Mathematisches Institut WS 1998/99 der Universität München Blatt 1 Prof. Dr. B. Pareigis

MIB: Lineare Algebra für Informatiker

1. Welche der folgenden Mengen sind nicht leer:

(a) {x|x ∈ ℕ ∧ 2x + 1 = 3}

(b) {x|x ∈ ℚ ∧ x^{2} + 4 = 6}

(c) {x|x ∈ ℤ ∧ 3x + 5 = 9}

(d) {x|x ∈ ℝ ∧ x^{2} + 4 = 6}

(e) {x ∈ ℝ|x^{2} + 5 = 4}

(f) {x ∈ ℝ|x^{2} + 3x + 3 = 0} (Lösung durch Angabe mindestens eines Elementes aus der Menge bzw. die Angabe der leeren Menge. Schulkenntnisse sollen verwendet werden.) (3)

2. Zeigen Sie, daß für die Mengen A und B folgende Aussagen äquivalent sind: (a) A und B sind disjunkt.

(b) A \ B = A.

(c) B \ A = B. (4)

3. Geben Sie Beispiele von Mengen A_{1}, B_{1}, C_{1} und A_{2}, B_{2}, C_{2} mit (a) A_{1} ∈ B_{1} ∧ B_{1} ∈ C_{1} ∧ A_{1} ∉ C_{1},

(b) A_{2} ∈ B_{2} ∧ B_{2} ∈ C_{2} ∧ A_{2} ∈ C_{2}. (4)

4. Seien A_{1} := {1 · 2^{1}, 2 · 2^{1}, 3 · 2^{1}, 4 · 2^{1}, … } = 2ℕ,

A_{2} := {1 · 2^{2}, 2 · 2^{2}, 3 · 2^{2}, 4 · 2^{2}, … } = 2^{2}ℕ, …
A_{n} := {1 · 2^{n}, 2 · 2^{n}, 3 · 2^{n}, 4 · 2^{n}, … } = 2^{n}ℕ, …

und sei M := {A_{1}, A_{2}, A_{3}, …, A_{n}, … }. Zeigen Sie:

⋂_{A_{n}∈M} A_{n} = ∅.

(5)

5. Zeigen Sie durch elementweises Rechnen

A ∪ (A ∩ B) = A, \overline{A ∩ B} = \overline{A} ∪ \overline{B}. (3)

Abgabe: Dienstag, 17.11.98, 9.10 Uhr Sprechstundenänderung: Y. Sommerhäuser, Donnerstag, 10.15-11.00, Raum 426