Mathematisches Institut SS 1998 der Universität München Blatt 2 Prof. Dr. B. Pareigis

Theorie der Quantengruppen II

1. Für eine Gruppe G sei G′ die Untergruppe, die von allen Elementen der Form ghg^{−1}h^{−1}, den sog. Kommutatoren, erzeugt wird. Zeigen Sie, daß G′ ein Normalteiler von G ist. Die Faktorgruppe G_{ab} := G/G′ heißt die Kommutatorfaktorgruppe von G.

Zeigen Sie, daß

F : Gr → Ab, G ↦ G_{ab}

ein Funktor von der Kategorie der Gruppen in die Kategorie der abelschen Gruppen ist, der linksadjungiert zum Einbettungsfunktor E : Ab → Gr ist.

2. Zeigen Sie, daß der Einbettungsfunktor E aus der vorhergehenden Aufgabe keinen rechtsadjungierten Funktor besitzt. (Hinweis: Duale Form von Aufgabe 1 auf Blatt 1.)

3. Seien F : C → D und F′ : C → D zwei Funktoren, die natürlich äquivalent sind. Zeigen Sie: Ist F linksadjungiert zu G : D → C, so auch F′. Zeigen Sie umgekehrt: Sind F und F′ beide linksadjungiert zu G, so sind sie natürlich äquivalent.

4. Zusatzaufgabe: Ein hausdorffscher topologischer Raum heißt ein Kelley-Raum, wenn eine Menge abgeschlossen ist, sofern ihr Durchschnitt mit jeder kompakten Teilmenge abgeschlossen ist. Die Kelley-Räume bilden eine Kategorie, die wir mit K bezeichnen.

Jedem hausdorffschen topologischen Raum X ordnen wir einen neuen topologischen Raum X_{K} zu, dessen abgeschlosse Mengen genau die Mengen sind, für die der Durchschnitt mit jedem Kompaktum bezüglich der ursprünglichen Topologie abgeschlossen ist. Zeigen Sie, daß X_{K} ein Kelley-Raum ist. Zeigen Sie, daß die Zuordnung X ↦ X_{K} einen Funktor von der Kategorie H der Hausdorff-Räume in die Kategorie K der Kelley-Räume bestimmt, der rechtsadjungiert zu Einbettungsfunktor von K nach H ist.

Zusatzaufgaben werden weder korrigiert noch bewertet. Sie sind häufig bedeutend schwieriger als die übrigen Aufgaben und dienen der eigenständigen Auseinandersetzung mit mathematischen Fragestellungen. Abgabe: Mittwoch, 27.5.98, 16.15 Uhr