale Untergruppe von G. Zeigen Sie, daß es einen Gruppenhomomorphismus f : G → G′ in eine andere Gruppe G′ gibt, so daß N = ker(f) ist. (6)

46. Betrachten Sie die Permutation σ : {1, …, n} → {1, …, n}, die durch

σ(i) := \begin{cases}i + 1 & : i ≠ n \\ 1 & : i = n \end{cases}

definiert ist. Zeigen Sie, daß das Vorzeichen von σ gleich (−1)^{n−1} ist. (5)

Abgabe: Dienstag, 16.2.99, 9.00 Uhr. Bitte beachten Sie, daß die dritte Klausur am 16.2.99 um 9.15 Uhr in den Hörsälen 122 und 138 geschrieben wird, also nicht während der Anwesenheitsübung, sondern während der Vorlesung, da wegen des Karnevals das Haus am Nachmittag geschlossen ist. Die Abgabe des Übungsblattes findet daher zehn Minuten früher als üblich statt.