Mathematisches Institut SS 1998 der Universität München Blatt 7 Prof. Dr. B. Pareigis

Theorie der Quantengruppen II

1. Sind V und W G-graduierte Vektorräume, so ist auch das Tensorprodukt ein G-graduierter Vektorraum durch:

(V ⊗ W)_{g} := ⨁_{h,k∈G,hk=g} V_{h} ⊗ W_{k}

Erklären Sie, wie die G-graduierten Vektorräume auf diese Weise zu einer monoidalen Kategorie werden. (Überprüfen Sie nicht die Kohärenzdiagramme.) Zeigen Sie, daß der Funktor, der einem G-graduierten Vektorraum einen K[G]-Komodul zuordnet (Vgl. Blatt 13, Aufg. 2 im WS 97/98) ein monoidaler Funktor ist.

2. Bestimmen Sie in der Kategorie der ℕ-graduieren Vektorräume alle Objekte M, die ein Linksdual besitzen.

3. Sei (M^{∗}, ev, db) ein Linksdual für M. Zeigen Sie, daß db : I → M ⊗ M^{∗} durch M, M^{∗} und ev eindeutig bestimmt ist. (Eindeutigkeit der Dualbasis.)

4. Zusatzaufgabe: Sei B = K⟨x, y⟩/I, wobei I durch x^{2}, xy + yx erzeugt ist. Dann ist B eine Bialgebra mit der Diagonalen Δ(y) = y ⊗ y, Δ(x) = x ⊗ 1 + y ⊗ x. Die Koeinheit ist ε(y) = 1, ε(x) = 0.

Zeigen Sie, daß die Kategorie K-Comp der Kettenkomplexe zu der Kategorie B-Comod der B-Komoduln durch die folgende Konstruktion äquivalent ist: Ist M ein Kettenkomplex, so definiere eine B-Komodulstruktur auf M = ⊕_{i∈ℕ}M_{i} mit der Strukturabbildung δ : M → B ⊗ M, δ(m) := y^{i}⊗m+xy^{i−1}⊗∂_{i}(m) für alle m ∈ M_{i} und für alle i ∈ ℕ resp. δ(m) := 1⊗m für m ∈ M_{0}. Ist umgekehrt M, δ : M → B ⊗ M ein B-Komodul, so definiere K-Moduln M_{i} := {m ∈ M|∃m′ ∈ M : δ(m) = y^{i} ⊗ m + xy^{i−1} ⊗ m′} und K-lineare Abbildungen ∂_{i} : M_{i} → M_{i−1} by ∂_{i}(m) := m′ for δ(m) = y^{i}⊗m+xy^{i−1}⊗m′. Zeigen Sie, daß dies eine Kategorienäquivalenz definiert. (Hinweis: Sei m ∈ M ∈ B-Comod. Da y^{i}, xy^{i} eine Basis von B ist, haben wir δ(m) = ∑_{i} y^{i} ⊗ m_{i} + ∑_{i} xy^{i} ⊗ m′_{i}. Wendet man das auf die Gleichung (1 ⊗ δ)δ = (Δ ⊗ 1)δ und vergleicht Koeffizienten, so erhält man

δ(m_{i}) = y^{i} ⊗ m_{i} + xy^{i−1} ⊗ m′_{i−1}, δ(m′_{i}) = y^{i} ⊗ m′_{i}

für alle i ∈ ℕ_{0} (mit m′_{−1} = 0). Daher gibt es zu jedem m_{i} ∈ M_{i} genau ein ∂(m_{i}) = m′_{i−1} ∈ M mit der Eigenschaft:

δ(m_{i}) = y^{i} ⊗ m_{i} + xy^{i−1} ⊗ ∂(m_{i})

Wegen δ(m′_{i−1}) = y^{i−1} ⊗ m′_{i−1} für alle i ∈ ℕ ergibt sich ∂(m_{i}) ∈ M_{i−1}. Wir haben also ∂ : M_{i} → M_{i−1} definiert. Aus dieser Gleichung folgt weiter ∂^{2}(m_{i}) = 0 für alle i ∈ ℕ. Wir haben also aus (M, δ) einen Kettenkomplex erhalten.

Aus (ϵ⊗1)δ(m) = m ergibt sich m = ∑ m_{i} mit m_{i} ∈ M_{i}, also M = ⨁_{i∈ℕ} M_{i}. Das ergibt zusammen mit der umgekehrten Konstruktion die gewünschte Kategorienäquivalenz.)

Zusatzaufgaben werden weder korrigiert noch bewertet. Abgabe: Mittwoch, 1.7.98, 16.15 Uhr