Mathematisches Institut SS 1998 der Universität München Blatt 5 Prof. Dr. B. Pareigis

Theorie der Quantengruppen II

1. Sei C eine Kategorie und seien f_{X} : X → Z, f_{Y} : Y → Z zwei Morphismen. Ein Objekt P zusammen mit zwei Morphismen p_{X} : P → X und p_{Y} : P → Y heißt Faserprodukt (auch: kartesisches Diagramm) von f_{X} und f_{Y}, falls f_{X} ∘ p_{X} = f_{Y} ∘ p_{Y} ist und für jedes Objekt Q mit zwei Morphismen q_{X} : Q → X und q_{Y} : Q → Y mit f_{X} ∘ q_{X} = f_{Y} ∘ q_{Y} genau ein Morphismus g : Q → P existiert, für den gilt:

p_{X} ∘ g = q_{X} p_{Y} ∘ g = q_{Y}

Zeigen Sie, daß vollständige Kategorien Faserprodukte besitzen, indem Sie das Faserprodukt explizit als Differenzkern konstruieren (vgl. Vorlesung).

2. Eine geordnete Menge I heißt gerichtet, falls für jedes i, j ∈ I ein k ∈ I mit i ≤ k und j ≤ k existiert (vgl. Blatt 4, Aufg. 1). Sei Ab die Kategorie der abelschen Gruppen. Für jedes i ∈ I sei eine abelsche Gruppe A_{i} gegeben. Für i ≤ j sei ein Morphismus f_{ij} : A_{i} → A_{j} gegeben, so daß f_{ii} = id ist und für i ≤ j ≤ k gilt:

f_{ik} = f_{jk} ∘ f_{ij}

Auf der disjunkten Vereinigung ⋃_{i∈I} A_{i} führen wir eine Äquivalenzrelation dadurch ein, daß wir a_{i} ∈ A_{i} und a_{j} ∈ A_{j} äquivalent nennen, sofern ein k ≥ i, j mit f_{ik}(a_{i}) = f_{jk}(a_{j}) existiert. Zeigen Sie, daß hierdurch wirklich eine Äquivalenzrelation definiert wird. Erklären Sie, wie der Faktorraum ⋃_{i∈I} A_{i}/ ∼ zu einer abelschen Gruppe wird. Zeigen Sie, daß diese abelsche Gruppe zum induktiven Limes des Diagramms isomorph ist.

3. Sei C eine Kategorie und I eine kleine Kategorie. D sei ein Diagrammschema. Für jedes Objekt i ∈ I sei ein Diagramm F_{i} : D → C mit projektivem Limes P_{i} gegeben. Für jeden Morphismus q : i → j sei eine natürliche Transformation ϕ_{q} : F_{i} → F_{j} gegeben. Es gelte: ϕ_{q∘p} = ϕ_{q} ∘ ϕ_{p} und ϕ_{id} = id. Konstruieren Sie für jeden Morphismus q : i → j einen Morphismus P_{q} : P_{i} → P_{j}. Zeigen Sie, daß auf diese Weise ein Funktor P : I → C entsteht. Zeigen Sie, daß ein projektiver Limes dieses Funktors als Limes eines einzigen Funktors F : I ×D → C aufgefaßt werden kann. Konstruieren Sie den Funktor F.

4. Zusatzaufgabe: Sei (X_{i})_{i∈I} eine Familie topologischer Räume. Wir nennen eine Menge in der disjunkten Vereinigung dieser Räume offen, wenn ihr Durchschnitt mit jedem der einzelnen topologischen Räume offen ist. Zeigen Sie, daß die disjunkte Vereinigung auf diese Weise zu einem topologischen Raum wird. Zeigen Sie, daß dieser topologische Raum das Koprodukt der Familie (X_{i})_{i∈I} in der Kategorie der topologischen Räume ist.

Zusatzaufgaben werden weder korrigiert noch bewertet. Abgabe: Mittwoch, 17.6.98, 16.15 Uhr