Mathematisches Institut SS 2003 der Universität München Blatt 4 Prof. Dr. B. Pareigis

Algebra II

13. Sei p eine Primzahl. Zeigen Sie:

(a) | Aut(ℤ_{p^{2}})| = p(p − 1)

(b) Ist φ ∈ Aut(ℤ_{p^{2}}) ein Element der Ordnung p, so ist φ eine Potenz

der Abbildung

ℤ_{p^{2}} → ℤ_{p^{2}}, ī ↦ \overline{(p + 1)i}

(Hinweis: Man konstruiere einen Isomorphismus zwischen Aut(ℤ_{p^{2}}) und der Gruppe ℤ_{p^{2}}^{×} der invertierbaren Elemente von ℤ_{p^{2}}. Beachte Aufgabe 7). (4)

14. Sei p eine ungerade Primzahl und G eine nichtabelsche Gruppe der Ordnung p^{3}, die ein Element der Ordnung p^{2} enthält.

(a) Man zeige, daß die von diesem Element erzeugte Untergruppe normal ist.

(b) Man zeige, daß es ein Element der Ordnung p gibt, das nicht in dieser Untergruppe liegt.

(c) Man zeige, daß G zu der Gruppe G_{1} aus Aufgabe 7 isomorph ist. (6)

15. Sei M(2 × 2, 𝔽_{3}) der Ring der 2 × 2-Matrizen mit Koeffizienten in dem Körper 𝔽_{3}.

(a) Man zeige, daß es in diesem Ring eine invertierbare Matrix M der Ordnung 8 gibt.

(b) Man zeige weiter, daß {0, E, M, M^{2}, M^{3}, M^{4}, M^{5}, M^{6}, M^{7}} ein Körper ist, wobei die Operationen von M(2 × 2, 𝔽_{3}) induziert sind.

(Aus den Aufgaben des Staatsexamens 2002.) (4)

16. Sei R = ℤ[[T]] der Ring der formalen Potenzreihen mit Koeffizienten in ℤ.

(a) Sei m ⊂ R ein maximales Ideal von R. Zeigen Sie, daß m ∩ ℤ ein maximales Ideal von ℤ ist.

(b) Bestimmen Sie die Einheitengruppe R^{×}.

(c) Bestimmen Sie alle maximalen Ideale von R.

(Aus den Aufgaben des Staatsexamens 2002). (6)

Abgabe: Dienstag, 13.5.2003, 11.00 Uhr, Übungskästen im 1. Stock des Mathematischen Instituts. Bitte geben Sie auf Ihrer Lösung Ihren Namen und Ihre Übungsgruppe an.