Mathematisches Institut SS 2003 der Universität München Blatt 3 Prof. Dr. B. Pareigis

Algebra II

9. Für eine Gruppe G definiert man die aufsteigende Zentralreihe

{e} = Z_{0}(G) ⊂ Z_{1}(G) ⊂ Z_{2}(G) ⊂ Z_{3}(G) ⊂ …

rekursiv durch Z_{1}(G) = Z(G), das Zentrum von G, und die Bedingung Z_{m+1}(G)/Z_{m}(G) = Z(G/Z_{m}(G)). Andererseits ist die absteigende Zentralreihe

G = Z^{0}(G) ⊃ Z^{1}(G) ⊃ Z^{2}(G) ⊃ Z^{3}(G) ⊃ …

definiert durch Z^{i+1}(G) = [Z^{i}(G), G]. Zeigen Sie, daß folgende Aussagen äquivalent sind:

(a) Es gibt ein m mit Z_{m}(G) = G.

(b) Es gibt ein m mit Z^{m}(G) = {e}.

Eine Gruppe mit dieser Eigenschaft nennt man nilpotent. (4)

10. Sei p eine Primzahl und G eine endliche p-Gruppe. Zeigen Sie:

(a) Ist H ⊂ G eine echte Untergruppe, so ist H auch echt in ihrem Normalisator

N_{G}(H) := {g ∈ G | ∀h ∈ H : ghg^{−1} ∈ H}

enthalten.

(b) Ist H eine maximale Untergruppe von G, also eine echte Untergruppe, die in keiner anderen echten Untergruppe enthalten ist, so ist H ein Normalteiler.

(Hinweis: Verwenden Sie für den ersten Aufgabenteil Induktion über die Gruppenordnung. Machen Sie sich zunächst klar, daß folgende Aussagen per definitionem richtig sind: Eine Untergruppe ist genau dann ein Normalteiler, wenn ihr Normalisator die ganze Gruppe ist; in ihrem Normalisator ist sie immer ein Normalteiler.) (6)

11. Sei p eine ungerade Primzahl und G eine nichtabelsche Gruppe der Ordnung p^{3}, in der jedes von Eins verschiedene Element die Ordnung p hat. Zeigen Sie:

(a) Das Zentrum von G ist zyklisch von der Ordnung p.

(b) G besitzt einen zu ℤ_{p} × ℤ_{p} isomorphen Normalteiler.

(c) G ist isomorph zu der Gruppe ℤ_{p}^{2} ⋊ ℤ_{p}, die in Aufgabe 7b) beschrieben wurde.

(Hinweis: Beachten Sie die Aufgaben 27 und 29 von Blatt 7 bzw. 8 der Vorlesung ”Algebra I“.) (6)

12. Bestimmen Sie, wieviele Elemente der Ordnung 7 es in einer einfachen Gruppe der Ordnung 168 gibt. (4)

Abgabe: Dienstag, 6.5.2003, 11.00 Uhr, Übungskästen im 1. Stock des Mathematischen Instituts. Bitte geben Sie auf Ihrer Lösung Ihren Namen und Ihre Übungsgruppe an.