Mathematisches Institut SS 1998 der Universität München Blatt 1 Prof. Dr. B. Pareigis

Theorie der Quantengruppen II

1. C und D seien Kategorien. F : C → D sei linksadjungiert zu G : D → C. Sei P ∈ D zusammen mit den Morphismen π_{i} : P → D_{i} ein Produkt der Familie (D_{i})_{i∈I} von Objekten. Zeigen Sie, daß GP zusammen mit den Morphismen Gπ_{i} : GP → GD_{i} ein Produkt der Familie (GD_{i})_{i∈I} ist.

2. Seien R und S Ringe. C sei die Kategorie der R-Linksmoduln und D die Kategorie der S-Linksmoduln. U sei ein S-R-Bimodul. Erklären Sie, wie F : C → D, M ↦ U ⊗_{R} M zu einem Funktor wird. Erklären Sie, wie G : D → C, N ↦ Hom_{S}(U, N) zu einem Funktor wird. Zeigen Sie, daß F linksadjungiert zu G ist. Beschreiben Sie Einheit und Koeinheit.

3. Jeder assoziativen Algebra A ordnen wir die Liealgebra Lie(A) mit der Lieklammer [a, b] := ab − ba zu. Umgekehrt ordnen wir jeder Liealgebra ihre universelle Einhüllende zu. Erkären Sie, warum durch diese Konstruktionen adjungierte Funktoren erklärt werden. (Zwischen welchen Kategorien?) Beschreiben Sie Einheit und Koeinheit.

4. Zusatzaufgabe: Sei X ein topologischer Raum mit Basispunkt x_{0}. Wir definieren die (reduzierte) Einhängung

EX := (X × [0, 1])/ ∼

wobei ∼ die Äquivalenzrelation ist, die zu der Partition

{X × {0} ∪ X × {1} ∪ {x_{0}} × [0, 1]} ∪ ⋃_{x∈X\{x_{0}},t∈]0,1[}{(x, t)} }

gehört. EX trage die Quotiententopologie und besitze als Basispunkt die Äquivalenzklasse X × {0} ∪ X × {1} ∪ {x_{0}} × [0, 1].

Weiter definieren wir den Schleifenraum

ΩX := {γ : [0, 1] → X | γ ist stetig und γ(0) = γ(1) = x_{0}}

ΩX trage die kompakt-offene Topologie und besitze als Basispunkt den Weg γ_{x_{0}}, der konstant gleich x_{0} ist.

Erklären Sie, auf welche Weise Einhängung und Schleifenraum Funktoren von der Kategorie der topologischen Räume mit Basispunkt in sich sind. Zeigen Sie, daß sie zueinander adjungiert sind. (Hinweis: Benutzen Sie J. L. Kelley, General Topology, Theorem 7.5, S. 223, ohne dafür einen Beweis anzugeben.)

Zusatzaufgaben werden weder korrigiert noch bewertet. Sie sind häufig bedeutend schwieriger als die übrigen Aufgaben und dienen der eigenständigen Auseinandersetzung mit mathematischen Fragestellungen. Abgabe: Mittwoch, 20.5.98, 16.15 Uhr