Mathematisches Institut SS 1998 der Universität München Blatt 3 Prof. Dr. B. Pareigis

Theorie der Quantengruppen II

1. B := K[ℕ] sei der Monoidring der natürlichen Zahlen über einem Körper. H := K[ℤ] sei der Gruppenring der ganzen Zahlen. Offenbar ist B ⊂ H. Zeigen Sie: Ist A eine Hopfalgebra und f : B → A ein Bialgebrenhomomorphismus, so existiert genau ein Hopfalgebrenhomomorphismus von H nach A, der f fortsetzt.

2. Sei B eine Bialgebra. Konstruieren Sie eine Hopfalgebra H mit bijektiver Antipode und einen Bialgebrenhomomorphismus ι : B → H, so daß für jeden Bialgebrenhomomorphismus f : B → A in eine Hopfalgebra A mit bijektiver Antipode genau ein Hopfalgebrenhomomorphismus g : H → A mit g ∘ ι = f existiert.

3. Sei H die Taft-Algebra (vgl. Blatt 11, Aufg. 4 im WS 97/98). G : H → K sei der Algebrenhomomorphismus mit G(g) = ξ und G(x) = 0. X : H → K sei diejenige lineare Abbildung, die auf der Basis (vgl. Blatt 12, Aufg. 3 im WS 97/98) aus geordneten Produkten von Erzeugenden gegeben ist durch:

X(g^{i}x^{j}) = δ_{j,1}

für i, j = 0, …, n−1. Zeigen Sie, daß es einen eindeutig bestimmten Hopfalgebrenisomorphismus f : H → H^{∗} mit f(x) = X und f(g) = G gibt.

4. Zusatzaufgabe: Sei K ein Körper der Charakteristik Null. Der Polynomring K[x] ist eine Hopfalgebra mit primitivem Element x, inbesondere also eine Koalgebra. Zeigen Sie, daß die duale Algebra zum Ring K[[x]] der formalen Potenzreihen isomorph ist. Ist diese Aussage auch für Körper positiver Charakteristik richtig?

Zusatzaufgaben werden weder korrigiert noch bewertet. Abgabe: Mittwoch, 4.6.98, 16.15 Uhr