Mathematisches Institut SS 1998 der Universität München Blatt 6 Prof. Dr. B. Pareigis

Theorie der Quantengruppen II

1. Seien X und Y zwei Mengen und f und g zwei Abbildungen von X nach Y. Konstruieren Sie einen Differenzkokern von f und g.

2. Ein Monoid M heißt frei über der Teilmenge X ⊂ M, falls sich jede mengentheoretische Abbildung von X in ein Monoid N zu einem Monoidhomomorphismus von M nach N fortsetzen läßt. Sei X eine Menge. Setze M := ⋃_{n=0}^{∞} X^{n}, wobei X^{0} aus einem Element bestehe, daß nicht in X liege und das leere Wort heiße. Zeigen Sie, daß M durch die Verknüpfung

(x_{1}, …, x_{n})(y_{1}, …, y_{m}) := (x_{1}, …, x_{n}, y_{1}, …, y_{m})

zu einem Monoid wird, das frei über X ist. Was ist das Einselement?

3. Zeigen Sie, daß die Kategorie der Monoide Koprodukte besitzt. Zeigen Sie, daß der Einbettungsfunktor von der Kategorie der kommutativen Monoide in die Kategorie der Monoide keinen rechtsadjungierten Funktor besitzt. (vgl. Aufg. 2, Blatt 2. Hinweis: Konstruieren Sie das Koprodukt von M und N als einen Quotienten des freien Monoids über M ∪ N)

4. Zusatzaufgabe: Sei A eine Algebra über dem Körper K. Betrachte den Vergißfunktor F : A − Mod → V ek von der Kategorie der A-Linksmoduln in die Kategorie der Vektorräume. Zeigen Sie, daß für a ∈ A die Abbildung

ϕ_{M} : M → M, m ↦ am

eines A-Moduls M in sich eine natürliche Transformation von F in F ist. Zeigen Sie, daß jede natürliche Transformation von F nach F von dieser Form ist.

Zusatzaufgaben werden weder korrigiert noch bewertet. Abgabe: Mittwoch, 24.6.98, 16.15 Uhr