Mathematisches Institut SS 1998 der Universität München Blatt 10 Prof. Dr. B. Pareigis

Theorie der Quantengruppen II

1. Sei C eine linksstarre monoidale Kategorie. Zeigen Sie, daß für zwei Objekte M und N die Objekte (M ⊗ N)^{∗} und N^{∗} ⊗ M^{∗} isomorph sind.

2. Sei H eine endlichdimensionale Bialgebra, für die die Kategorie der endlichdimensionalen H-Linksmoduln linksstarr und die Kategorie der endlichdimensionalen H-Rechtsmoduln rechtsstarr ist. Zeigen Sie, daß H eine Hopfalgebra ist.

3. Sei ℕ = {1, 2, … } die Menge der natürlichen Zahlen. Wir fassen ℕ als Kategorie auf, in der es nur Identitäten als Morphismen gibt. ℕ ist eine monoidale Kategorie mit der Multiplikation als Tensorprodukt. Zeigen Sie, daß der Funktor F : ℕ → V ek mit F (n) := K^{n} ein monoidaler Funktor ist. Ist F strikt?

4. Zusatzaufgabe: Sei C eine links- und rechtsstarre abelsche monoidale Kategorie. Sei U ein Unterobjekt des neutralen Objekts durch f : U → I. Zeigen Sie: I := U ⊕ U′, wobei U′ := ker(f^{∗} : I → U^{∗}).

Zusatzaufgaben werden weder korrigiert noch bewertet. Abgabe: Mittwoch, 22.7.98, 16.15 Uhr