Mathematisches Institut SS 2004 der Universität München Blatt 4 Prof. Dr. B. Pareigis

Kategorientheorie

13. (a) Sei f : A ⟶ B ein Morphismus in der Kategorie C. Zeigen Sie, dass Mor_{C}(f, -) mit

Mor_{C}(f, -)_{C} = Mor_{C}(f, C) : Mor_{C}(B, C) ∋ g ↦ g ∘ f ∈ Mor_{C}(A, C)

eine natürliche Transformation von kovarianten Funktoren ist.

(b) Sei f : A ⟶ B ein Morphismus in der Kategorie C. Zeigen Sie, dass Mor_{C}(-, f)

mit

Mor_{C}(C, f) : Mor_{C}(C, A) ∋ g ↦ f ∘ g ∈ Mor_{C}(C, B)

eine natürliche Transformation von kontravarianten Funktoren ist.

14. Für einen K-Vektorraum V definieren wir den Dualraum als V^{∗} := Mor_{K}(V, K). Für eine lineare Abbildung f : V ⟶ W sei die duale Abbildung definiert durch

f^{∗} : W^{∗} ∋ φ ↦ φ ∘ f ∈ V^{∗}.

(a) Zeigen Sie, dass D : Vek_{ed} ⟶ Vek_{ed} mit D(V) := V^{∗} und D(f) := f^{∗} ein kontravarianter Funktor von der Kategorie der endlich dimensionalen Vektorräume in sich ist.

(b) Zeigen Sie: Es gibt keine Familie von Isomorphismen

(α_{V} : V ⟶ V^{∗}|V ∈ Ob(V ek_{ed})),

so dass die Diagramme

[figure: V; W; f; V^{∗}; W^{∗}; f^{∗}; α_{V}; α_{W}]

für alle linearen Abbildungen f : V ⟶ W kommutieren.

15. (a) Zeigen Sie, dass der universelle Potenzmengenfunktor P_{!} : Men ⟶ Men ein Funktor ist. Dabei sei P_{!}(S) = PS die Potenzmenge von S. Weiter sei für eine Abbildung f : S ⟶ T

\begin{matrix}P_{!}(f) = f_{!} : PS ⟶ PT, \\ f_{!}(A_{0}) = \{y ∈ B|f^{−1}(\{y\}) ⊆ A_{0}\}. \end{matrix}

(b) Zeigen Sie, das die Konstruktion des direkten Bildes P_{∗} : Men ⟶ Men ein Funktor ist. Dabei sei P_{∗}(S) = PS die Potenzmenge von S. Weiter sei für eine Abbildung f : S ⟶ T

\begin{matrix}P_{∗}(f) = f_{∗} : PS ⟶ PT, \\ f_{∗}(A_{0}) = \{f(x) ∈ B|x ∈ A_{0}\}. \end{matrix}

16. Sei A eine Menge und A^{∗} ihr Kleene Abschluss. Die Elemente von A^{∗} können als Listen von Elementen aus A aufgefaßt werden. Man kann den Kleene Abschluss zweimal anwenden und erhält A^{∗∗}. Ein Element von A^{∗∗} ist dann eine Liste von Listen. Die Operation des Glättens ist eine Abbildung von A^{∗∗} nach A^{∗}, die die Listen in einer Liste von Listen zusammenhängt. Z.B. ist für A = {a, b} das Element w = ((a, b), (b, b, a), (), (a)) eine Element von A^{∗∗}. Das Glätten ergibt

glätten_{A}(w) = (a, b, b, b, a, a).

Zeigen Sie, dass -^{∗} und -^{∗∗} Funktoren sind und dass das Glätten

glätten : -^{∗∗} ⟶ -^{∗}

eine natürliche Transformation ist.

Abgabe: Freitag, 21.5.2004, 15 Uhr, in der Vorlesung. Bitte geben Sie auf Ihrer Lösung Ihren Namen an.