ALGEBRA II

Prof. Dr. B. Pareigis

Sommersemester 1997

Inhaltsverzeichnis

1. Das Tensorprodukt und freie Moduln 2 2. Darstellbare Funktoren 6 3. Projektive Moduln und Generatoren 12 4. Die Morita-Theoreme 20 5. Einfache und halbeinfache Ringe 26 6. Noethersche Moduln 33 7. Radikal und Sockel 35 8. Lokale Ringe 40 9. Lokalisierung 41 10. Präsenzübungen zur Algebra II 47

1. Das Tensorprodukt und freie Moduln

Definition 1.1. Sei R ein Ring (immer assoziativ mit Einselement). Ein R-Links-Modul_{R}M ist eine (additiv geschriebene) abelsche Gruppe M zusammen mit einer Operation R × M ∋ (r, m) ↦ rm ∈ M, so daß

(1) (rs)m = r(sm),

(2) (r + s)m = rm + sm,

(3) r(m + m′) = rm + rm′,

(4) 1m = m für alle r, s ∈ R, m, m′ ∈ M. Ein R-Modul-Homomorphismus f : _{R}M ⟶ _{R}N ist ein Gruppenhomomorphismus mit f(rm) = rf(m). Analog definiert man R-Rechts-Moduln M_{R}. Hom_{R}(M, N) := {f : _{R}M ⟶ _{R}N|f ist ein R-Modul-Homomorphismus}.

Lemma 1.2. Hom_{R}(M, N) ist eine abelsche Gruppe durch (f + g)(m) := f(m) + g(m).

Beweis: Da N eine abelsche Gruppe ist, ist auch die Menge der Abbildungen Abb(M, N) eine abelsche Gruppe. Die Menge der Gruppenhomomorphismen Hom(M, N) ist eine Untergruppe von Abb(M, N) (gilt nur für abelsche Gruppen, MIB). Wir zeigen, daß Hom_{R}(M, N) eine Untergruppe von Hom(M, N) ist. Dazu ist nur zu zeigen, daß mit f und g auch f − g ein R-Modul-Homomorphismus ist. Es ist klar, daß f − g ein Gruppenhomomorphismus ist. Weiter ist (f − g)(rm) = f(rm) − g(rm) = rf(m) − rg(m) = r(f(m) − g(m)) = r(f − g)(m). □

Bemerkung 1.3. Jede abelsche Gruppe ist auf eindeutige Weise ein ℤ-Modul.

Beweis: Nach Übung I.1 ist ein eindeutig bestimmter Ringhomomorphismus φ : ℤ ⟶ End(M) anzugeben. Es muß φ(1) = id_{M} gelten. Wir setzen φ in der einzig möglichen Weise fort: φ(n) := id_{M} + … + id_{M} (n-mal, n ≥ 0) und φ(−n) = −(id_{M} + … + id_{M}) (n-mal, n > 0). Dann ist φ ein Ringhomomorphismus. □

Definition 1.4. Sei X eine Menge und R ein Ring. Ein R-Modul RX zusammen mit einer Abbildung, ι : X ⟶ RX heißt ein von X erzeugter freier R-Modul, wenn es zu jedem R-Modul M und zu jeder Abbildung f : X ⟶ M genau einen R-Modul-Homomorphismus g : RX ⟶ M so gibt, daß das Diagramm

[figure: X; RX; ι; f; M; g]

kommutiert.

Lemma 1.5. (RX, ι) ist durch X (und R) bis auf Isomorphie von R-Moduln eindeutig bestimmt.

Beweis: folgt aus dem (bekannten) Diagramm

[figure: X; ι; ι′; ι; ι′; RX; RX′; h; k; RX; RX′; h]

□

Satz 1.6. (Rechenregeln für freie R-Moduln) Sei (RX, ι) ein freier R-Modul über X. Sei x̃ := ι(x) ∈ RX für alle x ∈ X. Dann gelten:

(1) X̃ = {x̃| ∃x ∈ X : x̃ = ι(x)} ist Erzeugendenmenge von RX, d.h. jedes Element m ∈ RX ist Linearkombination m = ∑_{i=1}^{n} r_{i}x̃_{i} der x̃.

(2) X̃ ⊆ RX ist linear unabhängig und ι ist injektiv, d.h. wenn ∑′_{x∈X} r_{x}x̃ = 0, dann gilt ∀x ∈ X : r_{x} = 0.

Beweis: 1. Sei M := ⟨x̃|x ∈ X⟩ ⊆ RX der von den x̃ erzeugte Untermodul. ⟹ Das Diagramm

[figure: X; RX; ι; RX/M; 0; 0; ν]

kommutiert mit beiden Abbildungen 0 und ν. ⟹ 0 = ν ⟹ RX/M = 0 ⟹ RX = M.

2. Sei ∑_{i=0}^{n} r_{i}x̃_{i} = 0 und r_{0} ≠ 0. Sei j : X ⟶ R Abbildung mit j(x_{0}) = 1, j(x) = 0 für alle x ≠ x_{0}. ⟹ ∃g : RX ⟶ R mit

[figure: X; RX; ι; j; R; g]

kommutativ und 0 = g(0) = g(∑_{i=0}^{n} r_{i}x̃_{i}) = ∑_{i=0}^{n} r_{i}g(x̃_{i}) = ∑_{i=0}^{n} r_{i}j(x_{i}) = r_{0}. Widerspruch ⟹ Behauptung. □

Satz 1.7. Sei X eine Menge. Dann gibt es einen freien R-Modul (RX, ι) über X.

Beweis: Offenbar ist RX := {α : X ⟶ R| für fast alle x ∈ X : α(x) = 0} ein Untermodul von Abb(X, R) bei komponentenweiser Addition und Multiplikation. ι : X ⟶ RX sei definiert durch ι(x)(y) := δ_{xy}. Sei f : X ⟶ M eine Abbildung. Sei α ∈ RX. Definiere g(α) := ∑_{x∈X} α(x)·f(x). g ist wohldefiniert, weil nur endlich viele α(x) ≠ 0. g ist R-Modul-Homomorphismus: rg(α) + sg(β) = r ∑ α(x) · f(x) + s ∑ β(x) · f(x) = ∑(rα(x) + sβ(x)) · f(x) = ∑(rα + sβ)(x) · f(x) = g(rα + sβ). Weiter ist gι = f : gι(x) = ∑_{y∈X} ι(x)(y) · f(y) = ∑ δ_{xy} · f(y) = f(x). Für α ∈ RX gilt α = ∑_{x∈X} α(x)ι(x), denn α(y) = ∑ α(x)ι(x)(y). Um zu zeigen, daß g eindeutig durch f bestimmt ist, sei h ∈ Hom_{R}(RX, M) mit hι = f. ⟹ h(α) = h(∑ α(x)ι(x)) = ∑ α(x)hι(x) = ∑ α(x)f(x) = g(α) ⟹ h = g. □

Definition 1.8. Seien M_{R}, _{R}N R-Modul, A eine abelsche Gruppe. Eine Abbildung f : M × N ⟶ A heißt R-bilinear, wenn

(1) f(m + m′, n) = f(m, n) + f(m′, n),

(2) f(m, n + n′) = f(m, n) + f(m, n′),

(3) f(mr, n) = f(m, rn) für alle r ∈ R, m, m′ ∈ M, n, n′ ∈ N. Bil_{R}(M, N; A) := {f : M × N ⟶ A|fR-bilinear}.

Bemerkung 1.9. Bil_{R}(M, N; A) ist eine abelsche Gruppe mit (f + g)(m, n) := f(m, n) + g(m, n).

Definition 1.10. Seien M_{R}, _{R}N R-Moduln. Eine abelsche Gruppe M ⊗_{R} N zusammen mit einer R-bilinearen Abbildung

⊗ : M × N ∋ (m, n) ↦ m ⊗ n ∈ M ⊗_{R} N

heißt Tensorprodukt von M und N über R, wenn es zu jeder abelschen Gruppe A und zu jeder R-bilinearen Abbildung f : M × N ⟶ A genau einen Gruppenhomomorphismus g : M ⊗_{R} N ⟶ A so gibt, daß

[figure: M × N; M ⊗_{R} N; ⊗; f; A; g]

kommutiert. Die Elemente von M ⊗_{R} N heißen Tensoren, die Elemente der Form m ⊗ n zerlegbare Tensoren. Wichtig: Ein Homomorphismus f : M ⊗_{R} N ⟶ A, dessen Quelle ein Tensorprodukt ist, muß dadurch definiert werden, daß man eine R-bilineare Abbildung auf M × N angibt.

Lemma 1.11. Das Tensorprodukt (M ⊗_{R} N, ⊗) ist durch M_{R}, _{R}N bis auf Isomorphie eindeutig bestimmt.

Beweis:

[figure: M × N; ⊗; ⊗′; ⊗; ⊗′; M ⊗_{R} N; M ⊗′_{R} N; h; k; M ⊗_{R} N; M ⊗′_{R} N; h]

impliziert k = h^{−1} □

Satz 1.12. (Rechenregeln im Tensorprodukt) Sei (M ⊗_{R} N, ⊗) ein Tensorprodukt. Dann gelten

(1) M ⊗_{R} N = {∑_{i} m_{i} ⊗ n_{i} | m_{i} ∈ M, n_{i} ∈ N},

(2) (m + m′) ⊗ n = m ⊗ n + m′ ⊗ n,

(3) m ⊗ (n + n′) = m ⊗ n + m ⊗ n′,

(4) mr ⊗ n = m ⊗ rn für alle r ∈ R, m, m′ ∈ M, n, n′ ∈ N.

Beweis: 1. Sei B := ⟨m ⊗ n⟩ ⊆ M ⊗_{R} N die von den zerlegbaren Tensoren erzeugte Untergruppe von M ⊗_{R} N. Sei A := M ⊗_{R} N/B. Dann kommutiert

[figure: M × N; M ⊗_{R} N; ⊗; A; 0; 0; ν]

mit 0 und mit ν. ⟹ 0 = ν ⟹ A = 0 ⟹ B = M ⊗_{R} N.

2. (m + m′) ⊗ n = ⊗(m + m′, n) = ⊗(m, n) + ⊗(m′, n) = m ⊗ n + m′ ⊗ n. Analog zeigt man 3. und 4. □

Satz 1.13. Seien M_{R}, _{R}N R-Moduln. Dann gibt es ein Tensorprodukt (M ⊗_{R} N, ⊗).

Beweis: Definiere M ⊗_{R} N := ℤ{M × N}/U, wobei ℤ{M × N} der freie ℤ-Modul über M × N ist (die freie abelsche Gruppe) und U erzeugt wird von

ι(m + m′, n) − ι(m, n) − ι(m′, n)
ι(m, m + n′) − ι(m, n) − ι(m, n′)
ι(mr, n) − ι(m, rn)

für alle r ∈ R, m, m′ ∈ M, n, n′ ∈ N. Betrachte

[figure: M × N; ℤ{M × N}; ι; M ⊗_{R} N; ν; = ℤ{M × N}/U; A; ψ; ρ; g]

Sei ψ gegeben. Es gibt genau ein ρ ∈ Hom(ℤ{M ×N}, A) mit ρι = ψ. Wegen ρ(ι(m+m′, n)− ι(m, n) − ι(m′n)) = ψ(m + m′, n) − ψ(m, n) − ψ(m′, n) = 0, weil ψ R-bilinear ist, und wegen ρ(ι(m, n + n′) − ι(m, n) − ι(m, n′)) = 0 und ρ(ι(mr, n) − ι(m, rn)) = 0 gilt ρ(U) = 0 ⟹ Es gibt genau ein g ∈ Hom(M ⊗_{R} N, A) mit gν = ρ (Homomorphiesatz). Sei ⊗ := νι. ⊗ ist bilinear, denn (m + m′) ⊗ n = νι(m + m′, n) = ν(ι(m + m′, n)) = ν(ι(m + m′, n) − ι(m, n) − ι(m′, n)+ι(m, n)+ι(m′, n)) = ν(ι(m, n)+ι(m′, n)) = νι(m, n)+νι(m′, n) = m⊗n+m′ ⊗n. Analog zeigt man die beiden weiteren Eigenschaften. Zu zeigen bleibt, daß (M ⊗_{R} N, ⊗) ein Tensorprodukt bildet. Aus dem obigen Diagramm sieht man, daß es zu jeder abelschen Gruppe A und zu jeder R-bilinearen Abbildung ψ : M × N ⟶ A ein g ∈ Hom(M ⊗_{R} N, A) gibt mit g⊗ = ψ. Sei h ∈ Hom(M ⊗_{R} N, A) mit h⊗ = ψ. ⟹ hνι = ψ ⟹ hν = ρ = gν ⟹ g = h. □

Definition 1.14. Seien R, S Ringe, M ein R-Links-Modul und ein S-Rechts-Modul. M heißt R-S-Bimodul, wenn (rm)s = r(ms). Wir definieren Hom_{R-S}(M, N) := Hom_{R}(M, N) ∩ Hom_{S}(M, N).

Satz und Definition 1.15. Seien f ∈ Hom_{R}(M., M′.) und g ∈ Hom_{R}(.N, .N′). Dann gibt es genau einen Homomorphismus

f ⊗_{R} g ∈ Hom(M ⊗_{R} N, M′ ⊗_{R} N′)

mit f ⊗_{R} g(m ⊗ n) = f(m) ⊗ g(n), d.h. es kommutiert

[figure: M′ × N′; M′ ⊗_{R} N′; ⊗; M × N; M ⊗_{R} N; ⊗; f × g; f ⊗_{R} g]

Beweis: ⊗(f × g) ist bilinear. □

Lemma 1.16. Sei M_{S} ein S-Rechts-Modul und R × M ⟶ M eine Abbildung. M ist genau dann ein R-S-Bimodul, wenn

(1) ∀r ∈ R : (M ∋ m ↦ rm ∈ N) ∈ Hom_{S}(M., N.),

(2) ∀r, r′ ∈ R, m ∈ M : (r + r′)m = rm + r′m,

(3) ∀r, r′ ∈ R, m ∈ M : (rr′)m = r(r′m),

(4) ∀m ∈ M : 1m = m.

Beweis: r(m + m′) = rm + rm′; r(ms) = (rm)s. □

Lemma 1.17. Seien _{R}M_{S}, _{S}N_{T} Bimoduln. Dann ist _{R}(M ⊗_{S} N)_{T} ein Bimodul durch r(m ⊗ n) := rm ⊗ n, (m ⊗ n)t := m ⊗ nt.

Beweis: Offenbar gelten 2.-4. . (r⊗_{S}id)(m⊗n) = rm⊗n = r(m⊗n) ist ein Homomorphismus. □

Folgerung 1.18. Seien _{R}M_{S}, _{S}N_{T}, _{R}M′_{S}, _{S}N′_{T} Bimoduln und f ∈ Hom_{R-S}(.M., .M′.), g ∈ Hom_{S-T} (.N., .N′.). Dann ist f ⊗_{S} g ∈ Hom_{R-T} (.M ⊗_{S} N., .M′ ⊗_{S} N′.).

Beweis: f ⊗_{S} g(rm ⊗ nt) = f(rm) ⊗ g(nt) = r(f ⊗_{S} g)(m ⊗ n)t. □

Definition 1.19. Eine (endliche oder unendliche) Folge von Homomorphismen

… ⟶ M_{i−1} ⟶^{f_{i−1}} M_{i} ⟶^{f_{i}} M_{i+1} ⟶ …

heißt ein Komplex, wenn für alle i ∈ I gilt f_{i}f_{i−1} = 0 (oder äquivalent dazu Bi(f_{i−1}) ⊆ Ke(f_{i})). Ein Komplex heißt exakt, wenn für alle i ∈ I gilt Bi(f_{i−1}) = Ke(f_{i}).

Lemma 1.20. Ein Komplex

… ⟶ M_{i−1} ⟶^{f_{i−1}} M_{i} ⟶^{f_{i}} M_{i+1} ⟶ …

ist genau dann exakt, wenn die Folgen

0 ⟶ Bi(f_{i−1}) ⟶ M_{i} ⟶ Bi(f_{i}) ⟶ 0

für alle i ∈ I exakt sind, genau dann wenn die Folgen

0 ⟶ Ke(f_{i−1}) ⟶ M_{i−1} ⟶ Ke(f_{i}) ⟶ 0

für alle i ∈ I exakt sind.

Beweis: Offenbar sind die Folgen

0 ⟶ Ke(f_{i}) ⟶ M_{i} ⟶ Bi(f_{i}) ⟶ 0

exakt, denn Ke(f_{i}) ⟶ M_{i} ist ein Monomorphismus, M_{i} ⟶ Bi(f_{i}) ist ein Epimorphismus und der Kern von M_{i} ⟶ Bi(f_{i}) ist Ke(f_{i}). Die Folge

0 ⟶ Bi(f_{i−1}) ⟶ M_{i} ⟶ Bi(f_{i}) ⟶ 0

ist genau dann exakt, wenn Bi(f_{i−1}) = Ke(f_{i}) gilt. Die Folge

0 ⟶ Ke(f_{i−1}) ⟶ M_{i−1} ⟶ Ke(f_{i}) ⟶ 0

ist genau dann exakt, wenn M_{i−1} ⟶ Ke(f_{i}) surjektiv ist, genau dann wenn Bi(f_{i−1}) = Ke(f_{i}) gilt. □

2. Darstellbare Funktoren

Definition 2.1. C besteht aus (1) einer Klasse, Ob C, deren Elemente A, B, C, … ∈ Ob C Objekte heißen,

(2) einer Familie {Mor_{C}(A, B)|A, B ∈ Ob C} von paarweise disjunkten Mengen, deren Elemente f, g, … ∈ Mor_{C}(A, B) Morphismen heißen, und

(3) einer Familie {Mor_{C}(A, B) × Mor_{C}(B, C) ∋ (f, g) ↦ gf ∈ Mor_{C}(A, C)|A, B, C ∈

Ob C} von Abbildungen, die Verknüpfungen heißen. C heißt eine Kategorie, wenn für C folgende Axiome gelten

(1) Assoziativ-Gesetz:

∀A, B, C, D ∈ Ob C, f ∈ Mor_{C}(A, B), g ∈ Mor_{C}(B, C), h ∈ Mor_{C}(C, D) :

h(gf) = (hg)f;

(2) Identität:

∀A ∈ Ob C ∃1_{A} ∈ Mor_{C}(A, A) ∀B, C ∈ Ob C, ∀f ∈ Mor_{C}(A, B), ∀g ∈ Mor_{C}(C, A) :

1_{A}g = g und f1_{A} = f.

Beispiel 2.2. 1. Kategorie der Mengen Me.

2. R-Moduln R-Mod, k-Vektorräume k-Vek oder k-Mod, Gruppen Gr, abelsche Gruppen Ab, Monoide Mon, kommutative Monoide cMon, Ringe Ri, Körper Kö, topologische Räume Top.

Schreibweise 2.3. f ∈ Mor_{C}(A, B) wird auch als f : A ⟶ B oder A ⟶^{f} B geschrieben. A heißt Quelle, B Ziel von f.

Definition 2.4. f : A ⟶ B heißt Isomorphismus, wenn g : B ⟶ A in C existiert mit fg = 1_{B}, gf = 1_{A}. Der Morphismus g ist durch f eindeutig bestimmt, denn g′ = g′fg = g.

Schreibweise 2.5. g =: f^{−1}. A heißt isomorph zu B, wenn ein Isomorphismus f : A ⟶ B existiert. Ist f ein Isomorphismus, so ist auch f^{−1} ein Isomorphismus. Sind f : A ⟶ B und g : B ⟶ C Isomorphismen in C, so ist auch gf : A ⟶ C ein Isomorphismus. Es gelten: (f^{−1})^{−1} = f und (gf)^{−1} = f^{−1}g^{−1}. Die Isomorphie zwischen Objekten ist eine Äquivalenzrelation.

Beispiel 2.6. In den Kategorien Me, R-Mod, k-Vek, Gr, Ab, Mon, cMon, Ri, Kö sind die Isomorphismen genau die bijektiven Morphismen. In Top sind M = {a, b} mit 𝔗_{1} = {∅, {a}, {b}, {a, b}} und mit 𝔗_{2} = {∅, M} topologische Räume. Dann ist f = id : (M, 𝔗_{1}) ⟶ (M, 𝔗_{2}) bijektiv und stetig. Die Umkehrabbildung ist jedoch nicht stetig, also ist f kein Isomorphismus (Homöomorphismus).

Definition 2.7. 1.)f : A ⟶ B heißt ein Monomorphismus, wenn ∀C ∈ Ob C, ∀g, h ∈ Mor_{C}(C, A) :

fg = fh ⟹ g = h (f ist links-kürzbar).

2.) f : A ⟶ B heißt ein Epimorphismus, wenn ∀C ∈ Ob C, ∀g, h ∈ Mor_{C}(B, C) :

gf = hf ⟹ g = h (f ist rechts-kürzbar).

Definition 2.8. Seien C und D Kategorien. F bestehe aus (1) einer Abbildung Ob C ∋ A ↦ F(A) ∈ Ob D,

(2) einer Familie von Abbildungen

{F_{A,B} : Mor_{C}(A, B) ∋ f ↦ F_{A,B}(f) ∈ Mor_{D}(F(A), F(B))|A, B ∈ C}

[oder {F_{A,B} : Mor_{C}(A, B) ∋ f ↦ F_{A,B}(f) ∈ Mor_{D}(F(B), F(A))|A, B ∈ C}] F heißt ein kovarianter [kontravarianter] Funktor, wenn

(1) F_{A,A}(1_{A}) = 1_{F(A)} für alle A ∈ Ob C,

(2) F_{A,C}(gf) = F_{B,C}(g)F_{A,B}(f) für alle A, B, C ∈ Ob C.

[F_{A,C}(gf) = F_{A,B}(f)F_{B,C}(g) für alle A, B, C ∈ Ob C].

Schreibweise:

A ∈ C statt  A ∈ Ob C
f ∈ C statt f ∈ Mor_{C}(A, B)
F(f) statt  F_{A,B}(f).

Beispiele 2.9. (1) Id : Me ⟶ Me (2) Vergiß: R-Mod ⟶ Me

(3) Vergiß: Ri ⟶ Ab

(4) Vergiß: Ab ⟶ Gr (5) P : Me ⟶ Me, P(M) := Potenzmenge von M. P(f)(X) := f^{−1}(X) für f : M ⟶

N, X ⊆ N ist ein kontravarianter Funktor.

(6) Q : Me ⟶ Me, Q(M) := Potenzmenge von M. Q(f)(X) := f(X) für f : M ⟶ N, X ⊆ M ist ein kovarianter Funtor.

Lemma 2.10. (1) Für X ∈ C ist

Ob C ∋ A ↦ Mor_{C}(X, A) ∈ Ob Me
Mor_{C}(A, B) ∋ f ↦ Mor_{C}(X′, f) ∈ Mor_{Me}(Mor_{C}(X, A), Mor_{C}(X, B)),

mit Mor_{C}(X, f) : Mor_{C}(X, A) ∋ g ↦ fg ∈ Mor_{C}(X, B), also Mor_{C}(X, f)(g) = fg, ein kovarianter Funktor Mor_{C}(X, −).

(2) Für X′ ∈ C ist

Ob C ∋ A ↦ Mor_{C}(A, X) ∈ Ob Me

Mor_{C}(A, B) ∋ f ↦ Mor_{C}(f, X) ∈ Mor_{Me}(Mor_{C}(B, X), Mor_{C}(A, X)) mit Mor_{C}(f, X) : Mor_{C}(B, X) ∋ g ↦ gf ∈ Mor_{C}(A, X), also Mor_{C}(f, X)(g) = gf, ein kontravarianter Funktor Mor_{C}(−, X).

Beweis: (1) Mor_{C}(X, 1_{A})(g) = 1_{A}g = g = id(g), Mor_{C}(X, f) Mor_{C}(X, g)(h) = fgh =

Mor_{C}(X, fg)(h)

(2) analog.

□

Definition 2.11. Seien F : C ⟶ D und G : C ⟶ D zwei Funktoren. Ein funktorieller Morphismus oder eine natürliche Transformation φ : F ⟶ G ist eine Familie von Morphismen {φ(A) : F(A) ⟶ G(A)|A ∈ C}, so daß für alle f : A ⟶ B in C gilt:

[figure: F(B); G(B); φ(B); F(A); G(A); φ(A); F(f); G(f)]

ist kommutativ, d.h. G(f)φ(A) = φ(B)F(f).

Lemma 2.12. Seien F = Id_{Me} : Me ⟶ Me und

G = Mor_{Me}(Mor_{Me}(−, A), A) : Me ⟶ Me

für eine Menge A. Dann ist φ : F ⟶ G mit

φ(B) : B ∋ b ↦ (Mor_{Me}(B, A) ∋ f ↦ f(b) ∈ A) ∈ G(B)

ein funktorieller Morphismus.

Beweis: Sei g : B ⟶ C gegeben. Dann kommutiert

[figure: B; Mor_{Me}(Mor_{Me}(B, A), A); φ(B); C; Mor_{Me}(Mor_{Me}(C, A), A); φ(C); g; Mor_{Me}(Mor_{Me}(g, A), A)]

denn

φ(C)F(g)(b)(f) = φ(C)g(b)(f) = fg(b) = φ(B)(b)(fg)
= [φ(B)(b) Mor_{Me}(g, A)](f) = [Mor_{Me}(Mor_{Me}(g, A), A)φ(B)(b)](f).

□

Definition 2.13. Sei F : C ⟶ Me ein kovarianter Funktor. Ein Paar (A, x) mit A ∈ C, x ∈ F(A) heißt ein darstellendes (generisches, universelles) Objekt für F und F heißt dann ein darstellbarer Funktor, wenn zu jedem B ∈ C und y ∈ F(B) genau ein f ∈ Mor_{C}(A, B) mit F(f)(x) = y existiert:

[figure: A; B; f; F(A); F(B); F(f); ∋ x; ∋ y]

Satz 2.14. Seien (A, x) und (B, y) darstellende Objekte für F. Dann existiert genau ein Isomorphismus f : A ⟶ B mit F(f)(x) = y.

[figure: A; B; h; A; k; B; h; 1_{A}; 1_{B}; F(A); F(B); F(h); F(A); F(k); F(B); F(h); 1_{F(A)}; 1_{F(B)}; x; y; x; y]

Beispiele 2.15. (1) Sei X ∈ Me und sei R ein Ring. F : R-Mod ⟶ Me, F(M) := Abb(X, M) ist ein kovarianter Funktor. Ein darstellendes Objekt für F ist gegeben durch (RX, x : X ⟶ RX) mit der Eigenschaft, daß für alle (M, y : X ⟶ M) genau ein f ∈ Hom_{R}(RX, M) existiert mit F(f)(x) = Abb(X, f)(x) = xf = y

[figure: X; RX; x; y; M; f]

(2) Seien M_{R}, _{R}N gegeben. F : Ab ⟶ Me, F(A) := Bil_{R}(M, N; A), ist ein kovarianter Funktor. Ein darstellendes Objekt für F ist gegeben durch (M ⊗_{R} N, ⊗ : M × N ⟶ M ⊗_{R} N) mit der Eigenschaft, daß für alle (A, f : M × N ⟶ A) genau ein g ∈ Hom(M ⊗_{R} N, A) existiert mit F(g)(⊗) = Bil_{R}(M, N; g)(⊗) = g⊗ = f

[figure: M × N; M ⊗_{R} N; ⊗; f; A; g]

Satz 2.16. F besitzt genau dann ein darstellendes Objekt (A, a), wenn es einen funktoriellen Isomorphismus φ : F ≅ Mor_{C}(A, −) gibt (mit a = φ(A)^{−1}(1_{A})).

Beweis: ⟹: Die Abbildung

φ(B) : F(B) ∋ y ↦ f ∈ Mor_{C}(A, B) mit F(f)(a) = y

ist bijektiv mit der Umkehrabbildung

ψ(B) : Mor_{C}(A, B) ∋ f ↦ F(f)(a) ∈ F(B).

Es ist nämlich y ↦ f ↦ F(f)(a) = y und f ↦ y := F(f)(a) ↦ g : F(g)(a) = y = F(f)(a). Wegen der Eindeutigkeit folgt f = g. Also sind alle φ(B) bijektiv mit inverser Abbildung ψ(B). Es genügt zu zeigen, daß ψ ein funktorieller Morphismus ist. Sei dazu g : B ⟶ C gegeben. Dann kommutiert

[figure: Mor_{C}(A, C); F(C); ψ(C); Mor_{C}(A, B); F(B); ψ(B); Mor_{C}(A, g); F(g)]

denn es gilt ψ(C) Mor_{C}(A, g)(f) = ψ(C)(gf) = F(gf)(a) = F(g)F(f)(a) = F(g)ψ(B)(f). ⟹: Sei A gegeben. Setze a := φ(A)^{−1}(1_{A}). Sei y ∈ F(B). Dann ist y = φ(B)^{−1}(f) = φ(B)^{−1}(f1_{A}) = φ(B)^{−1} Mor_{C}(A, f)(1_{A}) = F(f)φ(A)^{−1}(1_{A}) = F(f)(a) für ein eindeutig bestimmtes f ∈ Mor_{C}(A, B). □

Satz 2.17. Seien zu jedem X ∈ D ein darstellbarer Funktor F_{X} : C ⟶ Me und zu jedem g : X ⟶ Y ein funktorieller Morphismus F_{g} : F_{Y} ⟶ F_{X} (kontravariant!) gegeben, sodaß F von X funktoriell abhängt: F_{1_{X}} = 1_{F_{X}}, F_{hg} = F_{g}F_{h}. Dann hängen die darstellenden Objekte (A_{X}, a_{X}) für F_{X} funktoriell von X ab: zu jedem g : X ⟶ Y gibt es genau einen Homomorphismus A_{g} : A_{X} ⟶ A_{Y} (mit F_{X}(A_{g})(a_{X}) = F_{g}(A_{Y})(a_{Y})), und es gelten A_{1_{X}} = 1_{A_{X}}, A_{hg} = A_{h}A_{g}.

Beweis: Wir wählen für jedes X ∈ C (per Auswahlaxiom) ein darstellendes Objekt (A_{X}, a_{X}) für F_{X} aus. Dann gibt es für g : X ⟶ Y genau einen Morphismus A_{g} : A_{X} ⟶ A_{Y} mit

F_{X}(A_{g})(a_{X}) = F_{g}(A_{Y})(a_{Y}) ∈ F_{X}(A_{Y}),

weil F_{g}(A_{Y}) : F_{Y} (A_{Y}) ⟶ F_{X}(A_{Y}) gegeben ist. Es ist F_{X}(A_{1})(a_{X}) = F_{1}(A_{X})(a_{X}) = a_{X} = F_{X}(1)(a_{X}), also A_{1} = 1, und F_{X}(A_{hg})(a_{X}) = F_{hg}(A_{Z})(a_{Z}) = F_{g}(A_{Z})F_{h}(A_{Z})(a_{Z}) = F_{g}(A_{Z})F_{Y} (A_{h})(a_{Y}) = F_{X}(A_{h})F_{g}(A_{Y})(a_{Y}) = F_{X}(A_{h})F_{X}(A_{g})(a_{X}) = F_{X}(A_{h}A_{g})(a_{X}), also A_{h}A_{g} = A_{hg} für g : X ⟶ Y und h : Y ⟶ Z in D. □

Folgerung 2.18. (1) Abb(X, M) ≅ Hom_{R}(RX, M) funktoriell in M (und X!). Insbe-

sondere ist Me ∋ X ↦ RX ∈ R-Mod ein Funktor.

(2) Bil_{R}(M, N; A) ≅ Hom(M ⊗_{R} N, A) funktoriell in A (und (M, N) ∈ Mod-R × R-Mod). Insbesondere ist Mod-R × R-Mod ∋ M, N ↦ M ⊗_{r} N ∈ Ab ein Funktor.

(3) R-Mod-S × S-Mod-T ∋ (M, N) ↦ M ⊗_{S} N ∈ R-Mod-T ist ein Funktor.

Lemma 2.19. Sei I_{R} ⊆ R_{R} ein Ideal und _{R}M ein R-Modul. Dann ist

M/IM ≅ R/I ⊗_{R} M

funktoriell in M.

Beweis: Wir geben die zueinander inversen Abbildungen an durch \overline{m} ↦ \overline{1} ⊗ m und \overline{r} ⊗ m ↦ \overline{rm}. Wir überlassen das Nachprüfen der Wohldefiniertheit, der Isomorphieeigenschaft und die Funktorialität dem Leser als Übung. □

Lemma 2.20. Seien _{R}M_{S}; _{R}N_{T} Bimoduln. Dann ist _{S} Hom_{R}(.M_{S}, .N_{T})_{T} ein Bimodul durch (sft)(m) := f(ms)t

Beweis: trivial bis auf

((ss′)f(tt′))(m) = f(m(ss′))(tt′) = (f((ms)s′)t)t′ = (s′ft)(ms)t′ = (s(s′ft)t′)(m).
□

Folgerung 2.21. (1) _{R}M_{S} Bimodul ⟹ _{S} Hom_{R}(.M_{S}, -) : R-Mod ⟶ S-Mod ist ko-

varianter Funktor.

(2) _{R}M_{S} Bimodul ⟹ Hom_{R}(-, .M_{S})_{S} : R-Mod ⟶ Mod-S ist ein kontravarianter Funktor.

(3) _{R}M_{S} Bimodul ⟹ _{S} Hom_{R}(.M_{S}, .-_{T})_{T} : R-Mod-T ⟶ S-Mod-T ist ein kovarianter Funktor.

Ohne Beweis.  □

Satz 2.22. Seien _{R}M_{S}, _{S}N_{T}, _{R}P_{U} Bimoduln. Dann ist

T Hom_{R}(.M ⊗_{S} N_{T} , .P_{U}) ≅ _{T} Hom_{S}(. Hom_{R}(.M_{S}, .P_{U})_{U})_{U}

mit f ↦ f̃ und f̃(n)(m) = f(m ⊗ n) ein in M, N, P funktorieller Isomorphismus von T -U-Bimoduln. Symmetrisch gilt für _{U}P_{T}

U Hom_{T} (_{R}M ⊗_{S} N.,_{U}P.)_{R} ≅ _{U} Hom_{S}(_{R}M.,_{U} Hom_{T} (_{S}N.,_{U}P.).)_{R}.

Beweis: 1. Möglichkeit: Man zeigt, daß Hom_{R}(.M ⊗_{S} N, .P) ≅ S- Bil_{R}(.M, N; .P) und S- Bil_{R}(.M, N; .P) ≅ Hom_{S}(.N, . Hom_{R}(.M_{S}, .P)) funktoriell in M, N, P gilt und prüft die T -U-Linearität.

2. Möglichkeit: Man zeigt, daß

T Hom_{R}(.M ⊗_{S} N_{T} , .P_{U})_{U} ∋ f ↦ f̃ ∈ _{T} Hom_{S}(.N_{T} , . Hom_{R}(.M_{S}, P_{U})_{U})_{U}

mit f̃(n)(m) = f(m ⊗ n) die gewünschten Eigenschaften hat. Beweis als Übung. □

Satz 2.23. Sei (RX, ι) ein freier R-Modul, _{S}M_{R} ein Bimodul. Dann läßt sich jedes Element u ∈ M ⊗_{R} RX eindeutig darstellen als u = ∑_{x∈X} m_{x} ⊗ ι(x).

Beweis: RX ∋ α = ∑_{x∈X} r_{x}ι(x) ist das allgemeine Element von RX. Also gilt u = ∑ m_{i} ⊗ α_{i} = ∑ m_{i} ⊗ ∑ r_{x,i}ι(x) = ∑_{i} ∑_{x} m_{i}r_{x,i} ⊗ ι(x) = ∑_{x}(∑_{i} m_{i}r_{x,i}) ⊗ ι(x). Zum Beweis der Eindeutigkeit sei ∑_{y∈X} m_{y} ⊗ ι(y) = 0. Sei x ∈ X und f_{x} : RX ⟶ P definiert durch f_{x}(ι(y)) = δ_{xy}. ⟹ (1_{M} ⊗_{R} f_{x})(∑ m_{y} ⊗ ι(y)) = ∑ m_{y} ⊗ f_{x}(ι(y)) = m_{x} ⊗ 1 = 0 für alle x ∈ X. Sei weiter

[figure: M × R; M ⊗_{R} R; ⊗; mult; M; μ]

gegeben. ⟹ μ(m_{x} ⊗ 1) = m_{x} · 1 = m_{x} = 0 ⟹ Eindeutigkeit. Übung: Man zeige, daß μ ein Isomorphismus ist. □

Folgerung 2.24. Seien _{S}M_{R}, _{R}N (Bi-)Moduln. Sei M freier S-Modul über Y, N freier R-Modul über X. Dann ist M ⊗_{R} N freier S.Modul über Y × X.

Beweis: Wir betrachten das Diagramm

[figure: Y × X; M × N; ι_{Y} × ι_{X}; _{S}M ⊗_{R} N; ⊗; _{S}U; f; g; h]

Sei f gegeben. Wir definieren für alle x ∈ X ein g(-, x) ∈ Hom_{S}(.M, .U) durch das kommutative Diagramm

[figure: Y; _{S}M; ι_{Y}; f(-, x); _{S}U; g(-, x)]

Weiter sei g̃ ∈ Hom_{R}(.N, . Hom_{S}(.M_{R}, .U)) definiert durch

[figure: X; _{R}N; ι_{x}; g(-, -); _{R} Hom_{S}(.M_{R}, .U); g̃]

mit x ↦ g(-, x). Dann gilt g(m, n) := g̃(n)(m) =: h(m ⊗ n), denn g ist additiv in m und in n, weil es g̃ ist, und g ist R-bilinear, weil g(mr, n) = g̃(n)(mr) = (rg̃(n))(m) = g̃(rn)(m) = g(m, rn). Offenbar ist g(y, x) = f(y, x), also ist h ∘ ⊗ ∘ ι_{Y} × ι_{X} = f. Weiter ist h(sm ⊗ n) = g̃(n)(sm) = s(g̃(n)(m)) = sh(m ⊗ n), also ist h ∈ S-Mod. Sei k ∈ S-Mod mit k ∘ ⊗ ∘ ι_{Y} × ι_{X} = f, so ist k ∘ ⊗(-, x) = g(-, x), weil k ∘ ⊗ im 1. Argument S-linear ist. Damit ist k ∘ ⊗(m, n) = g̃(n)(m) = h(m ⊗ n), also h = k. □

3. Projektive Moduln und Generatoren

Definition 3.1. (1) Sei (M_{i}|i ∈ I) eine Familie von Objekten in einer Kategorie C. Ein Objekt ∏ M_{i} zusammen mit einer Familie (p_{j} : ∏ M_{i} ⟶ M_{j}|j ∈ I) heißt (direktes) Produkt der M_{i}, wenn zu jedem Objekt A ∈ C und zu jeder Familie von Morphismen (f_{j} : A ⟶ M_{j}|j ∈ I) genau ein Morphismus f : A ⟶ ∏ M_{i} existiert, so daß

[figure: ∏ M_{i}; M_{j}; p_{j}; f_{j}; A; f]

für alle j ∈ I kommutieren.

(2) ”Der duale Begriff heißt Koprodukt“: Sei (M_{i}|i ∈ I) eine Familie von Objekten in C. Ein Objekt ∐ M_{i} zusammen mit einer Familie (ι_{j} : M_{j} ⟶ ∐ M_{i}|j ∈ I) heißt Koprodukt (direkte Summe) der M_{i}, wenn zu jedem Objekt A ∈ C und zu jeder Familie (f_{j} : M_{j} ⟶ A|j ∈ I) genau ein Morphismus f : ∐ M_{j} ⟶ A existiert, so daß

[figure: M_{j}; ∐ M_{i}; ι_{j}; f_{j}; A; f]

für alle j ∈ I kommutieren.

Lemma 3.2. Produkte und Koprodukte sind bis auf Isomorphie eindeutig.

Beweis: analog zu 1.5. □

Satz 3.3. (Rechenregeln in Produkten in R-Mod) Sei (∏ M_{i}, (p_{j})) ein Produkt der Familie von Moduln (M_{i})_{i∈I}. Sei (a_{i} ∈ M_{i}|i ∈ I) eine Familie von Elementen. Dann gibt es genau ein a ∈ ∏ M_{i}, so daß p_{i}(a) = a_{i} für alle i ∈ I. Ist (b_{i} ∈ M_{i}|i ∈ I) eine weitere Familie mit b ∈ ∏ M_{i} und p_{i}(b) = b_{i}, so ist a + b dasjenige Element aus ∏ M_{i}, das p_{i}(a + b) = a_{i} + b_{i} für alle i ∈ I erfüllt. Zu jedem a ∈ ∏ M_{i} gibt es genau eine Familie (a_{i}|i ∈ I) mit p_{i}(a) = a_{i}.

Beweis: Sei (a_{i}|i ∈ I) gegeben. Bilde φ_{i} : {1} ⟶ M_{i} mit φ_{i}(1) = a_{i} für alle i ∈ I. Seien g_{i} ∈ Hom_{R}(R, M_{i}), so daß die Diagramme

[figure: {1}; R; φ_{i}; M_{i}; g_{i}]

kommuntieren. Dann gibt es genau ein g : R ⟶ ∏ M_{i} mit

[figure: ∏ M_{i}; M_{j}; p_{j}; g_{j}; R; g]

für alle i ∈ I. Der Homomorphismus g ist vollständig und eindeutig bestimmt durch g(1) =: a und das kommutative Diagramm

[figure: {1}; R; ∏ M_{i}; M_{j}; φ_{j}; g; p_{j}; g_{j}]

wobei p_{j}(a) = φ_{j}(1) = a_{j}. Da a durch p_{j}(a) = a_{j} eindeutig bestimmt ist, gilt p_{j}(a + b) = p_{j}(a) + p_{j}(b) = a_{i} + b_{j}. Die letzte Aussage ist klar. □

Bemerkung 3.4. Diese Konstruktion ist immer dann durchführbar, wenn es ein freies Objekt R über {1} in C gibt, d.h. wenn es einen Vergißfunktor V : C ⟶ Me gibt und wenn

[figure: {1}; R; X]

eine universelle Lösung hat, d.h. wenn der Funktor Abb({1}, V (x)) ≅ V (x) darstellbar ist. Insbesondere gibt es eine Bijektion zwischen den Familien von Elementen a_{i} ∈ V (M_{i}) und den Elementen V (∏ M_{i}).

Satz 3.5. (Rechenregeln für Koprodukte in R-Mod) Die Abbildungen ι_{j} : M_{j} ⟶ ∐ M_{i} sind injektive Homomorphismen. Zu jedem Element a ∈ ∐ M_{i} gibt es endlich viele a_{i} ∈ M_{i} mit a = ∑_{i=1}^{n} ι_{i}(a_{i}). Die a_{i} ∈ M_{i} sind durch a eindeutig bestimmt.

Beweis: Bilde f_{i} : M_{i} ⟶ M_{j} durch

f_{i} = \{ \begin{matrix}id, & i = j \\ 0, & sonst \end{matrix} ⟹

[figure: M_{i}; ∐ M_{j}; ι_{i}; f_{i}; M_{j}; f]

definiert einen eindeutig bestimmten Homomorphismus f. Für i = j gilt dann fι_{i} = id_{M_{i}}, also ist ι_{i} injektiv. Bilde M̃:= ∑ ι_{j}(M_{j}) ⊆ ∐ M_{j} ⟹

[figure: M_{i}; ∐ M_{j}; ι_{i}; ∐ M_{j}/M̃; 0; 0; ν]

⟹ ν = 0 ⟹ M̃ = ∐ M_{j}. Sei a = ∑ ι_{j}(a_{j}). Bilde f wie oben. Dann gilt f(a) = f(∑ ι_{j}(a_{j})) = ∑ fι_{j}(a_{j}) = ∑ f_{j}(a_{j}) = a_{i}, also sind die a_{i} durch a eindeutig bestimmt. □

Lemma 3.6. In der Kategorie Me der Mengen existieren Produkte und Koprodukte.

Beweis: Man definiere ∏ M_{i} := {α : I ⟶ ∪_{i∈I}M_{i}| ∀j ∈ I : α(j) ∈ M_{j}} und p_{j} : ∏ M_{i} ⟶ M_{j}, p_{j}(α) = α(j). Dann verifiziert man leicht die Produkteigenschaft. Man definiere ∐ M_{i} := ˙⋃_{i∈I}M_{i} (disjunkte Vereinigung) und ι_{j} : M_{j} ⟶ ˙⋃M_{i} mit ι_{j}(m_{j}) = m_{j}. □

Übung 3.1. Dieses bildet ein Koprodukt in Me.

Satz 3.7. (1) Sei (M_{i}|i ∈ I) in einer Kategorie C gegeben. Wenn das Produkt (∏ M_{i}, (p_{j} : ∏ M_{i} ⟶ M_{j})) existiert, dann ist F : C ⟶ Me, F(N) := ∏_{i∈I} Mor_{C}(N, M_{i}) ein kontravarianter darstellbarer Funktor und (∏ M_{i}, (p_{j} : ∏ M_{i} ⟶ M_{j})) ist ein darstellendes Objekt für F.

(2) Sei (M_{i}|i ∈ I) in einer Kategorie C gegeben. Wenn das Koprodukt (∐ M_{i}, (ι_{j} : M_{j} ⟶ ∐ M_{i})) existiert, dann ist F : C ⟶ Me, F(N) := ∏_{i∈I} Mor_{C}(M_{i}, N) ein kovarianter darstellbarer Funktor und (∐ M_{i}, (ι_{j} : M_{j} ⟶ ∐ M_{i})) ein darstellendes Objekt für F.

Beweis: 1. ∀A, (f_{j} : A ⟶ M_{j}) ∈ F(A) ∃_{1}f : A ⟶ ∏ M_{i} ∀j ∈ I : p_{j}f = f_{j}. Da (f_{j}) ∈ F(A) = ∏_{i} Mor_{C}(A, M_{i}), gibt es genau ein f : A ⟶ ∏ M_{i} mit F(f)(x) = F(f)((p_{j})) = (∏ Mor_{C}(f, M_{j})(p_{j})) = (p_{j}f) = (f_{j}) = y.

2. ∀A, (f_{j} : M_{j} ⟶ A) ∈ F(A) ∃_{1}f : ∐ M_{j} ⟶ A ∀j ∈ I : fι_{j} = f_{j}. Da (f_{j}) ∈ F(A) = ∏_{i} Mor_{C}(M_{i}, A), gibt es genau ein f : ∐ M_{i} ⟶ A mit F(f)(x) = F(f)((ι_{j})) = (∏ Mor_{C}(M_{j}, f))(ι_{j}) = (f_{j}) = y. □

Satz 3.8. (1) In R-Mod existieren (direkte) Produkte.

(2) In R-Mod existieren Koprodukte oder direkte Summen.

Beweis: 1. Man definiere ∏ M_{i} := {α : I ⟶ ∪_{i∈I}M_{i}| ∀j ∈ I : α(j) ∈ M_{j}} und p_{j} : ∏ M_{i} ⟶ M_{j}, p_{j}(α) = α(j) ∈ M_{j}. Man prüft leicht nach, daß ∏ M_{i} ein R-Modul mit komponentenweisen Operationen ist und daß die p_{j} Homomorphismen sind. Ist (f_{j} : A ⟶ M_{j}) eine Familie von Homomorphismen, so gibt es genau eine Abbildung f : A ⟶ ∏ M_{i}, so daß p_{j}f = f_{j} für alle j ∈ I gilt (vgl. 3.6). Die folgenden Familien sind gleich: (p_{j}f(a + b)) = (f_{j}(a + b)) = (f_{j}(a) + f_{j}(b)) = (p_{j}f(a) + p_{j}f(b)) = (p_{j}(f(a) + f(b))), also ist f(a + b) = f(a) + f(b). Analog sieht man f(ra) = rb(a). Damit ist f sogar ein Homomorphismus und ∏ M_{i} ein Produkt.

2. Man definiere ∐ M_{i} := {β : I ⟶ ∪_{i∈I}M_{i}|β(j) ∈ M_{j}, β endlichwertig} und ι_{j} : M_{j} ⟶ ∐ M_{i}, ι_{j}(m_{j})(i) = δ_{ij}m_{i}. Dann ist ∐ M_{i} ⊆ ∏ M_{i} ein Untermodul und die ι_{j} sind Homomorphismen. Sei (f_{j} : M_{j} ⟶ A|j ∈ I) gegeben. Bilde f(m) = f(∑ ι_{i}m_{i}) = ∑ fι_{i}(m_{i}) = ∑ f_{i}(m_{i}). Dann ist f ein R-Modul-Homomorphismus und es gilt fι_{i}(m_{i}) = f_{i}(m_{i}) also fι_{i} = f_{i}. Ist gι_{i} für alle i ∈ I, so ist g(m) = g(∑ ι_{i}m_{i}) = ∑ gι_{i}m_{i} = ∑ f_{i}(m_{i}), also f = g. □

Satz 3.9. Sei (M_{i}|i ∈ I) eine Familie von Untermoduln von M. Äquivalent sind die folgenden Aussagen:

(1) (M, (ι_{i} : M_{i} ⟶ M)) ist ein Koprodukt in R-Mod.

(2) M = ∑_{i∈I} M_{i} und (∑ m_{i} = 0 ⟹ ∀i ∈ I : m_{i} = 0).

(3) M = ∑_{i∈I} M_{i} und (∑ m_{i} = ∑ m′_{i} ⟹ ∀i ∈ I : m_{i} = m′_{i}).

(4) M = ∑_{i∈I} M_{i} und ∀i ∈ I : M_{i} ∩ ∑_{j≠i,j∈I} M_{j} = 0.

Definition 3.10. Ist eine der äquivalenten Bedingungen aus Satz 3.9 erfüllt, so heißt M innere direkte Summe der M_{i}, und wir schreiben M = ⊕_{i∈I}M_{i}.

Beweis des Satzes 3.9: 1. ⟹ 2. : Wir betrachten das Diagramm

[figure: M_{j}; M; ι_{j}; M/ ∑ M_{i}; 0; 0; ν]

und schließen ν = 0 und M = ∑ M_{i}. Wenn ∑ m_{i} = 0, dann verwenden wir das Diagramm

[figure: M_{j}; M; ι_{j}; δ_{jk}; M_{k}; p_{k}]

und erhalten 0 = p_{k}(0) = p_{k}(∑ m_{j}) = ∑_{j} p_{k}ι_{j}(m_{j}) = ∑_{j} δ_{jk}(m_{j}) = m_{k}.

2. ⟹ 3. : trivial.

3. ⟹ 4. : Sei m_{i} = ∑_{j≠i} m_{j}. Dann folgt m_{i} = 0 und m_{j} = 0 für alle j ≠ i.

4. ⟹ 2. : Wenn ∑ m_{j} = 0, dann ist m_{i} = ∑_{j≠i} −m_{j} = 0 ∈ M_{i} ∩ ∑_{j≠i} M_{j}.

3. ⟹ 1. : Wir definieren f für das Diagramm

[figure: M_{i}; M; ι_{i}; f_{i}; N; f]

durch f(∑ m_{i}) := ∑ f_{i}(m_{i}). Dann ist f ein wohldefinierter Homomorphismus und es gilt fι_{j}(m_{j}) = f_{j}(m_{j}) = f(m_{j}). Schließlich ist f eindeutig bestimmt wegen gι_{j} = f_{j} ⟹ g(∑ m_{i}) = ∑ g(m_{i}) = ∑ gι_{i}(m_{i}) = ∑ f_{i}(m_{i}) = f(∑ m_{i}) ⟹ f = g. □

Satz 3.11. Sei (∐ M_{i}, (ι_{j} : M_{j} ⟶ ∐_{i≠j} M_{i})) ein Koprodukt in R-Mod. Dann ist ∐ M_{i} innere direkte Summe der ι_{j}(M_{j}).

Beweis: ι_{j} injektiv ⟹ M_{j} ≅ ι_{j}(M_{j}) ⟹

[figure: M_{j} ≅ ι_{j}(M_{j}); ∐ M_{i}; N]

definiert ein Koprodukt. Nach 3.9 liegt dann eine innere direkte Summe vor. □

Definition 3.12. Ein Untermodul M ⊆ N heißt direkter Summand von N, wenn es einen Untermodul M′ ⊆ N gibt, so daß N = M ⊕ M′ innere direkte Summe ist.

Satz 3.13. Für einen Untermodul M ⊆ N sind äquivalent:

(1) M ist ein direkter Summand von N.

(2) Es gibt ein p ∈ Hom_{R}(.N, .M) mit

[figure: (M; N; ι; M) = id_{M} .; p]

(3) Es gibt ein f ∈ Hom_{R}(.N, .N) mit f^{2} = f und f(N) = M.

Beweis: 1. ⟹ 2. : Seien M_{1} := M und M_{2} ⊆ N mit N = M_{1} ⊕ M_{2}. Wir definieren p = p_{1} : N ⟶ M_{1} durch

[figure: M_{i}; N; ι_{i}; δ_{ij}; M_{j}; p_{j}]

wobei δ_{ij} = 0 für i ≠ j und δ_{ij} = id_{M_{i}} für i = j. Dann ist p_{1}ι_{1} = δ_{11} = id_{M}.

2. ⟹ 3. : Für f := ιp : N ⟶ N gilt f^{2} = ιpιp = ιp = f wegen pι = id. Weiter ist f(N) = ιp(N) = M, da p surjektiv ist.

3. ⟹ 1. : Sei M′ = Ke(f). Aus n = f(n) + (n − f(n)) und f(n) ∈ M und f(n − f(n)) = f(n) − f^{2}(n) = 0 folgt n − f(n) ∈ M′, also M + M′ = N. Sei n ∈ M ∩ M′. Dann ist f(n) = 0 und n = f(n′) für ein n′ ∈ N, also ist 0 = f(n) = f^{2}(n′) = f(n′) = n. □

Definition 3.14. P ∈ R-Mod heißt projektiv, wenn zu jedem Epimorphismus f : M ⟶ N und zu jedem Homomorphismus g : P ⟶ N ein Homomorphismus h : P ⟶ M so existiert, daß das Diagramm

[figure: M; N; f; h; P; g]

kommuntiert.

Beispiel 3.15. Alle Vektorräume in K-Mod sind projektiv. ℤ/nℤ in ℤ-Mod ist nicht projektiv.

Lemma 3.16. Sei P = ⊕_{i∈I}P_{i}. P ist genau dann projektiv, wenn alle P_{i}, i ∈ I projektiv sind.

Beweis: Sei P projektiv. In dem folgenden Diagramm seien f, g, p_{i}, ι_{i} gegeben

[figure: P_{i}; P; ι_{i}; P_{i}; p_{i}; M; N; f; hι_{i}; h; g]

Da f ein Epimorphismus ist, existiert h : P ⟶ M mit fh = gp_{i} ⟹ g = gp_{i}ι_{i} = fhι_{i}, also ist P_{i} projektiv. Seien alle P_{i} projektiv. Sei f, g, ι_{i} in dem Diagramm

[figure: P_{i}; P; ι_{i}; M; N; f; h_{i}; g; h]

gegeben und sei f surjektiv. Dann gibt es h_{i} : P_{i} ⟶ M, i ∈ I mit fh_{i} = gι_{i}. Da P das Koprodukt der P_{i} ist, gibt es (genau) ein h : P ⟶ M mit hι_{i} = h_{i} für alle i ∈ I. Dann ist fhι_{i} = fh_{i} = gι_{i} für alle i ∈ I, also fh = g. Damit ist P projektiv. □

Satz 3.17. Sei P ∈ R-Mod. Äquivalent sind

(1) P ist projektiv.

(2) Jeder Epimorphismus f : M ⟶ P zerfällt, d.h. zu jedem Modul M und zu jedem Epimorphismus f : M ⟶ P gibt es einen Homomorphismus g : P ⟶ M mit fg = id_{P}.

(3) P ist isomorph zu einem direkten Summanden eines freien Moduls RX.

Beweis: 1. ⟹ 2.: Aus dem Diagramm

[figure: M; P; f; g; P; 1_{P}]

folgt die Existenz von g mit fg = 1_{P}.

2. ⟹ 3.: Sei ι : P ⟶ RP freier Modul über (der Menge) P. Dann gibt es einen Homomorphismus f : RP ⟶ P, so daß

[figure: P; RP; ι; 1_{P}; P; f]

kommutiert. Offenbar ist f surjektiv. Nach 2. gibt es einen Homomorphismus g : P ⟶ RP mit fg = 1_{P}. Wegen 3.13 ist P ein direkter Summand von RP (bis auf Isomorphie).

3. ⟹ 1. : Sei f : M ⟶ N surjektiv. Sei ι : X ⟶ RX ein freier Modul und sei g : RX ⟶ N ein Homomorphismus. In dem folgenden Diagramm sei k = gι : X ⟶ N. Weil f surjektiv ist, gibt es eine Abbildung h : X ⟶ M mit fh = k. Also gibt es einen Homomorphismus l : RX ⟶ M mit lι = h. Es folgt flι = fh = k = gι und daraus fl = g, weil RX frei ist. Damit ist RX projektiv. Der Übergang zu einem direkten Summanden folgt aus 3.16.

[figure: X; RX; ι; M; N; f; h; g; k; l]

□

Bemerkung 3.18. Sei P_{R} ein R-Modul. Dann ist E := End_{R}(P.) = Hom_{R}(P., P.) ein Ring und P ein E-R-Bimodul wegen f(pr) = (fp)r. Sei P^{∗} := Hom_{R}(P., R.), dann ist P^{∗} = _{R} Hom_{R}(_{E}P.,_{R}R.)_{E} ein R-E-Bimodul. Folgende Abbildungen sind Bimodul-Homo-morphismen

ev : _{R}P^{∗} ⊗_{E} P_{R} ∋ f ⊗ p ↦ f(p) ∈ _{R}R_{R},

der Auswertungshomomorphismus, und

db : _{E}P ⊗_{R} P_{E}^{∗} ⟶ _{E}E_{E} = _{E} End_{R}(P.)_{E}

mit db(p ⊗ f)(q) = pf(q), der Dual-Basis-Homomorphismus. Wir prüfen die Bilinearitätsbedingung: ev(fe, p) = (fe)(p) = f(e(p)) = ev(f, ep) und db(pr, f)(q) = (pr)f(q) = p(rf(q)) = db(p, rf)(q). Wir prüfen weiter, daß db ein Bimodulhomomorphismus ist. Es ist db(ep ⊗ f)(q) = e(p)f(q) = e(pf(q)) = e db(p ⊗ f)(q) und db(p ⊗ fe)(q) = pfe(q) = db(p ⊗ f)e(q).

Lemma 3.19. Die folgenden Diagramme sind kommutativ

[figure: R ⊗_{R} P^{∗}; P^{∗}; μ; P^{∗} ⊗_{E} P ⊗_{R} P^{∗}; P^{∗} ⊗_{E} E; 1 ⊗ db; ev ⊗1; μ; E ⊗_{E} P; P; μ; P ⊗_{R} P^{∗} ⊗_{E} P; P ⊗_{R} R; 1 ⊗ ev; db ⊗1; μ]

Beweis: Der Beweis ist das Assoziativgesetz: μ(1 ⊗ db)(f ⊗ p ⊗ g)(q) = μ(f ⊗ pg)(q) = f(pg)(q) = f(pg(q)) = f(p)g(q) = μ(f(p)⊗g)(q) = μ(ev ⊗1)(f ⊗p⊗g)(q) und μ(db ⊗1)(p⊗ f ⊗ q) = μ(pf ⊗ q) = pf(q) = μ(p ⊗ f(q)) = μ(1 ⊗ ev)(p ⊗ f ⊗ q). □

Satz 3.20. (Dual-Basis-Lemma) Sei P_{R} ein R-Modul. Äquivalent sind:

(1) P ist endlich erzeugt und projektiv

(2) (Duale Basis:) Es gibt f_{1}, …, f_{n} ∈ Hom_{R}(P., R.) = P^{∗} und p_{1}, …, p_{n} ∈ P, so daß für alle p ∈ P gilt

p = ∑ p_{i}f_{i}(p).

(3) Der Dual-Basis-Homomorphismus

db : P ⊗_{R} P^{∗} ⟶ Hom_{R}(P., P.)

ist ein Isomorphismus.

Beweis: 1. ⟹ 2. : Sei P erzeugt von {p_{1}, …, p_{n}}. Sei RX freier R-Rechts-Modul über X = {x_{1}, …, x_{n}}. Seien π_{i} : RX ⟶ R die Projektionen induziert durch

[figure: X; RX; ι; σ_{i}; R; π_{i}]

mit σ_{i}(x_{j}) = δ_{ij}. Nach Satz 1.6 gilt z = ∑ x_{i}π_{i}(z) für alle z ∈ RX. Sei g : RX ⟶ P der Homomorphismus mit g(x_{i}) = p_{i}. Da die p_{i} Erzeugendenmenge von P bilden, ist g surjektiv. Da P projektiv ist, gibt es nach 3.17 einen Homomorphismus h : P ⟶ RX mit gh = 1_{P}. Seien f_{i} := π_{i}h. Dann gilt ∑ p_{i}π_{i}h(p) = ∑ g(x_{i})π_{i}h(p) = g(∑ x_{i}π_{i}(h(p))) = gh(p) = p.

2. ⟹ 3. : Der Homomorphismus ψ : Hom_{R}(P., P.) ⟶ P ⊗_{R} P^{∗} mit ψ(e) = ∑ e(p_{i}) ⊗ f_{i} ist Umkehrabbildung zu db, denn db ∘ψ(e)(p) = ∑ e(p_{i})f_{i}(p) = e(∑ p_{i}f_{i}(p)) = e(p), also db ∘ψ = 1. Weiter ist ψ ∘ db(p ⊗ f) = ψ(pf) = ∑ pf(p_{i}) ⊗ f_{i} = p ⊗ ∑ f(p_{i})f_{i} = p ⊗ f, denn ∑ f(p_{i})f_{i}(q) = f(∑ p_{i}f_{i}(q)) = f(q), also ist auch ψ ∘ db = 1.

3. ⟹ 2. : ∑ p_{i} ⊗ f_{i} = db^{−1}(1_{P}) ist eine duale Basis, denn es gilt ∑ p_{i}f_{i}(p) = db(∑ p_{i} ⊗ f_{i})(p) = 1_{P} (p) = p.

2. ⟹ 1. : Wegen ∑ p_{i}f_{i}(p) = p für alle p ∈ P sind die p_{i} Erzeugende von P, P ist also endlich erzeugt. Dann ist g : RX ⟶ P mit g(x_{i}) = p_{i} surjektiv. Sei h : P ⟶ RX definiert durch h(p) = ∑ x_{i}f_{i}(p). Dann folgt gh(p) = p, also ist P direkter Summand von RX, und damit projektiv. □

Satz 3.21. Sei R ein kommutativer Ring und P ∈ R-Mod. Äquivalent sind (1) _{R}P ist endlich erzeugt projektiv.

(2) Es existieren P′ ∈ R-Mod, db′ : R ⟶ P ⊗_{R} P′, ev : P′ ⊗_{R} P ⟶ R mit

[figure: (P; P ⊗_{R} P′ ⊗_{R} P; db′ ⊗1; P) = 1_{P} ,; 1 ⊗ ev; (P′; P′ ⊗_{R} P ⊗_{R} P′; 1 ⊗ db′; P′) = 1_{P′}.; ev ⊗1]

Beweis: ⟸: Zu ev ∈ Hom_{R}(P′ ⊗_{R} P, R) ≅ Hom_{R}(P′, Hom_{R}(P, R)) gibt es ϵ : P′ ⟶ P^{∗} mit ϵ(f)(p) = ev(f ⊗ p) = fp für f ∈ P′. Sei db′(1) = ∑ p_{i} ⊗ f_{i}. Dann ist p = 1_{P} (p) = (1 ⊗_{R} ev)(db′ ⊗_{R}1)(p) = (1 ⊗_{R} ev)(∑ p_{i} ⊗ f_{i} ⊗ p) = ∑ p_{i}f_{i}p. Nach 3.20 ist P endlich erzeugt projektiv. ⟹: Man setze P′ := P^{∗} und (ev : P′ ⊗_{R} P ⟶ R) = (ev : P^{∗} ⊗_{R} P ⟶ R). Weiter sei db′(1) = ∑ p_{i} ⊗f_{i} die Dual-Basis von P. Dann gilt (1⊗_{R} ev)(db′ ⊗_{R}1)(p) = (1⊗_{R} ev)(∑ p_{i} ⊗ f_{i} ⊗ p) = ∑ p_{i}f_{i}(p) = p. Weiter ist ∑ f(p_{i})f_{i}(p) = f(∑ p_{i}f_{i}(p)) = f(p), also ∑ f(p_{i})f_{i} = f. Daraus folgt (ev ⊗_{R}1)(1 ⊗_{R} db′)(f) = (ev ⊗_{R}1)(∑ f ⊗ p_{i} ⊗ f_{i}) = ∑ f(p_{i})f_{i} = f. □

Definition 3.22. G_{R} ∈Mod-R heißt ein Generator, wenn es zu jedem Homomorphismus f : M ⟶ N mit f ≠ 0 einen Homomorphismus g : G ⟶ M gibt mit fg ≠ 0.

Satz 3.23. Sei G_{R} ∈Mod-R. Äquivalent sind (1) G ist ein Generator.

(2) Zu jedem R-Modul M_{R} gibt es eine Menge I und einen Epimorphismus h : ∐_{I} G ⟶ M.

(3) R ist isomorph zu einem direkten Summanden von ∐_{I} G (für eine geeignete Menge I).

(4) Es gibt f_{1}, …, f_{n} ∈ G^{∗} und q_{1}, …, q_{n} ∈ G mit ∑ f_{i}(q_{i}) = 1.

Beweis: 1. ⟹ 2. : Setze I := Hom_{R}(G., M.). Dann definiert

[figure: G = G_{f}; ∐_{I} G_{f}; ι_{f}; f; M; h]

genau einen Homomorphismus h mit hι_{f} = f für alle f ∈ I. Sei N = Bi(h). Betrachte ν : M ⟶ M/N. Wenn N ≠ M, dann ist ν ≠ 0. ⟹ ∃f : νf ≠ 0 ⟹ νh ≠ 0 Widerspruch zu N = Bi(h) ⟹ N = M ⟹ h Epimorphismus.

2. ⟹ 3. : Sei ∐ G ⟶ R ein Epimorphismus. Da R frei, also projektiv, ist, folgt aus 3.17, daß R bis auf Isomorphie direkter Summand von ∐ G ist.

3. ⟹ 4. : Sei p : ∐_{I} G ⟶ R mit pι = 1_{R} gegeben. Sei p((g_{i})) = 1 und f_{i} = pι_{i} : G ⟶ R. Dann folgt 1 = p((g_{i})) = p(∑ ι_{i}(g_{i})) = ∑ pι_{i}(g_{i}) = ∑ f_{i}(q_{i}).

4. ⟹ 1. : Sei (g : M ⟶ N) ≠ 0, dann gibt es ein m ∈ M mit g(m) ≠ 0. Sei f : R ⟶ M definiert durch f(1) = m, f(r) = rm. Seien f_{i}, q_{i} gegeben mit ∑ f_{i}(q_{i}) = 1. Dann folgt 0 ≠ g(m) = gf(1) = ∑ gff_{i}(q_{i}), also gibt es ein ff_{i} : G ⟶ M mit gff_{i} ≠ 0. □

4. Die Morita-Theoreme

Definition 4.1. Sei K in diesem Kapitel ein kommutativer Ring. Eine Kategorie C heißt K-Kategorie, wenn Mor_{C}(M, N) ein K-Modul und Mor_{C}(f, g) ein K-Homomorphismus für alle M, N, f, g ∈ C ist. Ein Funktor F : C ⟶ D zwischen K-Kategorien C und D heißt ein K-Funktor, wenn F : Mor_{C}(M, N) ⟶ Mor_{D}(F(M), F(N)) für alle M, N ∈ C ein K-Homomorphismus ist. Ist K = ℤ, so spricht man von (prä-)additiven Kategorien und additiven Funktoren.

Bemerkung 4.2. Wir schreiben in §4 die Homomorphismen immer auf der entgegengesetzten Seite der Skalarmultiplikation: f : _{R}M ⟶ _{R}N mit (rm)f = r(mf).

Definition 4.3. Eine K-Algebra ist ein Ring A zusammen mit einem Ringhomomorphismus f : K ⟶ Z(A) ⊆ A, wobei Z(A) := {a ∈ A| ∀b ∈ A : ab = ba} das Zentrum von A ist. Dadurch wird _{K}A_{K} zu einem Bimodul: κa = aκ := f(κ)a. Ein K-Bimodul _{A}M_{B} ist ein A-B-Bimodul mit (κ · 1_{A}) · m = κm = mκ = m · (1_{B} · κ).

Definition 4.4. Ein Morita-Kontext besteht aus einem 6-Tupel (A, B,_{A}P_{B},_{B}Q_{A}, f, g) mit K-Algebren A, B, K-Bimoduln _{A}P_{B}, _{B}Q_{A} und K-Bimodul-Homomorphismen

f : _{A}P ⊗_{B} Q_{A} ⟶ _{A}A_{A}, g : _{B}Q ⊗_{A}P_{B} ⟶ _{B}B_{B},

so daß gelten:

(1) qf(p ⊗ q′) = g(q ⊗ p)q′ oder q(pq′) = (qp)q′,

(2) f(p ⊗ q)p′ = pg(q ⊗ p′) oder (pq)p′(qp′), wobei wir die Schreibweise pq := f(p ⊗ q) und qp := g(q ⊗ p) verwenden.

Bemerkung 4.5. Mit dieser Konvention sind alle Produkte assoziativ, z.B. (pb)q = p(bq), (qa)p = q(ap).

Lemma 4.6. Seien eine K-Algebra A und ein A-Modul _{A}P gegeben. Dann ist (A, B, P, Q, f = ev, g = db) ein Morita-Kontext mit

\begin{matrix}B := Hom_{A}(.P, .P) & _{B}Q_{A} := _{B} Hom_{A}(.P_{B}, .A_{A})_{A} \\ f(p ⊗ q) := (p)q & (p′)[g(q ⊗ p)] := (p′)qp. \end{matrix}

Beweis: wie in 3.19. □

Definition 4.7. Eine K-Äquivalenz von K-Kategorien C und D ist ein Paar von K-Funk-toren F : C ⟶ D, G : C ⟶ D mit Id_{D} ≅ FG und Id_{C} ≅ GF.

Satz 4.8. (Morita I) Sei (A, B, P, Q, f, g) ein Morita-Kontext. Seien f und g Epimorphismen. Dann gelten

(1) P ist ein endlich erzeugter projektiver Generator in A-Mod und in Mod-B. Q ist ein endlich erzeugter projektiver Generator in Mod-A und in B-Mod.

(2) f und g sind Isomorphismen.

(3) Q ≅ Hom_{A}(.P, .A) ≅ Hom_{B}(P., B.)

P ≅ Hom_{B}(.Q, .B) ≅ Hom_{A}(Q., A.)

als Bimoduln.

(4) A ≅ Hom_{B}(.Q, .Q) ≅ Hom_{B}(P., P.)

B ≅ Hom_{A}(.P, .P) ≅ Hom_{A}(Q., Q.) als K-Algebren und als Bimoduln.

(5) P ⊗_{B} - : B-Mod ⟶ A-Mod und Q ⊗_{A} - : A-Mod ⟶ B-Mod sind zueinander inverse K-Äquivalenzen. Ebenso sind -⊗_{A} P : Mod-A ⟶ Mod-B und -⊗_{B} Q : Mod-B ⟶ Mod-A zueinander inverse K-Äquivalenzen. Weiter sind folgende Funktoren natürlich isomorph:

P ⊗_{B} - ≅ Hom_{B}(.Q, .-),
Q ⊗_{A} - ≅ Hom_{A}(.P, .-),
- ⊗_{A} P ≅ Hom_{A}(Q., -.),
- ⊗_{B} Q ≅ Hom_{B}(P., -.).

(6) Es gelten folgende Verbandsisomorphismen:

V(_{A}P) ≅ V(_{B}B),  V(P_{B}) ≅ V(A_{A}),
V(_{B}Q) ≅ V(_{A}A),  V(Q_{A}) ≅ V(B_{B}),
V(_{B}Q_{A}) ≅ V(_{A}A_{A}) ≅ V(_{B}B_{B}) ≅ V(_{A}P_{B}).

(7) Zentrum(A) ≅ Zentrum(B).

Beweis: 1. Die Isomorphismen aus 2.22 bilden g ∈ Hom_{B-B}(.Q ⊗_{A} P., .B.) in Bimodul-Homomorphismen g_{1} : P ⟶ Hom_{B}(.Q, .B) und g_{2} : Q ⟶ Hom_{B}(P., B.) ab. Weiter induziert f Bimodul-Homomorphismen f_{1} : P ⟶ Hom_{A}(Q., A.) und f_{2} : Q ⟶ Hom_{A}(.P, .A). Wenn g ein Epimorphismus ist, dann gibt es ∑ q_{i}⊗p_{i} ∈ Q⊗_{A}P mit g(∑ q_{i}⊗p_{i}) = 1_{B} = id_{P}. Also gilt p = ∑ pq_{i}p_{i} = ∑(p)[f_{2}(q_{i})]p_{i} für jedes p ∈ P. Nach dem Dual-Basis-Lemma 3.20 ist _{A}P endlich erzeugt und projektiv. Wenn f ein Epimorphismus ist, dann gibt es ∑ x_{i} ⊗ y_{i} ∈ P ⊗_{B} Q mit f(∑ x_{i} ⊗ y_{i}) = 1_{A} = ∑(x_{i})[f_{2}(y_{i})]. Nach 3.23 ist _{A}P ein Generator. Die Aussagen für P_{B}, _{B}Q und Q_{A} folgen aus Symmetriegründen.

2. Wenn f(∑ a_{i}⊗b_{i}) = 0, dann ist ∑_{i,j} a_{i}⊗b_{i}f(x_{j}⊗y_{j}) = ∑ a_{i}⊗g(b_{i}⊗x_{j})y_{j} = ∑ a_{i}g(b_{i}⊗x_{j})⊗ y_{j} = ∑ f(a_{i} ⊗ b_{i})x_{j} ⊗ y_{j} = 0. Also ist f injektiv. Analog zeigt man, daß g ein Isomorphismus ist.

3. Der Homomorphismus f_{2} : Q ⟶ Hom_{A}(.P, .A) wie in 1. erfüllt (p)[f_{2}(q)] = f(p⊗q) = pq. Sei φ ∈ Hom_{A}(.P, .A). Dann ist (p)φ = (p ∑ q_{i}p_{i})φ = ∑(pq_{i})(p_{i})φ, also gilt φ = ∑ q_{i}(p_{i})φ = ∑ f_{2}(q_{i}(p_{i})φ). Daher ist f_{2} ein Epimorphismus. Sei (p)[f_{2}(q)] = pq = 0 für alle p ∈ P. Dann folgt q = 1_{B}q = ∑ q_{i}p_{i}q = 0. Also ist f_{2} ein Isomorphismus.

4. Die B-Modulstruktur von P induziert B ⟶ Hom_{A}(.P, .P). Sei pb = 0 für alle p ∈ P. Dann ist b = 1_{B} · b = ∑ q_{i}p_{i}b = 0. Wenn φ ∈ Hom_{A}(.P, .P), dann ist (p)φ = (p1_{B})φ = (∑ p(q_{i}p_{i}))φ = ∑(pq_{i})(p_{i})φ = ∑ p(q_{i}(p_{i})φ) und damit φ = ∑ q_{i}(p_{i})φ. Damit ist B ⟶ Hom_{A}(.P, .P) ein Isomorphismus von K-Algebren und Bimoduln.

5. _{A}P ⊗_{B} Q ⊗_{A} X ≅ _{A}A ⊗_{A} X ≅ _{A}X funktoriell in X und _{B}Q ⊗_{A} P ⊗_{B} Y ≅ _{B}B ⊗_{B} Y ≅ BY funktoriell in Y ergeben die Behauptung. Weiter ist _{B}Q ⊗_{A} U ≅ _{B} Hom_{A}(.P, .A) ⊗_{A} U ≅ _{B} Hom_{A}(.P, .A ⊗_{A} U) ≅ _{B} Hom_{A}(.P, .U) funktoriell in U, denn der Homomorphismus φ : Hom_{A}(.P, .A) ⊗_{A} U ⟶ Hom_{A}(.P, .A ⊗_{A} U) mit (p)[φ(f ⊗ u)] := ((p)f) ⊗ u ist ein Isomorphismus. Wir zeigen allgemeiner: □

Lemma 4.9. Wenn _{A}P endlich erzeugt projektiv ist und _{A}V_{B} und _{B}U (Bi-)Moduln sind, dann ist der (in U und V) funktorielle Homomorphismus

φ : Hom_{A}(.P, .V) ⊗_{B} U ⟶ Hom_{A}(.P, .V ⊗_{B} U)

ein Isomorphismus.

Beweis: Sei ∑ f_{i} ⊗ p_{i} ∈ Hom_{A}(.P, .A) ⊗_{A} P eine Dual-Basis für P. Dann ist

φ^{−1} : Hom_{A}(.P, .V ⊗_{B} U) ⟶ Hom_{A}(.P, .V) ⊗_{B} U

mit φ^{−1}(g) = ∑_{i,j}()f_{i}v_{ij} ⊗u_{ij} mit (p_{i})g =: ∑_{j} v_{ij} ⊗u_{ij} invers zu φ, definiert durch (p)[φ(f ⊗ u)] = (p)f ⊗ u. Da φ ein Homomorphismus ist, (p)[φ(fb ⊗ u)] = (p)fb ⊗ u = (p)f ⊗ bu = (p)[φ(f ⊗ bu)], genügt es, daß φ^{−1} als Abbildung gegeben ist. Es gilt nun (p_{i})φ(f ⊗ u) = (p_{i})f ⊗ u, also φ^{−1}φ(f ⊗ u) = ∑()f_{i}(p_{i})f ⊗ u = ∑(()f_{i}p_{i})f ⊗ u = f ⊗ u. Weiter ist φφ^{−1}(g) = φ(∑()f_{i}(p_{i})g) = ∑()f_{i}(p_{i})g = (∑()f_{i}p_{i})g = g. □

Beweis von 4.8: (Fortsetzung)

6. Bei der Äquivalenz der Kategorien wird _{A}P auf Hom_{A}(.P, .P) ≅ _{B}B abgebildet. Daraus folgt V(_{A}P) ≅ V(_{B}B). Ein Unterobjekt von _{A}P ist nämlich eine Isomorphieklasse von Monomorphismen _{A}U ⟶ _{A}P, wobei zwei solche Isomorphismen isomorph heißen, wenn es einen notwendigerweise eindeutig bestimmten Isomorphismus U ≅ U′ gibt, so daß

[figure: U; P; U′]

kommutiert. Solche Unterobjekte werden bei einer Äquivalenz von Kategorien offenbar erhalten. Weiter gilt für Unterobjekte von _{A}P_{B}, daß

[figure: U; P; U; P; ·b; ·b  und; Hom_{A}(.P, .U); B; Hom_{A}(.P, .U); B; ·b; ·b]

kommutieren. Also ist _{A}U_{B} ∈ V(_{A}P_{B}) genau dann, wenn Hom_{A}(.P, .U) ∈ V(_{B}B_{B}).

7. Der Beweis dieses Teils zerfällt in zwei Schritte. Man führt die Algebra End_{funkt}(Id_{A-Mod)} als die Menge der funktoriellen Endomorphismen von Id_{A-Mod} ein mit der Addition von Morphismen und der Komposition von Morphismen als Operationen für die Ringstruktur. Das ist offenbar eine Algebra. Dann zeigt man in einem ersten Schritt, daß das Zentrum von A isomorph zu End_{funkt}(Id_{A-Mod}) ist. In einem zweiten Schritt zeigt man dann, daß End_{funkt}(Id_{A-Mod}) ≅ End_{funkt}(Id_{B-Mod}) gilt. Das ist nahezu trivial, weil alle kategorietheoretisch charakterisierten Terme bei einer Äquivalenz erhalten bleiben. Damit hat man dann Zentrum (A) ≅ End_{funkt}(Id_{A-Mod}) ≅ End_{funkt}(Id_{B-Mod}) ≅ Zentrum (B). Sei z ∈ Z(A). Für M = Id_{A-Mod}(M) gilt dann zam = azm, also ist z = z· ∈ End_{A}(M). Damit definiert z· einen Endomorphismus von Id_{A-Mod}(M), denn

[figure: N; N; z·; M; M; z·; f; f]

kommutiert. Das definiert einen Homomorphismus Z(A) ⟶ End_{funkt}(Id_{A-Mod}). Sei nun φ ∈ End_{funkt}(Id_{A-Mod}). Dann kommutiert

[figure: M; M; φ(M); A; A; φ(A); f_{m}; f_{m}]

wobei (a)f_{m} = am. Jedes f ∈ Hom_{A}(.A, .M) ist von dieser Form. Für M = A gilt a(1)[φ(A)] = (a)[φ(A)] = (1)[f_{a}φ(A)] = (1)[φ(A)f_{a}] = (1)[φ(A)]a, also ist (1)[φ(A)] ∈ Z(A). Für beliebiges M ∈ A-Mod gilt dann (m)[φ(M)] = (1)[f_{m}φ(M)] = (1)[φ(A)f_{m}] = (1)[φ(A)]m, d.h. φ(M) ist von der Form z· mit z = (1)[φ(A)]. Die so definierten Abbildungen sind offenbar invers zueinander: z ↦ z· ↦ z · 1 = z und φ ↦ (1)[φ(A)] ↦ (1)[φ(A)]·.

Um zu zeigen, daß End_{funkt}(Id_{A-Mod}) und End_{funkt}(B-Mod) zueinander isomorph sind, sei φ ∈ End_{funkt}(Id_{A-Mod}) =: E(A). Wir definieren φ′ ∈ E(B) durch

[figure: ST (_{B}M); ST (_{B}M); SφT (M); _{B}M; _{B}M; φ′(M); β(M); β(M)]

wobei S : A-Mod ⟶ B-Mod, T : B-Mod ⟶ A-Mod die zueinander inversen Äquivalenzen aus 5. sind und α : Id_{A-Mod} ⟶ T S bzw. β : Id_{B-Mod} ⟶ ST die zugehörigen Isomorphismen. Analog ordnen wir jedem ψ ∈ E(B) ein ψ′ ∈ E(A) zu durch

[figure: T S(_{A}N); T S(_{A}N); T ψS(N); _{A}N; _{A}N; ψ′(N); α(N); α(N)].

Die Kompositionen von ψ ↦ ψ′ und φ ↦ φ′ definieren jeweils einen Isomorphismus, also ist jede einzelne Abbildung ein Isomorphismus. Eine der beiden Kompositionen ist in dem folgenden Diagramm enthalten.

[figure: N; N; φ′′(N); T S(N); T S(N); T φ′S(N); T (ST)S(N); T (ST)S(N); T SφT S(N); T S(N); T S(N); T Sφ(N); N; N; φ(N); α(N); α(N); T βS(N); T βS(N); T Sα(N); T Sα(N); α(N); α(N)]

Die Zuordnung φ ↦ φ′′ ist daher ein innerer Automorphismus von E(A), also bijektiv. □

Satz 4.10. (Morita II) Seien S : A-Mod⟶ B-Mod und T : B-Mod⟶ A-Mod zueinander inverse K-Äquivalenzen. Sei _{A}P_{B} := T (B) und _{B}Q_{A} := S(A). Dann gibt es Isomorphismen f : _{A}P ⊗_{B} Q_{A} ⟶ _{A}A_{A} und g : _{B}Q ⊗_{A} P_{B} ⟶ _{B}B_{B}, so daß (A, B, P, Q, f, g) ein Morita-Kontext ist. Weiter gilt S ≅ Q ⊗_{A} - und T ≅ P ⊗_{B} -.

Satz 4.11. (Morita III) Sei P ∈ A-Mod ein endlich erzeugter projektiver Generator (= Progenerator). Dann ist der Morita-Kontext (A, Hom_{A}(.P, .P), P, Q, f = ev, g = db) strikt, d.h. f und g sind Epimorphismen.

Beweis: Da _{A}P endlich erzeugt projektiv ist, ist g = db ein Isomorphismus (3.20). Da _{A}P ein Generator ist, ist f = ev ein Epimorphismus (3.23). □

Beweis von 4.10: 1. Seien S, T gegeben. Dann ist S : Hom_{A}(.M, .N) ∋ f ↦ S(f) ∈ Hom_{B}(.SM, .SN) ein Isomorphismus. Sei α : T S ≅ Id_{A-Mod}. Dann ist

[figure: Hom_{A}(.M, .N); Hom_{B}(.SM, .SN); S; T; Hom_{A}(.T SM, .T SN); Hom_{A}(.M, .N); Hom(α^{−1},α)]

die Identität, denn Hom(α^{−1}, α)T S(f) = α ∘ T Sf ∘ α^{−1} = f weil

[figure: M; N; f; T SM; T SN; T Df; α; α]

kommutiert. Also ist S ein Monomorphismus und Hom(α^{−1}, α) ∘ T ein Epimorphismus. Da Hom(α^{−1}, α) ein Isomorphismus ist, ist T ein Epimorphismus für T : Hom_{B}(.SM, .SN) ⟶ Hom_{A}(.T SM, .T SN). Symmetrisch ist T immer ein Monomorphismus. Also ist T ein Isomorphismus und damit auch S.

2. Ist f ∈ B-Mod ein Epimorphismus, so ist auch T f ∈ A-Mod ein Epimorphismus. Sei f : M ⟶ N ein Epimorphismus. Seien g, h ∈ A-Mod mit g ∘ T f = h ∘ T f. Wir haben ein kommutatives Diagramm

[figure: ST M; ST N; ST f; Sg; SM; Sh; M; N; f; β; β]

mit Sg ∘ ST f = Sh ∘ ST f. Da f ein Epimorphismus ist, folgt Sg = Sh, also auch g = h.

3. Wenn P ∈ A-Mod projektiv ist, dann ist auch SP ∈ B-Mod projektiv. Seien nämlich ein Epimorphismus f : M ⟶ N in B-Mod und ein Homomorphismus g : SP ⟶ N gegeben. Dann ist T f : T M ⟶ T N ein Epimorphismus und T g : T SP ⟶ T N in A-Mod. Weil α : T SP ≅ P, gibt es ein h : P ⟶ T M mit T f ∘ h = T g ∘ α^{−1} oder T f ∘ h ∘ α = T g. Wir wenden S an und erhalten ST f ∘ S(h ∘ α) = ST g, wobei S(h ∘ α) ∈ Hom_{B}(.ST SP, .ST M). Weil β : ST M ≅ M, ist Hom(β^{−1}, β) : Hom_{B}(.ST SP, .ST M) ⟶ Hom_{B}(.SP, .M) ein Isomorphismus mit Inversem Hom(β, β^{−1}). Für k : SP ⟶ M mit k = β ∘ S(h ∘ α) ∘ β^{−1} gilt dann β ∘ ST (k) = k ∘ β = β ∘ S(h ∘ α) ∘ β^{−1} ∘ β = β ∘ S(h ∘ α), also ST (k) = S(h ∘ α) und T (k) = h ∘ α. Also gilt ST f ∘ ST k = ST g = ST (f ∘ k) und damit g = f ∘ k. Also ist SP projektiv.

4. Wenn G ∈ A-Mod ein Generator ist, dann ist auch SG ∈ B-Mod ein Generator. Sei nämlich (f : M ⟶ N) ≠ in B-Mod. Dann ist T f ≠ 0, also gibt es ein g : G ⟶ T M mit T f ∘ g ≠ 0. Folglich ist ST f ∘ Sg ≠ 0 und f ∘ (α ∘ Sg) = α ∘ ST f ∘ Sg ≠ 0.

5. Wir zeigen jetzt S(⊕_{i∈I}M_{i}) ≅ ⊕_{i∈I}S(M_{i}) : Sei eine Familie (f_{i} : S(M_{i}) ⟶ N|i ∈ I) in B-Mod gegeben. Da nach 1. S ein Isomorphismus ist, gibt es genau eine Familie (g_{i} : M_{i} ⟶ T N) mit Sg_{i} = α^{−1} ∘ f_{i}. Also existiert genau ein g : ⊕M_{i} ⟶ T N mit g ∘ ι_{i} = g_{i}. Wir wenden S an und erhalten Sg ∘ Sι_{i} = Sg_{i} = α^{−1} ∘ f_{i} bzw. α ∘ Sg ∘ Sι_{i} = f_{i}. Weil α ∘ Sein Isomorphismus ist, ist α ∘ Sg eindeutig durch die Bedingung α ∘ Sg ∘ Sι_{i} = f_{i} festgelegt, also ist (S(⊕M_{i}), Sι_{i}) direkte Summe der S(M_{i}).

6. S(A) ist endlich erzeugt in B-Mod, also ein endlich erzeugter projektiver Generator.

Da B ∈ B-Mod ein Generator ist, ist auch T (B) ∈ A-Mod ein Generator. Also gibt es eine Menge E mit A ⊕ M ≅ ⊕_{E}T B. Wegen A = A · 1 kann E endlich gewählt werden. ⟹ S(A) ⊕ S(M) ≅ ⊕_{E}ST B ≅ ⊕_{E}B. Also gibt es einen Epimorphismus ⊕_{E}B ⟶ SA. Damit ist SA ∈ B-Mod endlich erzeugt. (Bemerkung: Eine Äquivalenz S bildet endlich erzeugte Moduln immer auf endlich erzeugte Moduln ab. Den Beweis dafür führen wir unten.)

7. A ≅ Hom_{B}(.SA, .SA) als Ringe, denn A ≅ Hom_{A}(.A, .A) ⟶^{S} Hom_{B}(.SA, .SA).

8. T B ≅ Hom_{B}(.SA, .B), denn Hom_{B}(.SA, .B) ⟶^{T} Hom_{A}(.T SA, .T B) ≅ Hom_{A}(.A, .T B) ≅

T B.

9. (B, A, SA, T B, f, g) bilden einen strikten Morita Kontext nach Morita III.

10. Hom_{B}(.SM, .N) ≅ Hom_{A}(.M, .T N), denn Hom_{B}(.SM, .N) ≅ Hom_{A}(.T SM, .T N) ≅ Hom_{A}(.M, .T N).

11. Hom_{B}(.SA ⊗_{A} M, .N) ≅ Hom_{A}(.M, . Hom_{B}(.SA, .N))

≅ Hom_{A}(.M, . Hom_{A}(.A, .T N))

≅ Hom_{A}(.M, .T N)
≅ Hom_{B}(.SM, .N).

Als darstellendes Objekt ist _{B}SM ≅ _{B}SA ⊗_{A} M funktoriell in M wegen 2.17. □

Satz 4.12. _{R}M ist genau dann endlich erzeugt, wenn in jeder Menge {A_{i}|i ∈ I} mit A_{i} ⊆ M und ∑_{i∈I} A_{i} = M eine endliche Teilmenge {A_{i}|i ∈ I_{0}}, I_{0} ⊆ I endlich, mit ∑_{i∈I_{0}} A_{i} existiert.

Beweis: Sei M = Rm_{1} +…+Rm_{n}. Jedes m_{j} ist in einer endlichen Summe der A_{i} enthalten, also auch alle m_{j} und damit auch M. Für die Umkehrung betrachten wir {Rm|m ∈ M}. Es gilt M = ∑ Rm, also ist M eine Summe von endlich vielen Rm und damit endlich erzeugt. □

Folgerung 4.13. Bei einer Kategorienäquivalenz T : R-Mod⟶ S-Mod werden endlich erzeugte Moduln in endlich erzeugte Moduln abgebildet.

Beweis: Der Verband der Untermoduln V(M) ist isomorph zum Verband der Untermoduln V(T M). □

5. Einfache und halbeinfache Ringe

Definition 5.1. Ein Ideal _{R}I ⊆ _{R}R heißt nilpotent, wenn es ein n ≥ 1 gibt mit I^{n} = 0. Ein Modul _{R}M heißt artinsch (Emil Artin, 1898-1962), wenn jede nichtleere Menge von Untermoduln von M ein minimales Element besitzt. Ein Ring R heißt einfach, wenn_{R}R als Modul artinsch ist und R keine nichttrivialen (≠ 0, R) zweiseitigen Ideale besitzt. Ein Ring R heißt halbeinfach, wenn _{R}R artinsch ist und R keine nichttrivialen (≠ 0) nilpotenten Links-Ideale besitzt.

Lemma 5.2. Jeder einfache Ring ist halbeinfach.

Beweis: C := ∑(I|_{R}I ⊆ _{R}R nilpotent) ist zweiseitiges Ideal, denn für a ∈ I, r ∈ R gilt

(r_{1}ar)(r_{2}ar) … (r_{n}ar) = (r_{1}a)(rr_{2}a) … (rr_{n}a)r ∈ I^{n}R = 0.

Also gilt (Rar)^{n} = 0 ⟹ Rar ⊆ C ⟹ C = 0 oder C = R. Sei C = 0. Dann gibt es keine nichttrivialen nilpotenten Ideale. Sei C = R. Dann gibt es a_{i} ∈ I_{i} mit 1 = a_{1} + … + a_{n}. Es ist I_{1} + I_{2} nilpotent, denn (a_{1} + b_{1})(a_{2} + b_{2}) … (a_{2n} + b_{2n}) hat entweder Monome in I_{1}^{n} · R oder in I_{2}^{n} · R. Aber I_{1}^{n} = 0 = I_{2}^{n} ⟹ (I_{1} + I_{2})^{2n} = 0. Also ist 1 nilpotent. Widerspruch. □

Definition 5.3. Ein Modul _{R}M heißt einfach genau dann, wenn M ≠ 0 und M nur 0 und M als Untermoduln besitzt. Ein Ideal _{R}I heißt einfach oder minimal, wenn es als Modul einfach ist.

Lemma 5.4. Sei R halbeinfach. Dann ist jedes Links-Ideal von R ein direkter Summand von R.

Beweis: Sei I ein Ideal in R, das kein direkter Summand ist und sei I minimal mit dieser Eigenschaft. Ein solches Ideal existiert, weil R artinsch ist. Fall 1: Sei I ⊆ R ein Ideal, das nicht minimal (einfach) ist, d.h. es gibt ein Ideal J ⊆ I mit 0 ≠ J ≠ I. Dann ist J direkter Summand von R, d.h. es gibt einen Homomorphismus f : R ⟶ J mit (J ⟶ I ⟶ R ⟶^{f} J) = id_{J}. Es folgt I = J ⊕ K für ein K := Ke(I ⟶ R ⟶^{f} J). Da K ≠ I, gibt es auch ein g : R ⟶ K mit (K ⟶ I ⟶ R ⟶^{g} K) = id_{K}. Für die Abbildung f + g − gf : I ⟶ R ⟶ I gilt (f + g − gf)(j) = f(j) + g(j) − gf(j) = j + g(j) − g(j) = j für alle j ∈ J und (f + g − gf)(k) = f(k) + g(k) − gf(k) = 0 + k − 0 = k für alle k ∈ K, also (f + g − gf : I ⟶ R ⟶ I) = id_{I}. Damit ist I direkter Summand von R. Widerspruch. Fall 2: Sei I minimales oder einfaches Ideal. Da I nicht nilpotent ist und 0 ≠ I^{2} ⊆ I gilt, ist I^{2} = I. Also existiert insbesondere ein a ∈ I mit Ia = I, denn Ia ist ebenfalls ein Ideal. Damit ist ·a : I ⟶ I ein Epimorphismus und sogar ein Isomorphismus, denn Ke(·a) muß als Ideal Null sein (vgl. Lemma von Schur.) Also existiert e ∈ I, e ≠ 0 mit ea = a. ⟹ (e^{2}−e)a = eea − ea = a − a = 0 ⟹ e^{2} − e = 0 ∈ I ⟹ e^{2} = e ∈ I. Da I = Re, gilt R = Re ⊕ R(1 − e), denn R = Re + R(1 − e) und re = s(1 − e) ∈ Re ∩ R(1 − e) ⟹ re = re^{2} = s(1 − e)e = 0. Damit ist I direkter Summand von R. Widerspruch. □

Lemma 5.5. (Schur) Seien _{R}M, _{R}N einfache Moduln. Dann gelten:

(1) Wenn M ≅ N̸, dann ist Hom_{R}(.M, .N) = 0.

(2) Hom_{R}(.M, .M) ist ein Schiefkörper (= Divisionsalgebra = nicht-kommutativer Körper).

Beweis: Sei f : M ⟶ N ein Homomorphismus mit f ≠ 0. Dann ist Bi(f) = N, weil N einfach ist, und Ke(f) = 0, weil M einfach ist, also ist f ein Isomorphismus. Daraus folgt 1. Weiter folgt 2., weil jeder Endomorphismus f : M ⟶ M mit f ≠ 0 unter der Multiplikation in Hom_{R}(.M, .M) invertierbar ist. Ein Schiefkörper ist nämlich ein Ring, dessen von Null verschiedene Elemente eine Gruppe unter der Multiplikation bilden. □

Bemerkung 5.6. Sei _{R}M einfach. Dann ist End_{R}(.M) = D ein Schiefkörper. Also ist die R-Modulstruktur von M charakterisiert durch R ⟶ End_{D}(M.) = M_{n}(D).

Satz 5.7. (Wedderburn) Äquivalent sind:

(1) R ist einfach.

(2) R besitzt ein einfaches Ideal, das ein R-Progenerator ist.

(3) R ≅ M_{n}(D) = voller Matrizenring über einem Schiefkörper D. (n ist eindeutig, D bis auf Isomorphie eindeutig.)

(4) R = I_{1} ⊕ … ⊕ I_{n} mit isomorphen einfachen Linksidealen I_{1}, …, I_{n}.

Beweis: 1. ⟹ 2. : Da R artinsch ist, gibt es ein einfaches Ideal 0 ≠ I ⊆ R. Sei J := ∑{I′|I′ Ideal in R und I′ ≅ I}. Dann ist J ein zweiseitiges Ideal, denn I′ · r ≠ 0 ⟹ ·r : I′ ⟶ R hat Ke(·r) = 0, also ist ·r injektiv und das Bild I′ · r ist isomorph zu I′ bzw. I, liegt also in J. Da R einfach ist, gilt R = J = ∑ I_{i}. Da 1 ∈ I_{1} + … + I_{n}, gibt es einen Epimorphismus I_{1} ⊕ … ⊕ I_{n} ⟶ R (äußere direkte Summe), der zerfällt, da R projektiv ist. Also ist R bis auf Isomorphie direkter Summand von I_{1} ⊕ … ⊕ I_{n}, und damit ist I ein Generator. Weiter ist I direkter Summand von R nach 5.4, also endlich erzeugt projektiv, also ist I ein R-Progenerator.

2. ⟹ 3. : End_{R}(.I) =: D ist nach dem Lemma von Schur ein Schiefkörper. _{R}I_{D} erzeugt eine Kategorienäquivalenz. Also gilt R ≅ End_{D}(I.) ≅ M_{n}(D).

3. ⟹ 4. : R ≅ M_{n}(D) ⟹ R ≅ End_{D}(V.) mit einem n-dimensionalen D-Vektorraum V. V_{D} ist ein Progenerator. Also gilt V(_{R}R) ≅ V(_{D}V^{∗}). Da V^{∗} ≅ D⊕…⊕D, gilt _{R}R ≅ I_{1} ⊕…⊕I_{n} mit I_{1} ≅ … ≅ I_{n} ≅ _{R}V ⊗_{D} D ≅ _{R}V.

4. ⟹ 2. : Offenbar ist I_{1} ein R-Progenerator.

2. ⟹ 1. : R-Mod ≅ D-Mod mit D ≅ End_{R}(I). Also ist V(_{R}R) ≅ V(_{D} Hom_{D}(I.,_{D}D.)) artinsch, und es gilt V(_{R}R_{R}) ≅ V(_{D}D_{D}) = {0, D}. Damit ist R einfach. □

Folgerung 5.8. Sei R einfach und _{R}M endlich erzeugt. Dann gelten

(1) _{R}M ist ein R-Progenerator.

(2) End_{R}(.M) = S ist ein einfacher Ring.

(3) Zentrum (R) ≅ Zentrum (End_{R}(.M)).

(4) R ≅ End_{S}(M.).

Beweis: 1. Wegen R-Mod ≅ D-Mod und weil jeder endlich erzeugte D-Modul ein Progenerator ist, folgt die Behauptung.

2. S-Mod ≅ R-Mod ≅ D-Mod impliziert, daß V(_{S}S) ≅ V(_{D}P) artinsch ist. Weiter ist V(_{S}S_{S}) ≅ V(_{D}D_{D}), also ist S ein einfacher Ring. 3.+4. folgt aus dem Morita-Theoremen. □

Definition und Bemerkung 5.9. Ein R-Modul _{R}J heißt injektiv, wenn zu jedem Monomorphismus f : M ⟶ N und zu jedem Homomorphismus g : M ⟶ J ein Homomorphismus h : N ⟶ J existiert mit hf = g

[figure: M; N; f; J; g; h].

Vektorräume sind injektiv. _{ℤ}ℤ ist nicht injektiv. Die injektiven ℤ-Moduln sind genau die teilbaren abelschen Gruppen. _{ℤ}ℚ ist injektiv.

Satz 5.10. (Das Baersche Kriterium): Äquivalent sind für Q ∈ R-Mod:

(1) Q ist injektiv.

(2) ∀_{R}I ⊆ _{R}R, ∀g : I ⟶ Q ∃h : R ⟶ Q mit hι = g

[figure: I; R; ι; Q; g; h].

(3) Jeder Monomorphismus f : Q ⟶^{f} M zerfällt, d.h. es gibt einen Epimorphismus g : M ⟶ Q mit gf = 1_{Q}.

Beweis: 1. ⟹ 2. : folgt unmittelbar aus der Definition.

1. ⟹ 3. : Das Diagramm

[figure: Q; M; f; Q; 1_{Q}; g]

definiert das geforderte g.

3. ⟹ 1. : In dem Diagramm

[figure: M; N; f; Q; P; φ; ρ; g; ψ]

sei f ein Monomorphismus und P := N ⊕ Q/{(f(m), −g(m))|m ∈ M} mit φ bzw. ψ kanonische Abbildungen in die linke bzw. rechte Komponente: φ(q) := \overline{(0, q)}, ψ(n) := \overline{(n, 0)}. Wegen ψf(m) = \overline{(f(m), 0)} = \overline{(0, g(m))} = φg(m) gilt ψf = φg. Sei φ(q) = \overline{(0, q)} = 0. Dann existiert ein m ∈ M mit f(m) = 0 und g(m) = q. Da f injektiv ist, ist m = 0 und damit φ injektiv. Wegen 3. existiert ein ρ mit ρφ = 1_{Q}. Dann ist ρψf = ρφg = g, also ist Q injektiv.

2. ⟹ 1. : Seien ein Monomorphismus f : M ⟶ N und ein Homomorphismus g : N ⟶ Q gegeben. Wir betrachten die Menge S := {(N_{i}, φ_{i})}, wobei N_{i} ⊆ N ein Untermodul mit Bi(f) ⊆ N_{i} ist und φ_{i} : N_{i} ⟶ Q ein Homomorphismus ist, so daß

[figure: M; N_{i}; f; N; Q; g; φ_{i}]

kommutiert. Es ist S ≠ ∅, weil (Bi(f), gf^{−1}) ∈ S. Weiter ist S geordnet durch (N_{i}, φ_{i}) ≤ (N_{j}, φ_{j}), wenn N_{i} ⊆ N_{j} und φ_{j}|_{N_{i}} = φ_{i} gilt. Sei {(N_{i}, φ_{i})|i ∈ J} eine Kette in S. Dann ist ∪N_{i} ⊆ N ein Untermodul. ψ : ∪N_{i} ⟶ Q mit ψ(n_{i}) = φ_{i}(n_{i}) ist ein wohldefinierter Homomorphismus und (∪N_{i}, ψ) ∈ S. Weiter gilt (N_{j}, φ_{j}) ≤ (∪N_{i}, ψ) für alle j ∈ J. Nach dem Lemma von Zorn gibt es in S ein maximales Element (N′, φ′). Wir zeigen N′ = N, denn dann ist die Fortsetzung von g auf N gegeben. Sei x ∈ N \ N′. Dann ist N′ ⫋ N′ + Rx. Sei I := {r ∈ R|rx ∈ N′}. Dann ist I ein Ideal und wir haben ein kommutatives Diagramm

[figure: I; R; ι; M; N′; f; N′ + Rx; g; Q; φ′; σ; ·x; ρ; τ]

mit ρ(r) := r · x. Dann gilt ρ(I) ⊆ N′. Es gibt also nach 2. einen Homomorphismus σ : R ⟶ Q mit σι = φ′ ∘ (·x). Wir definieren τ : N′ + Rx ⟶ Q durch τ(n′ + rx) := φ′(n′) + σ(r). Dieses ist eine wohldefinierte Abbildung, denn wenn n′ + rx = n′_{1} + r_{1}x, dann ist (r − r_{1})x = n′_{1} − n′ ∈ N′, also r − r_{1} ∈ I. Damit ist σ(r − r_{1}) = φ′((r − r_{1})x) = φ′(n′_{1} − n′) und φ′(n′) + σ(r) = φ′(n′_{1}) + σ(r_{1}). Man sieht leicht, daß τ auch ein Homomorphismus ist. Da τ|_{N′} = φ′ gilt, ist (N′ + Rx, τ) ∈ S und (N′, φ′) ≨ (N′ + Rx, τ) im Widerspruch zur Maximalität von (N′, φ′). Also ist N′ = N. □

Folgerung 5.11. Wenn R ein halbeinfacher Ring ist, dann ist jeder R-Modul projektiv und injektiv.

Beweis: Nach 5.4 ist jedes Ideal direkter Summand von R. Das folgende Diagramm zusammen mit dem Baerschen Kriterium zeigt, daß Q injektiv ist:

[figure: I; R; Q.]

Sei f : N ⟶ P surjektiv. Da Ke(f) ⊆ N ein Untermodul und injektiv ist, gibt es ein g : N ⟶ Ke(f) mit g(n) = n für alle n ∈ Ke(f). Wir definieren k : P ⟶ N durch k(p) = n − g(n) für ein n ∈ N mit f(n) = p. Ist auch f(n′) = p, dann ist f(n − n′) = 0, also n − n′ ∈ Ke(f) und g(n − n′) = n − n′. Es folgt n − g(n) = n′ − g(n′). Daher ist k eine wohldefinierte Abbildung. Weiter ist fk(p) = f(n − g(n)) = f(n) − fg(n) = p − 0, also fk = 1_{P}. Um zu zeigen, daß k ein Homomorphismus ist, sei f(n) = p, f(n′) = p′. Dann gilt f(rn + r′n′) = rp + r′p′. Es folgt k(rp + r′p′) = rn + r′n′ − g(rn + r′n′) = r(n − g(n)) + r′(n′ − g(n′)) = rk(p) + r′k(p′). Das zeigt, daß P projektiv ist. □

Lemma 5.12. Sei 0 ⟶ M ⟶^{f} N ⟶^{g} P ⟶ 0 eine kurze exakte Folge. M und P sind genau dann artinsch, wenn N artinsch ist. Insbesondere ist mit M, N auch M ⊕ N artinsch.

Beweis: Sei N artinsch. Trivialerweise ist M artinsch. Wenn {L_{i}} eine Menge von Untermoduln von P ist, dann ist {g^{−1}(L_{i})} eine Menge von Untermoduln von N. Sei g^{−1}(L_{0}) minimal in dieser Menge. Wegen gg^{−1}(L_{i}) = L_{i} ist dann auch L_{0} minimal in {L_{i}}. Seien M und P artinsch. Sei {L_{i}} eine Menge von Untermoduln von N. Sei L_{0} so gewählt, daß g(L_{0}) minimal in der Menge {g(L_{i})} ist. Sei L so gewählt, daß f^{−1}(L) minimal in der Menge {f^{−1}(L_{j})|L_{j} ∈ {L_{i}} und g(L_{j}) = g(L_{0})} ist. Wir zeigen, daß L minimal in {L_{i}} ist. Sei L′ ∈ {L_{i}} mit L ⊇ L′. Dann ist g(L_{0}) = g(L) ⊇ g(L′), also g(L′) = g(L_{0}). Weiter ist f^{−1}(L) ⊇ f^{−1}(L′), also L = L′. □

Lemma 5.13. Seien R_{1}, …, R_{n} halbeinfache Ringe. Dann ist auch R_{1} × … × R_{n} ein halbeinfacher Ring.

Beweis: (nur für den Fall R_{1} × R_{2}) Nach Lemma 5.12 ist R_{1} × R_{2} artinsch. Sei I ⊆ R nilpotent. Wegen I^{n} = 0 gilt für jedes a ∈ I die Gleichung (Ra)^{n} = 0. Da a = (a_{1}, a_{2}), folgt 0 = (Ra)^{n} = (R_{1}a_{1}, R_{2}a_{2})^{n}. Also sind R_{1}a_{1} = 0 und R_{2}a_{2} = 0, d.h. Ra = 0 und damit I = 0. □

Lemma 5.14. Jeder echte Untermodul N eines endlich erzeugten Moduls M ist in einem maximalen Untermodul von M enthalten. Insbesondere besitzt M einen einfachen Faktormodul.

Beweis: Sei N ⫋ M ein echter Untermodul von M. Sei M die Menge der Untermoduln U mit N ⊆ U ⫋ M. M ist geordnet durch Inklusion. Sei (U_{i}) eine Kette in M und U′ := ∪U_{i}. Dann ist U′ wieder ein Untermodul und N ⫅ U′. Wenn U′ = M ist, dann liegen alle Erzeugenden m_{1}, …, m_{t} ∈ U′, also gibt es einen Modul U_{i} mit m_{1}, …, m_{t} ∈ U_{i}. Damit ist aber U_{i} = M.

Das kann nicht sein. Daher ist U′ ≠ M und damit in M. Weiter ist U′ obere Schranke von (U_{i}). Nach dem Lemma von Zorn gibt es also einen maximalen Untermodul von M (in M), der N umfaßt. □

Lemma 5.15. (1) Ist X ⊆ _{ℤ}ℚ eine Erzeugendenmenge von ℚ über ℤ und x ∈ X, so ist

auch X \ {x} eine Erzeugendenmenge von ℚ.

(2) _{ℤ}ℚ besitzt keine maximalen Untermoduln.

Beweis: 1. Sei B = ⟨X \{x}⟩. Es gilt ℚ = ℤx+B. Es gibt ein y ∈ ℚ mit 2y = x. Wir stellen y dar als y = nx+b mit n ∈ ℤ, b ∈ B. Es folgt x = 2y = 2nx+2b und daher (1−2n)x = 2b ∈ B. Es gibt weiter ein z ∈ ℚ mit (1 − 2n)z = x, da offenbar 1 − 2n ≠ 0. Wir stellen z dar als z = mx + b′. Es folgt x = (1 − 2n)z = (1 − 2n)mx + (1 − 2n)b′ = 2mb + (1 − 2n)b′ ∈ B. Damit ist B = ℚ und x kann aus der Erzeugendenmenge fortgelassen werden.

2. Sei N ⊆ ℚ ein maximaler Untermodul und x ∈ ℚ\N. Dann ist N ∪{x} Erzeugendenmenge von ℚ, also auch N. Widerspruch. □

Lemma 5.16. Sei _{R}M ein Modul, in dem jeder Untermodul ein direkter Summand ist. Dann enthält jeder Untermodul 0 ≠ N ⊆ M einen einfachen Untermodul. Weiter ist M Summe von einfachen Untermoduln.

Beweis: Sei x ∈ N, x ≠ 0. Es genügt zu zeigen, daß Rx einen einfachen Untermodul besitzt. Da Rx endlich erzeugt ist, besitzt Rx einen maximalen Untermodul L. Da L direkter Summand von M ist, gibt es f : M ⟶ L mit (L ⟶ Rx ⟶ M ⟶^{f} L) = 1_{L}, also ist L ⊕ I = Rx, wobei I = Ke(Rx ⟶ M ⟶ L). Wenn 0 ≠ J ⊆ I, dann ist L ⫋ L + J ⫋ Rx im Widerspruch dazu, daß L maximal in Rx ist. Also ist I einfach mit I ⊆ Rx ⊆ N. Sei N = ∑ I_{j} Summe aller einfachen Untermoduln von M. Dann ist M = N ⊕ K. Wenn K ≠ 0 ist, dann enthält K einen einfachen Untermodul I und es gilt I ⊆ N ∩K. Widerspruch. Also ist K = 0 und M = ∑ I_{j}. □

Lemma 5.17. Sei _{R}M Summe von einfachen Untermoduln: M = ∑_{j∈X} I_{j}. Sei N ⊆ M ein Untermodul. Dann gibt es eine Menge Y ⊆ X mit M = N ⊕ ⨁_{j∈Y} I_{j} und eine Menge Z ⊆ X mit N ≅ ⨁_{j∈Z} I_{j}. Insbesondere ist jeder Untermodul N von M direkte Summe von einfachen Untermoduln.

Beweis: Sei S = {Z ⊆ X|N +(∑_{j∈Z} I_{j}) = N ⊕(⨁_{j∈Z} I_{j})}. Die Menge S ist durch Inklusion geordnet und nicht leer, denn ∅ ∈ S. Sei (Z_{i}) eine Kette in S. Dann ist Z′ := ∪Z_{i} ∈ S. Um das zu zeigen sei n+∑_{j∈Z′} a_{j} = 0. Dann sind höchstens endlich viele a_{j} ∈ I_{j} ungleich 0. Also gibt es ein Z_{i} aus der Kette mit j ∈ Z_{i} für alle a_{j} ≠ 0 aus der Summe. Wegen N+(∑_{j∈Z_{i}} I_{j}) = N ⊕ (⨁_{j∈Z_{i}} I_{j}) sind dann aber n = 0 = a_{j} für alle j ∈ Z′. Nach dem Lemma von Zorn gibt es ein maximales Element Z′′ ∈ S, und es gilt P := N + (∑_{j∈Z′′} I_{j}) = N ⊕ (⨁_{j∈Z′′} I_{j}). Sei I_{k} einfach mit k ∈ X \ Z′′. Wenn P + I_{k} = P ⊕ I_{k}, dann ist N + (∑_{j∈Z′′} I_{j}) + I_{k} = N ⊕ (⨁_{j∈Z′′} I_{j}) ⊕ I_{R} im Widerspruch zur Maximalität von Z′′. Also ist 0 ≠ P ∩ I_{k} ⊆ I_{k}, also I_{k} ⊆ P. Daraus folgt P = N + ∑_{j∈X} I_{j} = M. Wir wenden nun die erste Aussage auf ⨁_{j∈Y} I_{j} an und erhalten N ⊕ (⨁_{j∈Y} I_{j}) = M = (⨁_{j∈Y} I_{j}) ⊕ (⨁_{j∈Z} I_{j}). Es folgt N ≅ M/(⨁_{j∈Y} I_{j}) ≅ ⨁_{j∈Z} I_{j}. □

Satz 5.18. (Struktursatz für halbeinfache Moduln): Für _{R}M sind äquivalent:

(1) Jeder Untermodul von M ist Summe von einfachen Untermoduln.

(2) M ist Summe von einfachen Untermoduln.

(3) M ist direkte Summe von einfachen Untermoduln.

(4) Jeder Untermodul von M ist direkter Summand.

Beweis: 1. ⟹ 2.: klar.

2. ⟹ 3.: Lemma 5.17.

3. ⟹ 1.: Lemma 5.17.

2. ⟹ 4.: Lemma 5.17.

4. ⟹ 2.: Lemma 5.16. □ Definition 5.19. Ein Modul _{R}M heißt halbeinfach, wenn er eine der äquivalenten Bedingungen aus Satz 5.18 erfüllt. Folgerung 5.20. (1) Jeder Untermodul eines halbeinfachen Moduls ist halbeinfach.

(2) Jeder Faktor- (Restklassen-) Modul eines halbeinfachen Moduls ist halbeinfach.

(3) Jede Summe von halbeinfachen Moduln ist halbeinfach. Beweis: 1. klar.

2. Sei N ⊆ M. Dann gilt M ≅ N ⊕ M/N, insbesondere ist M/N isomorph zu einem Untermodul von M.

3. klar. □ Bemerkung 5.21. Mit dem Begriff des halbeinfachen Moduls haben wir eine besonders gute Verallgemeinerung des Begriffes eines Vektorraumes gefunden. Wesentliche Sätze der linearen Algebra sind in Satz 5.18 verallgemeinert worden. Die einfachen Moduln über einem Körper sind genau die eindimensionalen Vektorräume. Die Bedingung 2. von Satz 5.18 ist trivialerweise erfüllt, denn jeder Vektorraum ist Summe von einfachen (eindimensionalen) Vektorräumen, man bilde einfach V = ∑_{v∈V \{0}} Kv oder aber V = ∑_{v∈E} Kv für eine beliebige Erzeugendenmenge E von V. Daher ist jeder Vektorraum V halbeinfach. Daher gilt die Bedingung 3. Sie besagt dann, daß in jeder Erzeugendenmenge E eine Basis existiert. 4. ist die wichtige Feststellung, daß jeder Unterraum ein direktes Komplement besitzt. Lemma 5.17 enthält darüber hinaus Aussagen über die Dimension von Vektorräumen, Unterräumen und Restklassenräumen. Satz 5.22. (Wedderburn) Äquivalent sind für R:

(1) _{R}R ist halbeinfach (als Ring).

(2) Jeder R-Modul ist projektiv.

(3) Jeder R-Modul ist injektiv.

(4) Jeder R-Modul ist halbeinfach.

(5) _{R}R ist halbeinfach (als R-Modul).

(6) R ist direkte Summe von einfachen Linksidealen.

(7) R ≅ R_{1} × … × R_{n} mit einfachen Ringen R_{i} (i = 1, …, n).

(8) R ≅ B_{1}⊕…⊕B_{n}, wobei die B_{i} minimale zweiseitige Ideale sind, und _{R}R ist artinsch.

(9) R_{R} ist halbeinfach (als Ring). Beweis: 1. ⟹ 3. : Folgerung 5.11.

3. ⟹ 4. : Satz 5.18.4. und Satz 5.10.3.

4. ⟹ 5. : Spezialisierung.

5. ⟹ 6. : Satz 5.18.3.

6. ⟹ 3. : Satz 5.18.4. und 5.11.

6. ⟹ 2. : Satz 5.18.4. und 5.11.

2. ⟹ 4. : Sei N ⊆ M Untermodul. Dann ist M/N projektiv, und es gibt f : M/N ⟶ M mit (M/N ⟶ M ⟶ M/N) = id oder (M ⟶ M/N ⟶ M) = p mit p^{2} = p. Also ist M = Ke(p) ⊕ Bi(p) und Ke(p) = N.

6. ⟹ 8. : Sei R = I_{11} ⊕ … ⊕ I_{1i_{1}} ⊕ I_{21} ⊕ … ⊕ I_{2i_{2}} ⊕ … ⊕ I_{n1} ⊕ … ⊕ I_{ni_{n}} direkte Summe von einfachen Idealen, endlich viele, weil R endlich erzeugt ist, und seien I_{ij} ≅ I_{ik} für alle i, j, k und I_{i1} ≅ I̸_{j1} für i ≠ j. Seien B_{k} := ⨁_{j=1}^{i_{k}} I_{kj}.

Sei I ⊆ R einfach. Sei p_{k} : R ⟶ B_{k} die Projektion auf B_{k} bzgl. R = B_{1} ⊕ … ⊕ B_{n}. Es gibt mindestens ein k mit p_{k}(I) ≠ 0. Dann ist I ≅ p_{k}(I) = J ⊆ B_{k} ein einfaches Ideal. Wegen 5.17 gilt I ⊕ (⨁_{j=r+1}^{m} I_{kj}) = B_{k} = I_{k1} ⊕ … ⊕ I_{kr} ⊕ (⨁_{j=r+1}^{m} I_{kj}) bei geeigneter Numerierung. Also ist J ≅ I_{k1} ⊕ … ⊕ I_{kr} und daher r = 1 und I ≅ J ≅ I_{k1}. Damit gibt es genau ein k mit p_{k}(I) ≠ 0. Insbesondere gilt dann I ⊆ B_{k}. Ist f : _{R}R ⟶ _{R}R mit f(I) ≠ 0 gegeben, so ist f(I) ≅ I einfach und f(I) ⊆ B_{k} für ein K. Daher gilt f(B_{k}) ⊆ B_{k} für alle f ∈ Hom_{R}(.R, .R) ≅ R, und es ist B_{k} ein zweiseitiges Ideal. Man beachte, daß B_{i}B_{j} ⊆ B_{i} ∩ B_{j} = 0 gilt. Für 1 ∈ R = B_{1} ⊕ … ⊕ B_{n} sei 1 = e_{1} + … + e_{n} mit e_{i} ∈ B_{i}. Für b ∈ B_{i} gilt e_{i}b = (e_{1} + … + e_{n})(0 + … + b + … + 0) = b = be_{i}. Daher kann man B_{i} als Ring mit Einselement e_{i} auffassen. (B_{i} ist kein Unterring von R, sondern ein Restklassenring von R.) Wegen B_{i}B_{j} = 0 ist L ⊆ B_{i} ein (einseitiges bzw. zweiseitiges) B_{i}-Ideal von B_{i} genau dann, wenn L ein R-Ideal ist. Da B_{i} = I_{1} ⊕ … ⊕ I_{n} direkte Summe von einfachen R-Idealen bzw. B_{i}-Idealen ist, und da I_{j} ≅ I_{k} gilt, ist B_{i} nach 5.7 ein einfacher Ring. Insbesondere besitzt B_{i} keine zweiseitigen nicht-trivialen Ideale, d.h. die zweiseitigen Ideale B_{i} ⊆ R sind minimal. Mit 5.12 zeigt man, daß R artinsch ist.

8. ⟹ 7.: Wegen B_{i}B_{j} ⊆ B_{i} ∩ B_{j} = 0 sind die B_{i} wie zuvor einfache Ringe, also ist R = R_{1} × … × R_{n} mit R_{i} = B_{i}, weil Addition und Multiplikation in den B_{i} (komponentenweise) verlaufen.

7. ⟹ 1.: Lemma 5.12.

7. ⟹ 9.: Damit die Bedingung 7. symmetrisch in den Seiten ist, genügt es zu zeigen, daß ein einfacher Ring R rechts-artinsch ist. Aber R ≅ M_{n}(D) ≅ Hom_{D}(V^{∗}., V.^{∗}) ist links- und rechts-artinsch. □

6. Noethersche Moduln

Definition 6.1. Ein Modul _{F} M heißt noethersch (Emmy Noether 1882-1935), wenn jede nichtleere Menge von Untermoduln von M ein maximales Element besitzt.

Satz 6.2. Äquivalent sind _{R}M:

(1) M ist noethersch.

(2) Jede aufsteigende Kette M_{i} ⊆ M_{i+1}, i ∈ ℕ von Untermoduln von M wird stationär, d.h. es gibt ein n ∈ ℕ mit M_{n} = M_{n+i} für alle i ∈ ℕ.

(3) Jeder Untermodul von M ist endlich erzeugt.

Beweis: 2. ⟹ 1.: Sei M eine nichtleere Menge von Untermoduln ohne maximales Element. Mit dem Auswahlaxiom wählen wir zu jedem N ∈ M ein N′ ∈ M mit N ⫋ N′. Für N ∈ M haben wir dann eine aufsteigende Kette M_{1} = N, M_{i+1} = M′_{i} mit M_{1} ⫋ M_{2} ⫋ … ⫋ M_{i} ⫋ M_{i+1} ⫋ . . .. Das ist nach 2. nicht möglich.

1. ⟹ 3.: Sei M′ ⊆ M. Dann hat {N|N ⊆ M′, N endlich erzeugt } ≠ ∅ ein maximales Element N′. Wenn N′ ≠ M′, dann gibt es ein m ∈ M′ \ N′. Es ist N′ + Rm ⊆ M′ endlich erzeugt und N′ ⫋ N′ + Rm im Widerspruch zur Maximalität von N′. Also gilt N′ = M′, d.h. M′ ist endlich erzeugt.

3. ⟹ 2.: Sei M_{1} ⊆ M_{2} ⊆ … ⊆ M_{n} ⊆ … ⊆ M eine aufsteigende Kette von Untermoduln von M. Sei N := ⋃_{i∈ℕ} M_{i}. N ist endlich erzeugter Untermodul von M, d.h. N = Ra_{1}+…+Ra_{n}. Dann gibt es ein M_{r} mit a_{1}, …, a_{n} ∈ M_{r}. Daraus folgt M_{r} = N = M_{r+i} für alle i ∈ ℕ, d.h. die Kette wird stationär. □

Lemma 6.3. Sei 0 ⟶ M ⟶^{f} N ⟶^{g} P ⟶ 0 eine kurze exakte Folge. M und P sind genau dann noethersch, wenn N noethersch ist. Insbesondere ist mit M, N auch M ⊕N noethersch.

Beweis: Sei N noethersch. Trivialerweise ist M noethersch. Wenn {L_{i}} eine Menge von Untermoduln von P ist, dann ist {g^{−1}(L_{i})} eine Menge von Untermoduln von N. Sei g^{−1}(L_{0}) maximal in dieser Menge. Wegen gg^{−1}(L_{i}) = L_{i} ist dann auch L_{0} maximal in {L_{i}}. Seien M und P noethersch. Sei {L_{i}} eine Menge von Untermoduln von N. Sei L_{0} so gewählt, daß g(L_{0}) maximal in der Menge {g(L_{i})} ist. Sei L so gewählt, daß f^{−1}(L) maximal in der Menge {f^{−1}(L_{j})|L_{j} ∈ {L_{i}} und g(L_{j}) = g(L_{0})} ist. Wir zeigen, daß L maximal in {L_{i}} ist. Sei L′ ∈ {L_{i}} mit L ⊆ L′. Dann ist g(L_{0}) = g(L) ⊆ g(L′), also g(L′) = g(L_{0}). Weiter ist f^{−1}(L) ⊆ f^{−1}(L′), also L = L′. □

Folgerung 6.4. _{R}R noethersch als Linksmodul genau dann, wenn alle endlich erzeugten R-Linksmoduln noethersch sind.

Beweis: ⟸: klar. ⟹: Wenn M endlich erzeugt ist, dann gibt es eine kurze exakte Folge 0 ⟶ K ⟶ R⊕…⊕R ⟶ M ⟶ 0. Da R noethersch ist, ist auch R ⊕ … ⊕ R noethersch, also auch M. □

Satz 6.5. (Hilbertscher Basissatz) Wenn R links-noethersch ist, dann ist auch R[x] linksnoethersch.

Beweis: Sei J ⊆ R[x] ein Ideal. Wir müssen zeigen, daß J endlich erzeugt ist. Sei J_{0} := {r ∈ R|∃p(x) ∈ J mit höchstem Koeffizienten r}. (Der höchste Koeffizient des Null-Polynoms ist 0.) J_{0} ⊆ R ist ein Ideal, also gilt J_{0} = ⟨r_{1}, …, r_{n}⟩. Seien p_{i}(x) ∈ J zu den r_{i} mit höchstem Koeffizienten r_{i} gewählt. Sei m ≥ grad(p_{i}(x)) für i = 1, …, n. Sei g ∈ J mit grad(g) ≥ m. Dann ist g = sx^{t} + ∑_{i≤t} s_{i}x^{i}. Da s ∈ J_{0}, gilt s = ∑_{j=1}^{n} λ_{j}r_{j}. Es folgt g_{1} := g − ∑_{j=1}^{n} λ_{j}p_{j}(x)x^{t−grad(p_{j}(x))} ∈ J und grad(g_{1}) ≤ t − 1. Durch Induktion ist g = g_{0} + \overline{g} mit g_{0} ∈ ∑_{j=1}^{n} R[x]p_{j}(x) und grad(\overline{g}) < m. Es folgt \overline{g} ∈ J ∩ (R + Rx + … + Rx^{m−1}) ⊆ R + Rx + … + Rx^{m−1}. Beide R-Moduln sind endlich erzeugt, also ist \overline{g} = ∑_{i=1}^{k} μ_{i}q_{i}(X) mit ⟨q_{1}(x), …, q_{k}(x)⟩ = J ∩(R+Rx+…+Rx^{m−1}). Damit ist {p_{1}(x), …, p_{n}(x), q_{1}(x), …, q_{k}(x)} eine Erzeugendenmenge von J. □

Folgerung 6.6. Sei R ein kommutativer noetherscher Ring und sei S eine kommutative R-Algebra. Sei S als R-Algebra endlich erzeugt (d.h. es gibt s_{1}, …, s_{n}, so daß für alle s ∈ S Darstellungen s = ∑ r_{i_{1},...,i_{n}}s_{1}^{i_{1}} … s_{n}^{i_{n}} existieren). Dann ist S noethersch.

Beweis: 1. Durch Induktion ist R[x_{1}, …, x_{n}] noethersch.

2. Es gibt einen Epimorphismus R[x_{1}, …, x_{n}] ⟶ S. Damit ist S ein noetherscher R[x_{1}, …, x_{n}]-Modul, also auch ein noetherscher S-Modul. □

Satz 6.7. Sei N ⊆ M und M endlich erzeugt. Sei R kommutativ oder M noethersch. Sei f : N ⟶ M ein Epimorphismus. Dann ist f ein Isomorphismus.

Beweis. : 1. Sei M noethersch. Wir konstruieren eine aufsteigende Folge K_{0} ⊆ K_{1} ⊆ K_{2} ⊆ … durch K_{0} := Ke(f) = f^{−1}(0), K_{i} := f^{−1}(K_{i−1}). Wegen K_{i−2} ⊆ K_{i−1} ist K_{i−1} = f^{−1}(K_{i−2}) ⊆ f^{−1}(K_{i−1}) = K_{i}. Da M noethersch ist, wird die Kette stationär K_{n} = K_{n+1} = . . .. Sei x_{0} ∈ K_{0}. Dann gibt es x_{1} ∈ K_{1} mit f(x_{1}) = x_{0}, da f ein Epimorphismus ist. Also existieren x_{0}, x_{1}, x_{2}, … mit f(x_{i}) = x_{i−1} und f^{n+1}(x_{n+1}) = f^{n}(x_{n}) = … = f(x_{1}) = x_{0}. Da x_{n+1} ∈ K_{n}, ist f(x_{n+1}) ∈ K_{n−1} und damit f^{n}(x_{n+1}) ∈ K_{0} und x_{0} = f^{n+1}(x_{n+1}) = 0. Damit ist f ein Monomorphismus.

2. Sei R kommutativ. Sei M = Ry_{1} + … + Ry_{n}. Seien x_{i} ∈ N_{i} mit f(x_{i}) = y_{i}. Sei x_{0} ∈ N mit f(x_{0}) = 0. Dann gibt es Koeffizienten r_{ij} ∈ R mit x_{i} = ∑_{j=1}^{n} r_{ij}y_{j}, i = 0, …, n. Wir betrachten R′ := ℤ[r_{ij}] ⊆ R, den von den r_{ij} erzeugten Unterring von R. Da ℤ noethersch und R′ endlich erzeugt als ℤ-Algebra sind, ist R′ noethersch. Sei M′ := ∑ R′y_{i} und N′ = ∑ R′x_{i}. Dann ist N′ ⊆ M′ ein R′-Untermodul, M′ ist als R′-Modul endlich erzeugt, also noethersch, und f(x_{i}) = y_{i}, f(x_{0}) = 0 erzeugen einen R′-Homomorphismus f′ : N′ ⟶ M′. Da f′ surjektiv ist, ist f′ injektiv und daher x_{0} = 0. Damit ist f injektiv. □

Folgerung 6.8. Sei R kommutativ oder _{R}M noethersch. Sei M = Ry_{1} + … + Ry_{m}. Sei N ⊆ M ein freier Untermodul mit den freien Erzeugenden x_{1}, …, x_{n}. Dann ist n ≤ m. Ist n = m, so ist M frei über y_{1}, …, y_{m}.

Beweis: Da N frei ist, gibt es einen Homomorphismus f : N ⟶ M mit f(x_{i}) = y_{i} für i = 1, …, min(m, n) und f(x_{i}) = 0 sonst. Ist n ≥ m, so ist f surjektiv, also bijektiv, also folgt n ≤ m. Ist n = m, so ist f bijektiv und M frei mit den Erzeugenden y_{1}, …, y_{n}. □

Folgerung 6.9. Sei R kommutativ oder noethersch. Sei M frei über x_{1}, …, x_{n} und frei über y_{1}, …, y_{m}. Dann ist m = n.

Beweis: Wenn R noethersch ist, dann ist M ebenfalls noethersch. Dann folgt die Aussage aus 6.8. □

Definition 6.10. Sei R kommutativ oder noethersch. Der Rang eines endlich erzeugten freien Moduls _{R}M ist die nach 6.9 eindeutig bestimmte Anzahl der freien Erzeugenden.

Beispiel 6.11. Der Endomorphismenring eines abzählbar unendlichdimensionalen Vektorraumes ist weder rechts noch links noethersch.

Beweis: Aus ap + bq = 1, pa = 1, qb = 1, pb = 0, qa = 0 folgt wie in der Präsenzübung RR = _{R}Rp ⊕_{R}Rq frei und R_{R} = aR_{R} ⊕ bR_{R} frei. □

Definition 6.12. Ein Element r ∈ R in einem Ring R heißt Links-Einheit (Rechts-Einheit), Wenn rR = R (Rr = R) gilt. r ∈ R heißt Einheit, wenn Rr = R = rR gilt.

Lemma 6.13. Wenn r ∈ R eine Einheit ist, dann gibt es genau ein s ∈ R mit sr = 1. Weiter gilt rs = 1.

Beweis: Sei sr = s′r = 1 und sei rt = 1. Dann gilt s = s1 = srt = 1t = t und analog s′ = t. □

Folgerung 6.14. In jedem links-noetherschen Ring R ist jede Rechtseinheit x ∈ R (d.h. Rx = R) auch Links-Einheit und umgekehrt.

Beweis: Sei Rx = R. Dann ist ·x : R ⟶ R ein Epimorphismus, also ein Isomorphismus. Also gibt es einen inversen Isomorphismus g : R ⟶ R mit g ∈ Hom_{R}(.R, .R) ≅ R, also g = ·y. Es folgt 1 · x · y = 1 und 1 · y · x = 1, d.h. x^{−1} = y. Wenn xR = R gilt, dann gibt es ein y ∈ R mit xy = 1. Es folgt Ry = R, also gibt es wie zuvor ein z ∈ R mit zy = yz = 1 und x = x · 1 = xyz = 1 · z = z. □

7. Radikal und Sockel

Definition 7.1. (1) N ⊆ M heißt groß (essential, wesentlich) genau dann, wenn gilt

∀U ⊆ M : N ∩ U = 0 ⟹ U = 0.

(2) N ⊆ M heißt klein (superfluous, überflüssig) genau dann, wenn gilt

∀U ⊆ M : N + U = M ⟹ U = M.

Lemma 7.2. Seien N ⊆ M ⊆ P, U ⊆ P Untermoduln. Dann gilt das modulare Gesetz:

N + (U ∩ M) = (N + U) ∩ M.

Beweis: ⊆: Aus n + u ∈ N + U mit n ∈ N und u ∈ U ∩ M ⊆ M folgt n + u ∈ M, also n + u ∈ (N + U) ∩ M. ⊇: Aus n + u = m ∈ (N + U) ∩ M folgt u = m − n ∈ M ∩ U, also n + u ∈ N + (U ∩ M). □

Lemma 7.3. (1) Seien N ⊆ N′ ⊆ M′ ⊆ M Untermoduln und sei N groß in M. Dann

ist N′ groß in M′.

(2) Seien N ⊆ N′ ⊆ M′ ⊆ M Untermoduln und sei N′ klein in M′. Dann ist N klein in M.

(3) Seien N, N′ ⊆ M große Untermoduln in M. Dann ist N ∩ N′ groß in M.

(4) Seien N, N′ ⊆ M kleine Untermoduln in M. Dann ist N + N′ klein in M.

Beweis: 1. Sei U ⊆ M′ mit N′ ∩ U = 0. Dann ist N ∩ U = 0, also U = 0.

2. Sei U ⊆ M mit N + U = M. Dann ist N + (U ∩ M′) = (N + U) ∩ M′ = M ∩ M′ = M′, also ist U ∩ M′ = M′ und damit M′ ⊆ U. Es folgt N ⊆ U und N + U = M, also U = M.

3. Sei (N ∩ N′) ∩ U = 0. Dann ist N ∩ (N′ ∩ U) = 0, also N′ ∩ U = 0 und damit U = 0.

4. Sei (N + N′) + U = M. Dann ist N + (N′ + U) = M, also N′ + U = M und damit U = M. □

Lemma 7.4. Seien N, U ⊆ M Untermoduln.

(1) Wenn N maximal bzgl. der Bedingung N ∩U = 0 ist, dann ist N +U ⊆ M ein großer Untermodul.

(2) Wenn N minimal bzgl. der Bedingung N + U = M ist, dann ist N ∩ U ⊆ M ein kleiner Untermodul.

(3) Es gibt einen Untermodul N, der maximal bzgl. N ∩ U = 0 ist.

Beweis: 1. Sei V ⊆ M mit (N+U)∩V = 0. Dann ist N∩U = 0. Sei n+v = u ∈ (N+V)∩U. Es folgt v = u − n ∈ (N + U) ∩ V = 0, also ist n = u ∈ N ∩ U = 0 und damit (N + V) ∩ U = 0. Daher ist N + V = N, weil N maximal bzgl. N ∩ U = 0 ist. Daraus folgt V ⊆ N, also V ⊆ (N + U) ∩ V = 0 und V = 0. Damit ist N + U ⊆ M groß.

2. Sei V ⊆ M mit (N ∩U)+V = M. Dann ist N +U = M. Sei m ∈ M mit m = n+u ∈ N +U. Sei weiter n = n′ + v mit n′ ∈ N ∩ U und v ∈ V (weil n ∈ M). Es folgt v ∈ V ∩ N und m = (n′+u)+v ∈ U +(V ∩N) und daher (N ∩V)+U = M. Da N minimal bzgl. N +U = M ist, ist N = N ∩ V, also N ⊆ V. Daraus und aus (N ∩ U) + V = M folgt V = M. Damit ist N ∩ U ⊆ M klein.

3. Die Menge V := {V ⊆ M|V ∩ U = 0} ist induktiv geordnet, denn sei (V_{i})_{i∈I} eine Kette in V und sei x ∈ (∪V_{i}) ∩ U. Dann gibt es ein i ∈ I mit x ∈ V_{i} ∩ U, also ist x = 0. Damit ist ∪V_{i} in V obere Schranke der V_{i}. Folglich gibt es einen Untermodul N von M, der maximal ist bzgl. N ∩ U = 0. □

Lemma 7.5. N ⊆ M ist genau dann groß, wenn gilt

∀m ∈ M \ {0} ∃r ∈ R : rm ∈ N \ {0}.

Beweis: N ⊆ M groß ⟺ [∀U ⊆ M : N ∩ U = 0 ⟹ U = 0] ⟺ [∀U ⊆ M : U ≠ 0 ⟹

N ∩ U ≠ 0] ⟺^{(∗)} [∀Rm ⊆ M : Rm ≠ 0 ⟹ N ∩ Rm ≠ 0] ⟺ [∀m ∈ M \ {0} ∃r ∈ R :

rm ∈ N \ {0}]. Lediglich eine Richtung von (∗) benötigt eine zusätzliche Überlegung. Wenn U ≠ 0 und die rechte Seite von (∗) gelten, so existiert ein m ∈ U mit Rm ≠ 0. Also ist 0 ≠ N ∩ Rm ⊆ N ∩ U. □

Lemma 7.6. Sei Rm ⊆ M nicht klein. Dann existiert ein Untermodul N ⊆ M, der ein maximaler Untermodul ist und der m nicht enthält.

Beweis: Die Menge S := {U ⫋ M|Rm + U = M} ist nicht leer, weil Rm nicht klein in M ist. S ist induktiv geordnet. Sei nämlich (U_{i}|i ∈ I) eine Kette in S. Dann gilt m ∉ U_{i} für alle i ∈ I. Also ist ∪U_{i} ⫋ M und offenbar Rm + (∪U_{i}) = M. Daher gibt es ein maximales Element N in S. Sei N ⫋ N′ ⊆ M. Dann ist N′ + Rm = M. Da aber N′ ∉ S, ist N′ = M, also ist N ein maximaler Untermodul. Offenbar ist m ∉ N. □

Definition 7.7. (1) Radikal(M) = Rad(M) := ∩{U ⫋ M|U maximaler Untermodul}, (2) Sockel(M) = Soc(M) := ∑{U ⊆ M|U einfacher Untermodul}.

Satz 7.8. (1) Rad(M) = ∑{V ⊆ M klein}; (2) Soc(M) = ∩{V ⊆ M groß}.

Beweis: 1. ⊇: Sei V ⊆ M klein. Für alle maximalen Untermoduln U ⊆ M gilt U ⊆ U + V ⫋ M, weil V klein und U ≠ M ist. Es folgt U = U + V und V ⊆ U. Daher ist V ⊆ ∩U und damit ∑ V ⊆ ∩U. ⊆: Wenn Rm nicht klein in M ist, dann gibt es nach 7.6 einen maximalen Untermodul N in M mit m ∉ N. Also ist m ∉ ∩U = Rad(M) ⊆ N. Wenn also m ∈ Rad(M) gilt, dann ist Rm klein in M. Damit ist m ∈ ∑{V ⊆ M klein}.

2. ⊆: Sei V groß in M und U einfach. Dann gilt V ∩ U ≠ 0, also V ∩ U = U und damit U ⊆ V. Es folgt ∑ U ⊆ ∩V. ⊇: Wir zeigen zunächst, daß jeder Untermodul von ∩V_{i} direkter Summand von ∩V_{i} ist. Sei N ⊆ ∩V_{i} gegeben. Sei X maximal in M mit N ∩ X = 0 (Lemma 7.4.3.). Dann ist N + X = V ⊆ M groß nach Lemma 7.4.1. Es folgt N + (X ∩ (∩V_{i})) = (N + X) ∩ (∩V_{i}) (Lemma 7.2) = V ∩ (∩V_{i}) = ∩V_{i} und N ∩ (X ∩ (∩V_{i})) = 0. Damit ist N ⊕ (X ∩ (∩V_{i})) = ∩V_{i}. Aus Satz 5.16 folgt, daß ∩V_{i} Summe von einfachen Untermoduln von ∩V_{i} ist. Also ist ∩V_{i} enthalten in der Summe der einfachen Untermoduln von M, d.h. dem Sockel von M. □

Bemerkung 7.9. Ein Modul M ist genau dann halbeinfach, wenn er mit seinem Sockel übereinstimmt.

Folgerung 7.10. m ∈ Rad(M) ⟺ Rm ⊆ M klein.

Beweis: ⟸: nach Satz 7.8. ⟹: wurde im Beweis von Satz 7.8 explizit festgehalten. □

Folgerung 7.11. Jeder endlich erzeugte Untermodul von Rad(M) ist klein in M.

Beweis: Nach 7.10 sind Rm_{1}, …, Rm_{n} ⊆ M klein, wenn m_{1}, …, m_{n} ∈ Rad(M). Nach 7.3.4 ist dann ∑_{i=1}^{n} Rm_{i} in M klein. □

Satz 7.12. Sei M endlich erzeugt. Dann ist Rad(M) klein in M.

Beweis: Da M endlich erzeugt ist, ist jeder echte Untermodul von M in einem maximalen Untermodul enthalten (5.14). Sei N ⫋ M und U maximaler Untermodul mit N ⊆ U ⫋ M. Dann ist Rad(M) ⊆ U also Rad(M) + N ⊆ U ⫋ M. Daher ist Rad(M) klein in M. □

Satz 7.13. Sei f ∈ Hom_{R}(M, N). Dann gelten (1) f(Rad(M)) ⊆ Rad(N).

(2) f(Soc(M)) ⊆ Soc(N).

Beweis: 1. Sei U ⊆ M klein. Sei V ⊆ N mit f(U) + V = N. Es folgt f^{−1}(f(U) + V) = f^{−1}(N) = M = U +f^{−1}(V), denn aus f(x) = f(u)+v folgt f(x−u) = v, x−u ∈ f^{−1}(V) und daher x ∈ U + f^{−1}(V), also f^{−1}(f(U) + V) ⊆ U + f^{−1}(V). Da U klein ist, ist f^{−1}(V) = M. Daraus folgt f(f^{−1}(V)) = f(M) ⊆ V, also f(U) ⊆ V und damit V = N. Also ist f(U) klein in M. Wir haben somit f(Rad(M)) = ∑_{Uklein} f(U) ⊆ ∑_{V klein} V = Rad(N).

2. Sei U ⊆ M einfach. Dann ist f(U) ⊆ N einfach oder 0. Daher gilt f(∑ U_{i}) ⊆ Soc(N). □

Folgerung 7.14. Rad und Soc sind kovariante Unterfunktoren von Id : R-Mod⟶ R-Mod.

Folgerung 7.15. (1) Sei U ⊆ M klein und f ∈ Hom_{R}(M, N). Dann ist f(U) ⊆ N

klein.

(2) Sei U ⊆ N groß und f ∈ Hom_{R}(M, N). Dann ist f^{−1}(U) ⊆ M groß.

Beweis: 1. wurde in Satz 7.13.1 bewiesen.

2. Sei V ⊆ M und f^{−1}(U) ∩ V = 0. Dann ist f(f^{−1}(U) ∩ V) = 0 = ff^{−1}(U) ∩ f(V), denn wenn x ∈ ff^{−1}(U) ∩ f(V) mit x = f(v), dann ist f(v) ∈ U wegen ff^{−1}(U) ⊆ U.Es folgt v ∈ f^{−1}(U) ∩ V, also x ∈ f(f^{−1}(U) ∩ V) = 0. Daraus folgt jetzt 0 = ff^{−1}(U) ∩ f(V) = U ∩ Bi(f) ∩ f(V) = U ∩ f(V) und damit f(V) = 0, weil U groß in N ist. Also ist V ⊆ Ke(f) ⊆ f^{−1}(U) und wegen f^{−1}(U) ∩ V = 0 folgt V = 0. Daher ist f^{−1}(U) groß in M. □

Folgerung 7.16. (1) Rad(_{R}R)M ⊆ Rad(M).

(2) Soc(_{R}R)M ⊆ Soc(M).

Beweis: Sei m ∈ M. Dann ist (R ∋ r ↦ rm ∈ M) ∈ Hom_{R}(R, M). Es folgt Rad(_{R}R)m ⊆ Rad(M), Soc(_{R}R)m ⊆ Soc(M) und daraus die Behauptung. □

Folgerung 7.17. Rad(_{R}R) und Soc(_{R}R) sind zweiseitige Ideale.

Satz 7.18. Sei f ∈ Hom_{R}(M, N) und Ke(f) ⊆ Rad(M). Dann gilt

f(Rad(M)) = Rad(f(M)).

Beweis: ⊆: folgt aus 7.13. ⊇: Sei f(m) ∈ Rad(f(M)). Wenn Rm ⊆ M klein ist, dann ist m ∈ Rad(M) und f(m) ∈ f(Rad(M)). Wenn Rm ⊆ M nicht klein ist, dann gibt es nach 7.6 einen maximalen Untermodul U ⫋ M mit m ∉ U. Es gilt Rm + U = M und damit f(U) + Rf(m) = f(M). Wegen f(m) ∈ Rad(f(M)) ist Rf(m) ⊆ f(M) klein. Es folgt f(U) = f(M) und daraus U + Ke(f) = M. Aus der Voraussetzung Ke(f) ⊆ Rad(M) ⊆ U folgt U = M, Widerspruch. □

Folgerung 7.19. Sei N ⊆ M ein Untermodul. Dann gelten (1) (Rad(M) + N)/N ⊆ Rad(M/N).

(2) N ⊆ Rad(M) ⟹ Rad(M)/N = Rad(M/N).

Beweis: 1. Mit f : M ⟶ M/N gilt f(Rad(M)) ⊆ Rad(M/N) und f(Rad(M)) = (Rad(M)+ N)/N.

2. Aus N = Ke(f) ⊆ Rad(M) folgt die Behauptung. □

Folgerung 7.20. Rad(M) ist der kleinste Untermodul U ⊆ M mit Rad(M/U) = 0.

Beweis: Es ist Rad(M/ Rad(M)) = Rad(M)/ Rad(M) = 0. Wenn Rad(M/U) = 0 ist, dann folgt Rad(M) + U/U = 0 und damit Rad(M) + U = U. Also ist Rad(M) ⊆ U. □

Lemma 7.21. Wenn Soc(M) = M gilt, dann ist Rad(M) = 0.

Beweis: Wenn Soc(M) = M gilt, dann ist M halbeinfach. Also ist kein Untermodul klein und daher Rad(M) = 0. □

Lemma 7.22. Sei M artinsch. Dann gilt

Rad(M) = 0 ⟺ Soc(M) = M.

Beweis: Sei M artinsch und Rad(M) = 0. Sei U ⊆ M und N minimal mit N + U = M. Nach 7.4.2 ist N ∩ U ⊆ M klein, also N ∩ U = 0. Daher ist U direkter Summand von M, M ist halbeinfach und M = Soc(M). □

Satz 7.23. Äquivalent sind für M:

(1) M ist endlich erzeugt und halbeinfach.

(2) M ist artinsch und Rad(M) = 0.

Beweis: Es genügt zu zeigen: Wenn M halbeinfach ist, dann ist M genau dann endlich erzeugt, wenn M artinsch ist. Wenn M halbeinfach ist, dann ist M = ⊕U_{i} mit einfachen Moduln U_{i}. M ist genau dann endlich erzeugt, wenn die direkte Summe nur endlich viele Summanden hat. Ist M artinsch, so hat die direkte Summe nur endlich viele Summanden. Ist die direkte Summe endlich, so kann es nur endlich viele direkte Komplemente zu einer absteigenden Kette N_{1} ⊇ N_{2} ⊇ … in M gemäß 5.17 geben. Daher muß eine solche Kette stationär werden, d.h. M ist artinsch. □

Satz 7.24. (Lemma von Nakayama) Für _{R}I ⊆ _{R}R sind äquivalent:

(1) I ⊆ Rad(_{R}R).

(2) 1 + I besteht nur aus Rechtseinheiten.

(3) 1 + I besteht nur aus Einheiten.

(4) 1 + IR besteht nur aus Einheiten.

(5) IM = M ⟹ M = 0 für alle endlich erzeugten Moduln _{R}M.

(6) IM + U = M ⟹ U = M für alle endlich erzeugten Moduln _{R}M.

(7) IM ⊆ Rad(_{R}M) für alle endlich erzeugten Moduln _{R}M.

Beweis: 1. ⟹ 2.: Rad(R) ⊆ R ist klein. Also ist I ⊆ R klein. Aus R(1 + i) + I = R folgt also R(1 + i) = R. Damit ist 1 + i eine Rechtseinheit.

2. ⟹ 3.: Sei k(1 + i) = 1. Es folgt ki = 1 − k ∈ I und damit auch k − 1 ∈ I. Damit ist k = 1 + (k − 1) eine Rechtseinheit. Da k außerdem eine Linkseinheit ist, ist (1 + i)k = 1, also 1 + i eine Einheit.

3. ⟹ 4.: Sei i ∈ I und r ∈ R. Dann ist 1 + ri eine Einheit mit Inversem (1 + ri)^{−1}. Wegen (1 − i(1 + ri)^{−1}r)(1 + ir) = 1 + ir − i(1 + ri)^{−1}(r + rir) = 1 + ir − i(1 + ri)^{−1}(1 + ri)r = 1 + ir − ir = 1. Symmetrisch zeigt man (1 + ir)(1 − i(1 + ri)^{−1}r) = 1 Also ist 1 + ir eine Einheit. Wenn a eine Einheit ist und i ∈ I, r ∈ R sind, dann ist a+ir eine Einheit, denn a(1+a^{−1}ir) = (a + ir) ist Produkt zweier Einheiten wegen a^{−1}i ∈ I. Wenn ∑_{k=1}^{n} i_{k}r_{k} ∈ IR ist, dann ist 1 + ∑ i_{k}r_{k} eine Einheit, denn 1 + ∑ i_{k}r_{k} = (((1 + i_{1}r_{1}) + i_{2}r_{2}) … + i_{n}r_{n}) und jeder der Klammerausdrücke ist eine Einheit. 4 ⟹ 5.: Sei M endlich erzeugt und IM = M. Sei t minimale Länge eines Erzeugendensystems von M = Rm_{1} + … + Rm_{t}. Wegen IM = M läßt sich jedes Element aus M als endliche Summe der Form ∑ i′_{j}m′_{j} darstellen; die m′_{j} lassen sich als Linearkombinationen der m_{i} darstellen. Also gibt es Koeffizienten i_{k}r_{k} ∈ I mit m_{1} = ∑_{k=1}^{t} i_{k}r_{k}m_{k}. Es folgt (1 − i_{1}r_{1})m_{1} = ∑_{k=2}^{t} i_{k}r_{k}m_{k}. Da auch 1 − i_{1}r_{1} eine Einheit ist, ist m_{1} = ∑_{k=2}^{t}(1 − i_{1}r_{1})^{−1}i_{k}r_{k}m_{k} ∈ Rm_{2} + … + Rm_{t} im Widerspruch zur Minimalität von t. Also gilt M = 0.

5. ⟹ 6.: IM + U = M ⟹ I(M/U) = (IM + U)/U = M/U ⟹ M/U = 0 ⟹ M = U.

6. ⟹ 7.: IM klein in M ⟹ IM ⊆ Rad(M).

7. ⟹ 1.: M = R ⟹ IR ⊆ Rad(_{R}R). □

Folgerung 7.25. Rad(_{R}R) = Rad(R_{R}).

Beweis: Sei I = Rad(_{R}R). Dann besteht 1 + I aus Einheiten. Da I ein Rechtsideal ist, folgt I ⊆ Rad(R_{R}). Aus Symmetriegründen ist dann Rad(_{R}R) = Rad(R_{R}). □

Lemma 7.26. R linksartinsch ⟹ R/ Rad(R) halbeinfach.

Beweis: Nach 5.12 ist R/ Rad(R) artinsch. Nach 7.20 ist Rad(R/ Rad(R)) = 0 und nach 7.23 ist dann R/ Rad(R) halbeinfach. □

Lemma 7.27. R artinsch ⟹ Rad(R) nilpotent.

Beweis: Sei I := Rad(R). Da R artinsch ist, wird die Kette I ⊇ I^{2} ⊇ I^{3} ⊇ … ⊇ I^{t+1} = … stationär. Angenommen I^{t} ≠ 0. Da auch I^{t}I ≠ 0 ist, gibt es einen minimalen Modul K ⊆ I bzgl. I^{t}K ≠ 0. Also existiert x ∈ K mit I^{t}x ≠ 0, d.h. es gilt K = Rx. Wegen I^{t}K = I^{t+1}K = I^{t}(IK) ≠ 0 und IK ⊆ K folgt IK = K. Nach dem Lemma von Nakayama ist K = 0, ein Widerspruch. Also ist I^{t} = 0. □

Satz 7.28. (Hopkins) Sei _{R}R artinsch. Dann ist _{R}R noethersch.

Beweis: Sei I := Rad(R) und I^{n+1} = 0. Es ist I^{i}/I^{i+1} ein R/I-Modul und als R-Modul artinsch. Also ist I^{i}/I^{i+1} auch als R/I-Modul artinsch. R/I ist nach 7.26 halbeinfach, also ist auch I^{i}/I^{i+1} halbeinfach, d.h. I^{i}/I^{i+1} = ⊕_{k∈X}E_{k} mit einfachen R/I-Moduln E_{k}. Da I^{i}/I^{i+1} artinsch ist, ist die direkte Summe endlich, also ist auch I^{i}/I^{i+1} noethersch (als R/I-Modul und als R-Modul). Mit den exakten Folgen 0 ⟶ I^{i+1} ⟶ I^{i} ⟶ I^{i}/I^{i+1} ⟶ 0, mit I^{n+1} = 0, I^{0} = R und mit 6.3 folgt durch Induktion, daß auch R noethersch ist. □

Folgerung 7.29. Wenn _{R}I ⊆ _{R}R nilpotent ist, dann ist I ⊆ Rad(R).

Beweis: Sei I^{n} = 0 und i ∈ I. Dann ist (1 + i) · (1 − i + i^{2} − … ± i^{n+1}) = 1, also ist (1 + i) eine Einheit. Nach dem Lemma von Nakayama folgt I ⊆ Rad(R). □

Satz 7.30. _{R}M ist genau dann endlich erzeugt, wenn (1) Rad(M) ⊆ M klein ist,

(2) M/ Rad(M) endlich erzeugt ist.

Beweis: ⟹: mit 7.12 trivial. ⟸: Sei \{\overline{x}_{i} = x_{i} + Rad(M)|i = 1, …, n\} eine Erzeugendenmenge von M/ Rad(M). Dann ist M = Rx_{1} + … + Rx_{n} + Rad(M), also folgt wegen 1., daß M = Rx_{1} + … + Rx_{n}. □

Folgerung 7.31. M ist genau dann noethersch, wenn für alle Untermoduln U ⊆ M gelten: (1) Rad(U) ⊆ U ist klein.

(2) U/ Rad(U) ist endlich erzeugt

8. Lokale Ringe

Definition 8.1. Sei R ein Ring. Ein Element r ∈ R heißt Nicht-Einheit, wenn r keine Einheit ist. Das Element r heißt invertierbar, wenn r eine Links- oder eine Rechts-Einheit ist. R heißt ein lokaler Ring, wenn die Summe je zweier nicht invertierbarer Elemente eine Nicht-Einheit ist.

Lemma 8.2. Sei r ein Idempotent (r^{2} = r) in einem lokalen Ring R. Dann ist r = 0 oder r = 1.

Beweis: Es ist (1 − r)^{2} = 1 − 2r + r^{2} = 1 − r. Da 1 = (1 − r) + r eine Einheit ist, ist r oder 1 − r invertierbar. Wenn r invertierbar ist, z.B. durch sr = 1, dann ist r = sr^{2} = sr = 1. Wenn 1 − r invertierbar ist z.B. durch s(1 − r) = 1. Dann ist 1 − r = 1, also r = 0. □

Lemma 8.3. Sei R ein Ring mit den einzigen Idempotenten 0 und 1. Dann ist jedes invertierbare Element in R eine Einheit.

Beweis: Sei r invertierbar z.B. durch sr = 1. Dann ist (rs)^{2} = rsrs = rs, also rs ∈ {0, 1}. Wenn rs = 0 ist, dann ist 1 = (sr)^{2} = srsr = 0, ein Widerspruch. Also ist rs = 1, d.h. r ist eine Einheit. □

Folgerung 8.4. In einem lokalen Ring R sind alle Nicht-Einheiten nicht invertierbar.

Satz 8.5. Sei R ein lokaler Ring. Dann gelten (1) Alle Nicht-Einheiten sind nicht invertierbar und bilden ein zweiseitiges Ideal N.

(2) N ist einziges maximales (einseitiges und zweiseitiges) und größtes Ideal von R.

Beweis: 1. Sei N die Menge der Nicht-Einheiten von R. Da R lokal ist, also Nicht-Einheiten nicht invertierbar sind, ist N bzgl. der Addition abgeschlossen. Sei r ∈ N und s ∈ R. Wir zeigen, daß auch sr ∈ N gilt. Wenn nämlich sr ∉ N ist, dann ist sr eine Einheit, also gibt es ein t ∈ R mit tsr = 1. Wegen 8.3 ist damit auch r eine Einheit im Widerspruch zu r ∈ N. Damit ist N ein zweiseitiges Ideal.

2. Offenbar gilt N ⫋ R. Ist I ⫋ R und r ∈ I, so ist Rr ⫋ R, also r eine Nicht-Einheit und damit r ∈ N. Also gilt I ⊆ N. □

Satz 8.6. R ist genau dann lokal, wenn R genau ein maximales (größtes) Linksideal besitzt.

Beweis: ⟹: folgt aus 8.5. ⟸: Sei N das einzige maximale Ideal von R. Dann ist N = Rad(R) ein zweiseitiges Ideal. Sei r ∈ R \ N. Dann ist N + Rr = R. Da N = Rad(R) klein ist in R, gilt Rx = R, also existiert ein t mit tr = 1. Wenn t eine Rechts-Einheit ist, dann ist nach Lemma 6.13 auch r eine Einheit. Ist t aber keine Rechts-Einheit, dann ist Rt ≠ R, also Rt ⊆ N und damit t ∈ N. Da N zweiseitiges Ideal ist, ist auch 1 = tr ∈ N, ein Widerspruch. Also ist jedes r ∈ R \ N eine Einheit. Jede Nicht-Einheit liegt also in N. Wenn x, y Nicht-Einheiten sind, dann folgt aus x, y ∈ N auch x + y ∈ N, also ist auch x + y Nicht-Einheit und damit R lokal. □

Lemma 8.7. Sei R ein lokaler Ring mit maximalem Ideal 𝔪 ⫋ R. Sei M ein endlich erzeugter Modul. Wenn M/𝔪M = 0 ist, dann ist M = 0.

Beweis: Wegen 𝔪 = Rad(R) und 𝔪M = M folgt M = 0 nach dem Lemma von Nakayama.

□

9. Lokalisierung

Sei R in diesem Kapitel immer ein kommutativer Ring.

Wiederholung aus Algebra I: Eine Menge S mit ∅ ⫋ S ⊂ R heißt multiplikativ abgeschlossen, wenn gilt

∀s, s′ ∈ S : ss′ ∈ S und 0 ∉ S.

Auf R × S ist eine Äquivalenzrelation definiert durch

(r, s) ∼ (r′, s′) :⟺ ∃t ∈ S : tsr′ = ts′r.

R[S^{−1}] = S^{−1}R := R × S/ ∼ ist ein kommutativer Ring mit Einselement. Die Elemente werden mit

\frac{r}{s} := \overline{(r, s)}

bezeichnet. Die Abbildung

φ : R ∋ r ↦ \frac{sr}{s} ∈ R[S^{−1}]

ist ein Ringhomomorphismus. Sie ist unabhängig von der Wahl von s ∈ S. Ist R nullteilerfrei, dann ist φ injektiv.

Satz 9.1. Sei S ⊆ R eine multiplikativ abgeschlossene Menge. Sei _{R}M ein R-Modul. Dann ist die Relation

(m, s) ∼ (m′, s′) :⟺ ∃t ∈ S : tsm′ = ts′m

auf M × S eine Äquivalenzrelation. Weiter ist

S^{−1}M := M × S/ ∼ mit den Elementen \frac{m}{s} := \overline{(m, s)}

ein S^{−1}R-Modul mit den Operationen

\frac{m}{s} + \frac{m′}{s′} = \frac{s′m + sm′}{ss′} und \frac{r}{s} \frac{m}{s}′ = \frac{rm}{ss′}.

Beweis: wie in Algebra I für S^{−1}R. □

Lemma 9.2. In S^{−1}M gilt \frac{m}{s} = 0 genau dann, wenn es ein t ∈ S gibt mit tm = 0.

Beweis: (m, s) ∼ (0, s′) ⟺ ∃t′ ∈ S : t′s′m = 0 ⟺ ∃t′s′ ∈ S : t′s′m = 0. □

Lemma 9.3. (1) φ_{M} : M ∋ m ↦ \frac{sm}{s} ∈ S^{−1}M ist ein von s ∈ S unabhängiger Gruppen-

homomorphismus.

(2) φ_{M} ist genau dann injektiv, wenn S keinen Nullteiler für M enthält, d.h. sm = 0 ⟹ m = 0.

(3) φ_{M} ist genau dann bijektiv, wenn die Abbildung M ∋ m ↦ sm ∈ M für alle s ∈ S bijektiv ist.

(4) φ_{R} ist ein Ringhomomorphismus.

(5) φ_{M} : M ⟶ S^{−1}M ist φ_{R}-semilinear, d.h. φ_{M}(rm) = φ_{R}(r)φ_{M}(m).

Beweis: 1. Wegen t′(tsm − stm) = 0 ist \frac{sm}{s} = \frac{tm}{t}.

2. φ_{M}(m) = 0 ⟺ \frac{sm}{s} = 0 ⟺ ∃t ∈ S : tsm = 0 ⟺ ∃t ∈ S : tm = 0.

3. φ_{M} surjektiv ⟺ ∀\frac{m}{s} ∈ S^{−1}M ∃m′ ∈ M : \frac{sm′}{s} = \frac{m}{s} ⟺ ∀m ∈ M, s ∈ S ∃m′ ∈ M : sm′ = m ⟺ ∀s ∈ S : (s· : M ⟶ M) surjektiv.

4. + 5. φ_{M}(rm) = \frac{s^{2}rm}{s^{2}} = \frac{sr}{s} \frac{sm}{s} = φ_{R}(r)φ_{M}(m). □

Folgerung 9.4. S^{−1} : R-Mod ⟶ S^{−1}R-Mod ist ein additiver Funktor.

Beweis: Für f ∈ Hom_{R}(M, N) bilden wir S^{−1}f ∈ Hom_{S^{−1}R}(S^{−1}M, S^{−1}N) durch S^{−1}f(\frac{m}{s}) := \frac{f(m)}{s}. Um zu zeigen, daß S^{−1}f eine wohldefinierte Abbildung ist, sei (m, s) ∼ (m′, s′). Dann ist ts′m = tsm′ für ein t ∈ S und damit ts′f(m) = tsf(m′). Es folgt \frac{f(m)}{s} = \frac{f(m′)}{s′}. Mit den üblichen Regeln des Rechnens mit Brüchen weist man nach, daß S^{−1}f ein S^{−1}R-Homomorphismus ist und daß S^{−1} id_{M} = id_{S^{−1}M}, S^{−1}(fg) = S^{−1}(f)S^{−1}(g) und S^{−1}(f +g) = S^{−1}(f) + S^{−1}(g) gelten. □

Satz 9.5. Die Abbildung

α(M) : S^{−1}R ⊗_{R} M ∋ \frac{r}{s} ⊗ m ↦ \frac{rm}{s} ∈ S^{−1}M

definiert einen funktoriellen Isomorphismus

α : S^{−1}R ⊗_{R} M ≅ S^{−1}M

von Funktoren S^{−1}R ⊗_{R} -, S^{−1}- : R-Mod ⟶ S^{−1}R-Mod.

Beweis: α(M) ist eine wohldefinierte Abbildung, denn α̃(M) : S^{−1}R × M ∋ (\frac{r}{s}, m) ↦ \frac{rm}{s} ∈ S^{−1}M ist wohldefiniert: (\frac{r}{s}, m) = (\frac{r′}{s′} , m) ⟹ ∃t ∈ S : ts′r = tsr′ ⟹ ts′rm = tsr′m ⟹ \frac{rm}{s} = \frac{r′m}{s′}. Weiter ist α̃(M) offenbar in beiden Argumenten additiv. Schließlich gilt α̃(M)(\frac{r}{s}t, m) = \frac{rtm}{s} = α̃(M)(\frac{r}{s}, tm), d.h. α̃(M) ist R-bilinear.

Wir definieren eine Umkehrabbildung β(M) : S^{−1}M ∋ \frac{m}{s} ↦ \frac{t}{st} ⊗ m ∈ S^{−1}R ⊗_{R} M. Auch β(M) ist wohldefiniert, denn \frac{m}{s} = \frac{m′}{s′} ⟹ ∃t′ ∈ S : t′s′m = t′sm′ ⟹ \frac{t}{st} ⊗ m = \frac{ts′t′}{sts′t′} ⊗ m = \frac{t}{sts′t′} ⊗ s′t′m = \frac{t}{sts′t′} ⊗ st′m = \frac{tst′}{sts′t′} ⊗ m′ = \frac{t}{s′t} ⊗ m′. Es gilt βα = id, denn β(M)α(M)(\frac{r}{s} ⊗ m) = β(M)(\frac{rm}{s}) = \frac{t}{st} ⊗ rm = \frac{rt}{st} ⊗ m = \frac{r}{s} ⊗ m. Ebenso gilt αβ = id, denn α(M)β(M)(\frac{m}{s}) = α(M)(\frac{t}{st} ⊗ m) = \frac{tm}{st} = \frac{m}{s}. α ist ein S^{−1}R-Homomorphismus, denn α(M)(\frac{r′}{s′} \frac{r}{s} ⊗ m) = α(M)(\frac{r′r}{s′s} ⊗ m) = \frac{r′rm}{s′s} = \frac{r′}{s′} \frac{rm}{s} = \frac{r′}{s′} α(M)(\frac{r}{s} ⊗ m). α ist ein funktorieller Homomorphismus. Das Diagramm

[figure: S^{−1}R ⊗_{R} N; S^{−1}N; α(N); S^{−1}R ⊗_{R} M; S^{−1}M; α(M); S^{−1}R ⊗_{R} f; S^{−1}f]

kommutiert nämlich, denn es gilt S^{−1}f ∘ α(M)(\frac{r}{s} ⊗ m) = S^{−1}f(\frac{rm}{s}) = \frac{f(rm)}{s} = \frac{rf(m)}{s} = α(N)(\frac{r}{s} ⊗ f(m)) = α(N) ∘ S^{−1}R ⊗_{R} f(\frac{r}{s} ⊗ m). □

Definition 9.6. Ein additiver Funktor T : R-Mod ⟶ S-Mod heißt exakt, wenn für jede exakte Folge

… ⟶ M_{i−1} ⟶^{f_{i−1}} M_{i} ⟶^{f_{i}} M_{i+1} ⟶ …

auch die Folge

… ⟶ T (M_{i−1}) ⟶^{T (f_{i−1})} T (M_{i}) ⟶^{T (f_{i})} T (M_{i+1}) ⟶ …

exakt ist.

Lemma 9.7. Sei P ∈ Mod-R. Dann erhält der Funktor P ⊗_{R} - : R-Mod ⟶ Ab exakte Folgen der Form

M_{1} ⟶ M_{2} ⟶ M_{3} ⟶ 0,

d.h. die Folgen

P ⊗_{R} M_{1} ⟶ P ⊗_{R} M_{2} ⟶ P ⊗_{R} M_{3} ⟶ 0

sind exakt. (Der Funktor P ⊗_{R} - ist rechtsexakt.)

Beweis: Sei

M_{1} ⟶^{f} M_{2} ⟶^{g} M_{3} ⟶ 0

exakt. Dazu ist äquivalent g surjektiv, gf = 0 und Ke(g) ⊆ Bi(f). Die Abbildung P ⊗_{R} g ist surjektiv, denn ∑ p_{i} ⊗ m_{i3} = ∑ p_{i} ⊗ g(m_{i2}) für beliebige m_{i3} ∈ M_{3} und geeignete m_{i2} ∈ M_{2}. Weiter ist (P ⊗_{R} g)(P ⊗_{R} f) = P ⊗_{R} gf = 0. Es bleibt zu zeigen Ke(P ⊗_{R} g) ⊆ Bi(P ⊗_{R} f). Da Bi(P ⊗_{R} f) ⊆ Ke(P ⊗_{R} g), erhalten wir nach dem Homomorphiesatz einen Homomorphismus

ψ : (P ⊗_{R} M_{2})/ Bi(P ⊗_{R} f) ⟶ P ⊗_{R} M_{3}

mit ψ(\overline{p ⊗ m_{2}}) = p ⊗ g(m_{2}). Weiter definierten wir einen Homomorphismus

φ : P ⊗_{R} M_{3} ⟶ (P ⊗_{R} M_{2})/ Bi(P ⊗_{R} f)

mit φ(p ⊗ m_{3}) := \overline{p ⊗ m_{2}} für ein m_{2} ∈ M_{2} mit g(m_{2}) = m_{3}. Dazu definieren wir zunächst φ̃ : P × M_{3} ⟶ P ⊗_{R} M_{2}/ Bi(P ⊗_{R} f) durch φ̃(p, m_{3}) := \overline{p ⊗ m_{2}} für ein m_{2} ∈ M_{2} mit g(m_{2}) = m_{3}. Wenn auch g(m′_{2}) = m_{3} gilt, dann ist g(m_{2} −m′_{2}) = 0, also gibt es ein m_{1} ∈ M_{1} mit m_{2} −m′_{2} = f(m_{1}). Es folgt \overline{p ⊗ m_{2}} = \overline{p ⊗ (m′_{2} + f(m_{1}))} = \overline{p ⊗ m′_{2}} +\overline{p ⊗ f(m_{1})} = \overline{p ⊗ m′_{2}}, d.h. φ̃ ist wohldefiniert. Man rechnet leicht nach, daß φ̃ R-bilinear ist und damit φ ein wohldefinierter Homomorphismus ist. Es gilt jetzt φψ = id und ψφ = id wegen φψ(\overline{p ⊗ m_{2}}) = φ(p ⊗ g(m_{2})) = \overline{p ⊗ m_{2}} und ψφ(p ⊗ m_{3}) = ψ(\overline{p ⊗ m_{2}}) = p ⊗ g(m_{2}) = p ⊗ m_{3}. Also folgt Ke(P ⊗_{R} g) = Ke(φ(P ⊗_{R} g)) = Ke(ν : P ⊗_{R} M_{2} ⟶ P ⊗_{R} M_{2}/ Bi(P ⊗_{R} f)) = Bi(P ⊗_{R} f). Damit ist P ⊗_{R} M_{1} ⟶ P ⊗_{R} M_{2} ⟶ P ⊗_{R} M_{3} ⟶ 0 exakt. □

Definition 9.8. Ein Modul P_{R} heißt R-flach, wenn P ⊗_{R} - ein exakter Funktor ist.

Satz 9.9. Ein Modul P_{R} ist genau dann flach, wenn P ⊗_{R} - Monomorphismen erhält, d.h. wenn für jeden Monomorphismus f : M ⟶ N auch P ⊗_{R} f : P ⊗_{R} M ⟶ P ⊗_{R} N ein Monomorphismus ist.

Beweis: Wenn P_{R} flach ist und wenn f : M ⟶ N ein Monomorphismus ist, dann ist 0 ⟶ M ⟶^{f} N exakt. Folglich ist 0 ⟶ P ⊗_{R} M ⟶^{P ⊗_{R}f} P ⊗_{R} N exakt und damit P ⊗_{R} f : P ⊗_{R} M ⟶ P ⊗_{R} N ein Monomorphismus. Angenommen P ⊗_{R} - erhält Monomorphismen und die Folge

… ⟶ M_{i−1} ⟶^{f_{i−1}} M_{i} ⟶^{f_{i}} M_{i+1} ⟶ …

ist exakt. Dann sind die Folgen

0 ⟶ Bi(f_{i−1}) ⟶ M_{i} ⟶ Bi(f_{i}) ⟶ 0

exakt. Da P ⊗_{R} - Monomorphismen erhält, sind die Folgen

0 ⟶ P ⊗_{R} Bi(f_{i−1}) ⟶ P ⊗_{R} M_{i} ⟶ P ⊗_{R} Bi(f_{i}) ⟶ 0

exakt. Die kanonische Abbildung P ⊗_{R} Bi(f) ⟶ Bi(P ⊗_{R} f) ist surjektiv, denn jedes Element ∑ p_{i} ⊗ f(m_{i}) ∈ Bi(P ⊗_{R} f) ist im Bild dieser Abbildung. Man beachte jedoch, daß diese Abbildung im allgemeinen nicht injektiv ist. Die Abbildungen Bi(f) ⟶ N und damit auch P ⊗_{R} Bi(f) ⟶ P ⊗_{R} N sind jedoch nach Voraussetzung injektiv, also ist P ⊗_{R} Bi(f) ⟶ Bi(P ⊗_{R} f) injektiv und damit bijektiv. Aus dem Isomorphismus P ⊗_{R} Bi(f) ≅ Bi(P ⊗_{R} f) folgt damit die Exaktheit von

0 ⟶ Bi(P ⊗_{R} f_{i−1}) ⟶ P ⊗_{R} M_{i} ⟶ Bi(P ⊗_{R} f_{i}) ⟶ 0.

Also ist auch die Folge

… ⟶ P ⊗_{R} M_{i−1} ⟶^{P ⊗_{R}f_{i−1}} P ⊗_{R} M_{i} ⟶^{P ⊗_{R}f_{i}} P ⊗_{R} M_{i+1} ⟶ …

exakt □

Satz 9.10. S^{−1}R ist ein flacher R-Modul.

Beweis: Sei f : M ⟶ N ein Monomorphismus und sei S^{−1}f(\frac{m}{s}) = 0 = \frac{f(m)}{s}. Dann gibt es ein t ∈ S mit tf(m) = 0 = f(tm), also mit tm = 0. Dann ist aber auch \frac{m}{s} = 0, also S^{−1}f ein Monomorphismus. □

Wiederholung aus Algebra I:

(1) Ein Ideal 𝔭 ⊆ R heißt ein Primideal genau dann, wenn 𝔭 ≠ R und (rs ∈ 𝔭 ⟹ r ∈ 𝔭 ∨ s ∈ 𝔭).

(2) Ist 𝔪 ⊆ R ein maximales Ideal, so ist 𝔪 ein Primideal.

(3) 𝔭 ∈ R ist genau dann ein Primideal, wenn der Restklassenriung R/𝔭 ein Integritätsring ist.

Lemma 9.11. Sei 𝔭 ⊆ R ein Ideal. Äquivalent sind (1) 𝔭 ist ein Primideal.

(2) R \ 𝔭 ist eine multiplikativ abgeschlossene Menge.

Beweis: folgt unmittelbar aus der Definition. □

Definition 9.12. Seien 𝔭 ⊆ R ein Primideal und M ein R-Modul. Dann heißt M_{𝔭} := S^{−1}M mit S = R \ 𝔭 die Lokalisierung des Moduls M bei 𝔭. Die Menge Spec(R) := {𝔭 ⊆ R|𝔭 Primideal} heißt Spektrum der Ringes R. Die Menge Specm(R) := {𝔪 ⊆ R|𝔪 maximales Ideal} heißt Maximal-Spektrum der Ringes R.

Satz 9.13. Sei M ein R-Modul, so daß M_{𝔪} = 0 für alle 𝔪 ∈ Spec(R) gilt. Dann ist M = 0.

Beweis: Angenommen, es gibt ein m ∈ M mit m ≠ 0. Dann ist I := Ke(R ∋ r ↦ rm ∈ M) ⫋ R ein Ideal. Weil R endlich erzeugt ist, gibt es ein maximales Ideal 𝔪 mit I ⊆ 𝔪 ⫋ R. Da M_{𝔪} = 0, ist \frac{m}{s} = 0 in M_{𝔪}, also gibt es ein t ∈ R \ 𝔪 mit tm = 0. Damit gilt aber t ∈ I ⊆ 𝔪, ein Widerspruch. □

Folgerung 9.14. Sei f : M ⟶ N gegeben. Äquivalent sind (1) f ist ein Mono- (Epi- bzw. Iso-) Morphismus.

(2) Für alle 𝔪 ∈ Spec(R) ist f_{𝔪} ein Mono- (Epi- bzw. Iso-) Morphismus.

Beweis: 1. ⟹ 2.: gilt nach 9.10 und 9.5.

2. ⟹ 1.: Die Folge 0 ⟶ Ke(f) ⟶ M ⟶^{f} N ⟶ Kok(f) ⟶ 0 ist exakt. Folglich ist auch

0 ⟶ Ke(f)_{𝔪} ⟶ M_{𝔪} ⟶^{f_{𝔪}} N_{𝔪} ⟶ Kok(f)_{𝔪} ⟶ 0

exakt. Insbesondere gilt damit Ke(f)_{𝔪} ≅ Ke(f_{𝔪}) und Kok(f)_{𝔪} ≅ Kok(f_{𝔪}). Ist nun f_{𝔪} ein Monomorphismus für alle 𝔪 ∈ Specm(R), so gilt Ke(f)_{𝔪} = 0 für alle 𝔪, also Ke(f) = 0 und damit f Monomorphismus. Analog argumentiert man für Epimorphismen mit Kok(f). Zusammengenommen geben diese beiden Ergebnisse die Behauptung für Isomorphismen. □

Satz 9.15. Sei R ein kommutativer Ring und 𝔭 ⊆ R ein Primideal. Dann ist R_{𝔭} ein lokaler Ring.

Beweis: Da 0 ⟶ 𝔭 ⟶ R ⟶ R/𝔭 ⟶ 0 exakt ist und R/𝔭 ≠ 0 ist, ist 0 ⟶ 𝔭_{𝔭} ⟶ R_{𝔭} ⟶ (R/𝔭)_{𝔭} ⟶ 0 exakt und (R/𝔭)_{𝔭} ≠ 0. Also ist 𝔭_{𝔭} ⫋ R_{𝔭} ein echtes Ideal. Wenn \frac{r}{s} ∉ 𝔭_{𝔭}, dann ist r ∉ 𝔭 und s ∉ 𝔭, also ist \frac{s}{r} \frac{r}{s} = 1 und damit \frac{r}{s} eine Einheit. Daher bilden die Nicht-Einheiten von R_{𝔭} ein Ideal 𝔭_{𝔭}, d.h. R_{𝔭} ist lokal und 𝔭_{𝔭} ist das maximale Ideal. □

Folgerung 9.16. Sei 𝔭 ⊆ R ein Primideal. Dann ist der Quotientenkörper Q(R/𝔭) isomorph zu R_{𝔭}/𝔭_{𝔭}.

Beweis: Wie im vorhergehenden Beweis ist (R/𝔭)_{𝔭} ≅ R_{𝔭}/𝔭_{𝔭}. Weiter ist R_{𝔭}/𝔭_{𝔭} ein Körper, weil 𝔭_{𝔭} das maximale Ideal von R_{𝔭} ist. Weiter ist

(R/𝔭)_{𝔭} = S^{−1}(R/𝔭) = \{\frac{\overline{r}}{s}|\overline{r} ∈ R/𝔭, s ∉ 𝔭\} ≅ \{\frac{\overline{r}}{\overline{s}}|\overline{r} ∈ R/𝔭, \overline{s} ∈ R/𝔭, \overline{s} ≠ 0\} = Q(R/𝔭).

□

Satz 9.17. Sei _{R}M ein endlich erzeugter Modul. Sei M/𝔪M = 0 für alle maximalen Ideale 𝔪 ⊆ R. Dann ist M = 0.

Beweis: M/𝔪M ≅ R/𝔪 ⊗_{R} M ≅ R_{𝔪}/𝔪_{𝔪} ⊗_{R_{𝔪}} R_{𝔪} ⊗_{R} M ≅ M_{𝔪}/𝔪_{𝔪}M_{𝔪}. Da R_{𝔪} lokal ist und M_{𝔪} endlich erzeugt ist, folgt M_{𝔪} = 0 für alle maximalen Ideale 𝔪 ⊆ R. Also ist M = 0. □

Folgerung 9.18. Sei f : M ⟶ N ein R-Homomorphismus und sei N endlich erzeugt. Sei f/𝔪f : M/𝔪M ⟶ N/𝔪N ein Epimorphismus für alle maximalen Ideale 𝔪 ⊆ R. Dann ist f ein Epimorphismus.

Beweis: Es ist M ⟶^{f} N ⟶ Q ⟶ 0 exakt und damit Q endlich erzeugt. Wir wenden den Funktor R/𝔪 ⊗_{R} - an und erhalten die exakte Folge M/𝔪M ⟶ N/𝔪N ⟶ Q/𝔪Q ⟶ 0 exakt. Da f/𝔪f ein Epimorphismus ist, ist Q/𝔪Q = 0, also Q = 0. Damit ist f ein Epimorphismus. □

Präsenzübungen zur Algebra II 47

10. Präsenzübungen zur Algebra II

I. Allgemeine Modultheorie. (1) Sei R ein Ring. Dann ist _{R}R ein R-Links-Modul.

(2) Sei M eine abelsche Gruppe und End(M) der Endomorphismenring von M. Dann ist M ein End(M)-Modul.

(3) {(¯1, ¯0), (¯0, ¯1)} ist eine Erzeugendenmenge für den ℤ-Modul ℤ/(2) × ℤ/(3).

(4) {(¯1, ¯1)} ist eine Erzeugendenmenge für den ℤ-Modul ℤ/(2) × ℤ/(3).

(5) _{ℤ}ℤ/(n) besitzt als Modul keine Basis, d.h. dieser Modul ist nicht frei.

(6) Sei V = ⨁_{i=0}^{∞} Kb_{i} ein abzählbar unendlich dimensionaler Vektorraum über dem Körper K. Seien p, q, a, b ∈ Hom(V, V) definiert durch

p(b_{i}) := b_{2i},
q(b_{i}) := b_{2i+1},
a(b_{i}) := \begin{cases}b_{i/2}, & wenn i gerade ist, und \\ 0, & wenn i ungerade ist. \end{cases}
b(b_{i}) := \begin{cases}b_{i−1/2}, & wenn i ungerade ist, und \\ 0, & wenn i gerade ist. \end{cases}

Zeige pa + qb = id_{V}, ap = bq = id, aq = bp = 0.

Zeige, daß für R = End_{K}(V) gilt _{R}R = Ra ⊕ Rb und R_{R} = pR ⊕ qR.

(7) Sind {(0, …, a, …, 0)|a ∈ K_{n}} und {(a, 0, …, 0)|a ∈ K_{n}} isomorph als M_{n}(K)- Moduln?

(8) Zu jedem Modul P gibt es einen Modul Q mit P ⊕ Q ≅ Q.

(9) Welche der folgenden Aussagen ist wahr?

(a) P_{1} ⊕ Q = P_{2} ⊕ Q ⟹ P_{1} = P_{2}?

(b) P_{1} ⊕ Q = P_{2} ⊕ Q ⟹ P_{1} ≅ P_{2}?

(c) P_{1} ⊕ Q ≅ P_{2} ⊕ Q ⟹ P_{1} ≅ P_{2}?

(10) ℤ/(2) ⊕ ℤ/(6) ⊕ ℤ/(6) ⊕ … ≅ ℤ/(6) ⊕ ℤ/(6) ⊕ ℤ/(6) ⊕ . . ..

(11) ℤ/(2) ⊕ ℤ/(4) ⊕ ℤ/(4) ⊕ … ≅ ℤ̸/(4) ⊕ ℤ/(4) ⊕ ℤ/(4) ⊕ . . ..

(12) Man finde zwei abelsche Gruppen P und Q, so daß P isomorph zu einer Untergruppe von Q ist und Q isomorph zu einer Untergruppe von P ist und P ≅ Q̸ gilt.

II. Tensorprodukte

(1) In ℂ ⊗_{ℂ} ℂ gilt 1 ⊗ i − i ⊗ 1 = 0.

In ℂ ⊗_{ℝ} ℂ gilt 1 ⊗ i − i ⊗ 1 ≠ 0.

(2) Für jeden R-Modul gilt R ⊗_{R} M ≅ M.

(3) Sei der ℚ-Vektorraum V = ℚ^{n} gegeben.

(a) Bestimme dim_{ℝ}(ℝ ⊗_{ℚ} V).

(b) Gib explizit einen Isomorphismus ℝ ⊗_{ℚ} V ≅ ℝ^{n} an.

(4) Sei V ein ℚ-Vektorraum und W ein ℝ-Vektorraum.

(a) Hom_{ℝ}(.ℝ_{ℚ}, .W) ≅ W in ℚ-Mod.

(b) Hom_{ℚ}(.V, .W) ≅ Hom_{ℝ}(.ℝ ⊗_{ℚ} V, .W).

(c) Sei dim_{ℚ}V < ∞ und dim_{ℝ}W < ∞. Wie kann man verstehen, daß in 4b links unendliche Matrizen und rechts endliche Matrizen stehen?

48 Algebra II – Pareigis

(d) Hom_{ℚ}(.V, Hom_{ℝ}(.ℝ, .W) ≅ Hom_{ℝ}(.ℝ ⊗_{ℚ} V, .W).

(5) ℤ/(18) ⊗_{ℤ} ℤ/(30) ≠ 0.

(6) m : ℤ/(18) ⊗_{ℤ} ℤ/(30) ∋ \overline{x} ⊗ \overline{y} ↦ \overline{xy} ∈ ℤ/(6) ist ein Homomorphismus und m ist bijektiv.

(7) Für ℚ-Vektorräume V und W gilt V ⊗_{ℤ} W ≅ V ⊗_{ℚ} W.

(8) Für jede endliche abelsche Gruppe M gilt ℚ ⊗_{ℤ} M = 0.

(9) ℤ/(m) ⊗_{ℤ} ℤ/(n) ≅ ℤ/(ggT(m, n)).

(10) ℚ ⊗_{ℤ} ℤ/(n) = 0.

(11) Hom_{ℤ}(ℚ, ℤ/(n)) = 0.

(12) Gib explizit Isomorphismen an für

\begin{matrix}ℤ ⊗_{ℤ} ℚ ≅ ℚ, \\ 3ℤ ⊗_{ℤ} ℚ ≅ ℚ. \end{matrix}

Zeige, daß das Diagramm kommutiert:

[figure: ℚ; ℚ; 3·; 3ℤ ⊗_{ℤ} ℚ; ℤ ⊗_{ℤ} ℚ; ≅; ≅]

(13) Der Homomorphismus 2ℤ⊗_{Z} ℤ/(2) ⟶ ℤ⊗_{ℤ}ℤ/(2) ist der Nullhomomorphismus,

beide Moduln sind aber von Null verschieden. III. Projektive Moduln

(1) Bestimme die Dual-Basis von ℝ^{2} im Sinne der Vorlesung.

(2) Zeige, daß die Spur eines Homomorphismus f : V ⟶ V gegeben ist durch

End_{K}(V) ≅ V ⊗ V^{∗} ⟶^{ev} K.

(3) Bestimme die Dual-Basis von _{R×S}R × 0 ⊆ R × S.

(4) K_{n} ist ein projektiver M_{n}(K)-Modul.

(5) Sei R := K × K mit einem Körper K.

(a) Zeige: P := {(a, 0)|a ∈ K} ist ein endlich erzeugter projektiver R-Modul.

(b) Sind die R-Moduln P und Q := {(0, a)|a ∈ K} isomorph?

(c) Man finde eine Dual-Basis für P.

(6) Zeige für R := M_{n}(K), daß P = K_{n} endlich erzeugt projektiv ist, und finde eine Dual-Basis.

(7) Zu jedem projektiven Modul P gibt es einen freien Modul F mit P ⊕ F ≅ F. IV. Kategorien und Funktoren

(1) In R-Mod gilt:

f : M ⟶ N Monomorphismus ⟺ f injektiver Homomorphismus.

(2) (a) Wenn f : M ⟶ N surjektiv ist, dann ist Hom_{R}(f, P) : Hom_{R}(N, P)

⟶ Hom_{R}(M, P) injektiv.

(b) ℤ ⟶ ℤ/(n) induziert eine injektive Abbildung

Hom_{ℤ}(ℤ/(n), M) ⟶ Hom_{ℤ}(ℤ.M) ≅ M. Warum kann man Hom_{ℤ}(ℤ/(n), M) mit {x ∈ M|nx = 0} ⊆ M identifizieren?

Präsenzübungen zur Algebra II 49

(c) T_{n}(M) := {x ∈ M|nx = 0} ist ein Funktor Ab ⟶ Ab.

(d) Die Einbettung T_{n}(M) ⟶ M ist ein funktorieller Homomorphismus.

(3) In R-Mod gilt:

f : M ⟶ N Epimorphismus ⟺ f surjektiv.

(4) Wenn F ein kovarianter darstellbarer Funktor ist und f : M ⟶ N ein Monomorphismus ist, dann ist F(f) : F(M) ⟶ F(N) ebenfalls ein Monomorphismus.

(5) Der Funktor F : M ↦ ℤ/(n) ⊗_{ℤ} M ist nicht darstellbar.

(6) Der Funktor F : V ↦ ℚ^{n} ⊗_{ℚ} V ist darstellbar.

(7) Der Funktor T_{n} : Ab ⟶ Ab mit T_{n}(M) := {x ∈ M|nx = 0} ist darstellbar.

(8) Jeder additive Funktor F : R-Mod ⟶ S-Mod erhält endliche direkte Summen,

d.h. F (M ⊕ N) ≅ F (M) ⊕ F (N). V. Morita-Äquivalenz

(1) Zeige, daß (K × K)-Mod nicht äquivalent zu K-Mod ist.

(2) Sei K ein Körper, B := M_{n}(K), _{K}P_{B} := K^{n} die Menge der Zeilenvektoren, _{B}Q_{K} die Menge der Spaltenvektoren. Finde f : P ⊗_{B} Q ⟶ K und g : Q ⊗_{K} P ⟶ B, so daß (K, B, P, Q, f, g) einen Morita- Kontext bildet. Ist dieser Morita-Kontext strikt?

(3) Zeige ℝ-Mod ≅ ℂ̸-Mod.

(4) Bestimme das Bild der Abbildungen f und g im kanonischen Morita-Kontext

(A, B, P, Q, f, g) für (a) A := ℤ/(6) und P := ℤ/(2),

(b) A := ℤ/(4) und P := ℤ/(4) ⊕ ℤ/(2),

(c) A := ℤ/(6) und P := ℤ/(6) ⊕ ℤ/(2).

VI. Halbeinfache Moduln (1) Finde alle einfachen Moduln über K, ℤ, K[x].

(2) Finde alle einfachen Moduln über ℂ[x], M_{2}(K), ℚ[x]/(x^{2}).

(3) Finde alle einfachen Moduln über

( \begin{matrix}K & K \\ 0 & K \end{matrix} ) .

(4) Stelle End_{K[x]}(K[x]/(x) ⊕ K[x]/(x − 1)) als Ring von Matrizen dar. VII. Radikal und Sockel

(1) Radikal und Sockel endlich erzeugter abelscher Gruppen. Bestimme (a) Rad(_{ℤ}ℤ/(p)), Soc(_{ℤ}ℤ/(p)).

(b) Rad(ℤ/(p^{n})), Soc(ℤ/(p^{n})).

(c) Rad(ℤ/(p^{n}) ⊕ ℤ/(p^{m})), Soc(ℤ/(p^{n}) ⊕ ℤ/(p^{m})).

(d) Für welche n ∈ ℕ ist Rad(_{ℤ}ℤ/(n)) = 0?

(2) Bestimme Radikal und Sockel der abelschen Gruppen (a) ℤ,

(b) ℚ,

(c) ℚ/ℤ.

VIII. Lokale Ringe (1) Sei R ein lokaler Ring. Dann ist R/𝔪 ein Schiefkörper.

50 Algebra II – Pareigis

(2) Der Ring der formalen Potenzreihen K[[x]] ist ein lokaler Ring.

(3) Der Polynomring K[x] ist kein lokaler Ring. IX. Lokalisierung

(1) S := 2ℤ \ {0} ist multiplikativ abgeschlossen. S^{−1}ℤ ⫋ ℚ.

(2) (a) Wenn S ⊆ T multiplikativ abgeschlossene Mengen sind, dann wird dadurch

ein Homomorphismus ψ : S^{−1}M ⟶ T^{−1}M induziert.

(b) Finde eine hinreichende Bedingung dafür, daß ψ injektiv ist.

(c) Für S := ℤ \ (p) und T := ℤ \ {0} beschreibe man den Homomorphismus ψ.

(d) Für S ⊂ T zeige man S^{−1}T^{−1}M = T^{−1}S^{−1}M = T^{−1}M.

(e) Wenn S, T multiplikativ abgeschlossen sind, dann ist auch S ∩ T multiplikativ abgeschlossen. Wie drückt sich das für (S ∩ T)^{−1}M aus?

(f) Sei T := (ℤ \ (2)) ∩ (ℤ \ (3)). Bestimme T^{−1}ℤ.

(g) Ist ℤ/(6) ⟶ T^{−1}(ℤ/(6)) injektiv? surjektiv?