Mathematisches Institut WS 1998/99 der Universität München Blatt 10 Prof. Dr. B. Pareigis

MIB: Lineare Algebra für Informatiker

39. Sei n ∈ ℕ eine natürliche Zahl. Zeigen Sie, daß ℤ/(n) nicht frei über der Menge {1} ist, wobei die Einbettungsabbildung definiert ist als:

ι : {1} → ℤ/(n), 1 ↦ ¯1

(5)

40. Sei A eine Menge und F (A) die freie Gruppe über A. Zeigen Sie: Enthält A mindestens 2 Elemente, so ist F (A) nicht kommutativ. (5)

41. Sei H eine Halbgruppe und E = {e} eine einelementige Menge, die keine Teilmenge von H ist. Zeigen Sie, daß M := H ∪ E zu einem Monoid wird, wenn man auf M die Verknüpfung ∘ durch

e ∘ e = e e ∘ h = h h ∘ e = h g ∘ h = g · h

für g, h ∈ H einführt, wobei · die Verknüpfung auf H bezeichnet. (5)

42. Zeigen Sie oder widerlegen Sie durch explizite Angabe eines Gegenbeispiels: Sind M und N Monoide und ist f : M → N ein Halbgruppenhomomorphismus, so ist f auch ein Monoidhomomorphismus. (5)

Abgabe: Dienstag, 9.2.99, 9.10 Uhr.