Mathematisches Institut SS 1998 der Universität München Blatt 4 Prof. Dr. B. Pareigis

Theorie der Quantengruppen II

1. Eine geordnete Menge I heißt gerichtet, falls für jedes i, j ∈ I ein k ∈ I mit i ≤ k und j ≤ k existiert. Sei C eine Kategorie. Für jedes i ∈ I sei ein Objekt C_{i} aus C gegeben. Für i ≤ j sei ein Morphismus f_{ij} : C_{i} → C_{j} gegeben, so daß f_{ii} = id ist und für i ≤ j ≤ k gilt:

f_{ik} = f_{jk} ∘ f_{ij}

Erklären Sie, auf welche Weise I ein Diagrammschema und das System der f_{ij} ein Diagramm ist. Erklären Sie, durch welche Eigenschaften ein induktiver Limes dieses Diagramms charakterisiert ist. (Bemerkung: Es gibt drei Bezeichnungsweisen für Limites, die wie folgt zusammenhängen: Es ist: induktiver Limes = direkter Limes = Kolimes. Andererseits ist: projektiver Limes = inverser Limes = Limes.)

2. Zeigen Sie, daß in der Kategorie der Koalgebren induktive Limites existieren. (Verlangt ist das nur für gerichtete Mengen, die Aussage gilt aber allgemein.)

3. Zeigen Sie: In einer Koalgebra ist jedes Element in einer endlichdimensionalen Unterkoalgebra enthalten. Zeigen Sie, daß jede Koalgebra induktiver Limes ihrer endlichdimensionalen Unterkoalgebren ist. Erklären Sie, welche gerichtete Menge Sie Ihren Betrachtungen zugrunde legen.

4. Zusatzaufgabe: Sei A eine Algebra über dem Körper K. Sei I die Menge der zweiseitigen Ideale endlicher Kodimension, gerichtet durch die umgekehrte Inklusion. Für I, J ∈ I mit I ≤ J sei f_{IJ} : (A/I)^{∗} → (A/J)^{∗} die Transposition der kanonischen Abbildung A/J → A/I. Zeigen Sie, daß der induktive Limes dieses Diagramms zu A^{∘} isomorph ist.

Zusatzaufgaben werden weder korrigiert noch bewertet. Abgabe: Mittwoch, 10.6.98, 16.15 Uhr