Mathematisches Institut SS 2003 der Universität München Blatt 6 Prof. Dr. B. Pareigis

Algebra II

21. Bestimmen Sie alle Untergruppen der symmetrischen Gruppe S_{4} in vier Buchstaben. Zeichnen Sie alle diese Untergruppen in ein Diagramm ein, aus dem hervorgeht, welche Untergruppen ineinander enthalten sind. Entscheiden Sie von jeder Untergruppe, ob sie als Galoisgruppe eines irreduziblen separablen Polynoms vom Grad 4 auftreten kann oder nicht. (Hinweis: Beachten Sie Aufgabe 23 von Blatt 6 der Vorlesung ”Algebra I“.) (6)

22. Seien u_{1}, u_{2}, u_{3}, u_{4} die Nullstellen eines irreduziblen separablen Polynoms vom Grad 4 in seinem Zerfällungskörper. Seien

α := u_{1}u_{2} + u_{3}u_{4} β := u_{1}u_{3} + u_{2}u_{4} γ := u_{1}u_{4} + u_{2}u_{3}

die Nullstellen der kubischen Resolvente. Zeigen Sie für ein Element σ der Galoisgruppe des Polynoms, daß σ genau dann in der Kleinschen Vierergruppe enthalten ist, wenn

σ(α) = α σ(β) = β σ(γ) = γ

gilt. (Hinweis: Machen Sie sich zunächst klar, daß jedes von Eins verschiedene Element von S_{4} entweder eine Transposition, ein Produkt von zwei disjunkten Transpositionen, ein 3-Zykel oder ein 4-Zykel ist. Die Aussage wurde in Lemma 11.12 der Vorlesung teilweise gezeigt.) (4)

23. Zeigen Sie:

(a) Die Galoisgruppe des Polynoms p_{1}(x) := x^{4} + x + 1 ∈ ℚ[x] ist isomorph zu S_{4}.

(b) Die Galoisgruppe des Polynoms p_{2}(x) := x^{4} + 8x + 12 ∈ ℚ[x] ist isomorph zu A_{4}.

(c) Die Galoisgruppe des Polynoms p_{3}(x) := x^{4} + 1 ∈ ℚ[x] ist isomorph zur Kleinschen Vierergruppe. (4)

24. Sei K ein endlicher Körper mit d Elementen, und char(K) sei kein Teiler von n. Man zeige:

(a) [K_{n} : K] = ord(d̄) in der Gruppe (ℤ/(n))^{∗}.

(b) Genau dann ist Φ_{n} ∈ K[X] irreduzibel, wenn d̄ ein erzeugendes Element der Gruppe (ℤ/(n))^{∗} ist. (6)

Abgabe: Dienstag, 27.5.2003, 11.00 Uhr, Übungskästen im 1. Stock des Mathematischen Instituts. Bitte geben Sie auf Ihrer Lösung Ihren Namen und Ihre Übungsgruppe an.