Mathematisches Institut SS 2003 der Universität München Blatt 8 Prof. Dr. B. Pareigis

Algebra II

29. Das zwölfte Kreisteilungspolynom ist das Polynom

Φ_{12}(x) = x^{4} − x^{2} + 1 ∈ ℤ[x]

Es ist laut Vorlesung irreduzibel. Zeigen Sie, daß seine Reduktion bezüglich einer beliebigen Primzahl p, also dasselbe Polynom als Element von ℤ_{p}[x], reduzibel ist. (Hinweis: Verwenden Sie Aufgabe 24 von Blatt 6). (6)

30. Sei p eine ungerade Primzahl. Für eine ganze Zahl n, die nicht durch p teilbar ist, definieren wir das Legendre-Symbol

(\frac{n}{p}) := \begin{cases}1 : & n ≡ m^{2} (mod p) für ein m ∈ ℤ \\ −1 : & n ≢ m^{2} (mod p) für alle m ∈ ℤ \end{cases}

Ist n durch p teilbar, so sei das Legendre-Symbol (\frac{n}{p}) = 0. Zeigen Sie:

(a) (\frac{n}{p}) ≡ n^{(p−1)/2} (mod p)

(b) (\frac{−1}{p}) = (−1)^{(p−1)/2}

(Hinweis: Beachten Sie den kleinen Fermatschen Satz.) (6)

31. Sei p eine ungerade Primzahl. Zeigen Sie, daß der Kreisteilungskörper ℚ_{p} genau einen quadratischen Unterkörper, also einen Körper der Form ℚ(\sqrt{d}) für eine quadratfreie ganze Zahl d, enthält. (Hinweis: Beachten Sie Aufgabe 28 von Blatt 7. Betrachten Sie die Galoisgruppe von ℚ_{p} über ℚ.) (4)

32. Sei ζ ∈ ℂ eine primitive fünfte Einheitswurzel und

τ := ∑_{n=1}^{4} (\frac{n}{5}) ζ^{n} = ζ − ζ^{2} − ζ^{3} + ζ^{4}

Zeigen Sie:

(a) τ^{2} = 5

(b) ℚ(\sqrt{5}) ⊂ ℚ_{5}

(Hinweis: Die Definition von τ läßt sich leicht auf allgemeine Primzahlen verallgemeinern, und man kann ähnlich zeigen, daß der eindeutige quadratische Unterkörper von ℚ_{p} der Körper ℚ(\sqrt{(−1)^{(p−1)/2}p}) ist.)(4)

Abgabe: Dienstag, 10.6.2003, 11.00 Uhr, Übungskästen im 1. Stock des Mathematischen Instituts. Bitte geben Sie auf Ihrer Lösung Ihren Namen und Ihre Übungsgruppe an.