Mathematisches Institut SS 2003 der Universität München Blatt 5 Prof. Dr. B. Pareigis

Algebra II

17. Sei G eine endliche Gruppe, N ein Normalteiler von G und P eine p-Sylowuntergruppe von N. Zeigen Sie, daß G = NN_{G}(P) ist. (4)

18. Sei ℕ die Menge der natürlichen Zahlen, die mit 1 beginnt. Die Möbiusfunktion μ : ℕ → ℤ ist folgendermaßen definiert: Ist n = p_{1} · p_{2} · . . . · p_{k} die Primfaktorzerlegung von n, so ist

μ(n) = \begin{cases}(−1)^{k} & : p_{1}, p_{2}, …, p_{k} sind alle verschieden \\ 0 & : p_{1}, p_{2}, …, p_{k} sind nicht alle verschieden \end{cases}

Zeigen Sie:

(a) Die Möbiusfunktion ist multiplikativ, d. h. wir haben μ(1) = 1 und μ(mn) = μ(m)μ(n), wenn m und n teilerfremd sind.

(b) Ist A eine abelsche Gruppe und sind (a_{n})_{n∈ℕ} und (b_{n})_{n∈ℕ} zwei Folgen von Elementen aus A mit der Eigenschaft, daß

b_{n} = ∑_{\begin{matrix}m=1 \\ m/n \end{matrix}}^{n} a_{m}

ist, so gilt

a_{n} = ∑_{\begin{matrix}m=1 \\ m/n \end{matrix}}^{n} μ(n/m)b_{m}

(4)

19. Sei Φ_{n} das n-te Kreisteilungspolynom über ℚ und μ die Möbiusfunktion. Leiten Sie folgende Formeln her:

(a) Φ_{n}(t) = ∏_{m/n}(t^{m} − 1)^{μ(n/m)} (b) Sei n = p_{1}^{e_{1}} ·p_{2}^{e_{2}} ·. . .·p_{k}^{e_{k}} die Primfaktorzerlegung von n ∈ ℕ, wobei

p_{1}, p_{2}, …, p_{k} verschieden sind. Setze m := p_{1} · p_{2} · . . . · p_{k}. Zeigen Sie, daß Φ_{n}(t) = Φ_{m}(t^{n/m}) gilt.

(c) Der konstante Term des Kreisteilungspolynoms ist

Φ_{n}(0) = \begin{cases}−1 & : n = 1 \\ 1 & : n ≠ 1 \end{cases}

(6)

20. Betrachten Sie die Potenzsummen S_{k} und die elementarsymmetrischen Funktionen C_{k} aus Beispiel 10.6. Zeigen Sie die Newtonschen Formeln

S_{j} + ∑_{i=1}^{j−1}(−1)^{i}C_{i}S_{j−i} + (−1)^{j}jC_{j} = 0

für j = 0, …, n. (Hinweis: Wenden Sie auf das Polynom

∏_{i=1}^{n}(x − x_{i}) = ∑_{j=0}^{n}(−1)^{n−j}C_{n−j}(x_{1}, …, x_{n})x^{j}

in dem Polynomring K[x_{1}, …, x_{n}, x] den formalen Differentialoperator Δ_{j} = x^{j+1} \frac{∂}{∂x} + ∑_{i=1}^{n} x_{i}^{j+1} \frac{∂}{∂x_{i}} an und differenzieren Sie die linke Seite gemäß der Produktregel und die rechte Seite explizit. Vergleichen Sie dann die Koeffizienten von x^{n} in beiden Termen.) (6)

Abgabe: Dienstag, 21.5.2003, 11.00 Uhr, Übungskästen im 1. Stock des Mathematischen Instituts. Bitte geben Sie auf Ihrer Lösung Ihren Namen und Ihre Übungsgruppe an.