Mathematisches Institut SS 1998 der Universität München Blatt 9 Prof. Dr. B. Pareigis

Theorie der Quantengruppen II

1. Sei A eine Algebra über K mit Algebrenhomomorphismen Δ : A → A ⊗ A und ϵ : A → K. A heißt eine Quasi-Bialgebra, wenn es invertierbare Elemente ϕ ∈ A ⊗ A ⊗ A, r, l ∈ A gibt, so daß gilt:

(a) (id ⊗ Δ)Δ(a) = ϕ((Δ ⊗ id)Δ(a))ϕ^{−1}

(b) (ϵ ⊗ id)Δ(a) = l^{−1}al

(c) (id ⊗ ϵ)Δ(a) = r^{−1}ar

(d) (id ⊗ id ⊗ Δ)(ϕ)(Δ ⊗ id ⊗ id)(ϕ) = (1 ⊗ ϕ)(id ⊗ Δ ⊗ id)(ϕ)(ϕ ⊗ id)

(e) (id ⊗ ϵ ⊗ id)(ϕ) = r ⊗ l^{−1}

Zeigen Sie, daß die Kategorie der A-Moduln eine monoidale Kategorie ist, wenn wir setzen:

α((v ⊗ w) ⊗ u) = ϕ(v ⊗ (w ⊗ u))
λ(1 ⊗ v) = lv ρ(v ⊗ 1) = rv

2. Sei A eine Quasi-Bialgebra. Es sei r = l = 1. Unter einer Eichtransformation versteht man ein invertierbares Element von A ⊗ A mit der Eigenschaft:

(ϵ ⊗ id)(F) = (id ⊗ ϵ)(F) = 1

Definiere:

Δ_{F} (a) := F Δ(a)F^{−1}
ϕ_{F} := (1 ⊗ F)(id ⊗ Δ)(F)ϕ(Δ ⊗ id)(F^{−1})(F^{−1} ⊗ 1)

Zeigen Sie, daß A mit Δ_{F}, ϕ_{F} und r = l = 1 wieder eine Quasi-Bialgebra ist, die mit A_{F} bezeichnet wird. (Hinweis: Das ist eine etwas längere Rechnung.)

3. Zeigen Sie unter den Voraussetzungen der vorhergehenden Aufgabe, daß es einen monoidalen Funktor von der Kategorie der A-Moduln in die Kategorie der A_{F} -Moduln gibt. (Hinweis: Definieren Sie eine natürliche Transformation durch: ψ(v ⊗ w) := F^{−1}(v ⊗ w).)

4. Zusatzaufgabe: Sei A eine Algebra über K mit Algebrenhomomorphismen Δ : A → A ⊗ A und ϵ : A → K. Erklären Sie, auf welche Weise das Tensorprodukt zweier A-Moduln und der Grundkörper A-Moduln sind. Zeigen Sie, daß die Kategorie der A-Moduln genau dann eine monoidale Kategorie ist, wenn A eine Quasi-Bialgebra ist.

Zusatzaufgaben werden weder korrigiert noch bewertet. Abgabe: Mittwoch, 15.7.98, 16.15 Uhr