Mathematisches Institut SS 2003 der Universität München Blatt 2 Prof. Dr. B. Pareigis

Algebra II

5. Sei G eine endliche Gruppe und U eine Untergruppe von G. Dann ist

φ : G → S(G/U), g ↦ (h̄ ↦ \overline{gh})

ein Gruppenhomomorphismus in die Gruppe S(G/U) der Bijektionen von G/U. Zeigen Sie:

(a) ker(φ) ⊂ U

(b) Ist p der kleinste Primteiler von |G| und [G : U] = p, so ist U ein Normalteiler von G. (4)

6. Für eine abelsche Gruppe G ist G^{∗} := Hom(G, ℤ) mit der punktweisen Addition ebenfalls eine abelsche Gruppe.

(a) Zeigen Sie: Ist G endlich erzeugt, so ist G^{∗} endlich erzeugt frei, d. h. G^{∗} ≅ ℤ^{m} für ein m ∈ ℕ_{0}.

(b) Sei U die von (0, 1, 2, 3) und (4, 3, 2, 1) erzeugte Untergruppe von ℤ^{4}, und sei G = ℤ^{4}/U. Geben Sie einen Isomorphismus zwischen G^{∗} und einem geeigneten ℤ^{m} an.

(c) Entscheiden Sie, ob G frei ist. (6)

7. Sei p eine ungerade Primzahl.

(a) Man zeige, daß die Abbildung

ℤ_{p^{2}} → ℤ_{p^{2}}, ī ↦ \overline{(p + 1)i}

die Ordnung p hat, und konstruiere so einen Homomorphismus φ_{1} : ℤ_{p} → Aut(ℤ_{p^{2}}).

(b) Man zeige, daß die Matrix

(\begin{matrix}1 & 1 \\ 0 & 1 \end{matrix}) ∈ M(2 × 2, ℤ_{p})

die Ordnung p hat, und konstruiere so einen Homomorphismus φ_{2} : ℤ_{p} → Aut(ℤ_{p}^{2}).

(c) Seien G_{1} := ℤ_{p^{2}} ⋊ ℤ_{p} und G_{2} := ℤ_{p}^{2} ⋊ ℤ_{p} die mit φ_{1} bzw. φ_{2} gebildeten semidirekten Produkte. Man zeige, daß das Zentrum von G_{1} und G_{2} zyklisch von der Ordnung p ist und gebe jeweils ein erzeugendes Element dess Zentrums an.

(d) Man entscheide, ob die Gleichung g^{p} = 1 für alle Elemente der Gruppe G_{1} bzw. für alle Elemente der Gruppe G_{2} gilt. (6)

8. Sei R ein Ring. Zeigen Sie, daß folgende Bedingungen äquivalent sind:

(a) Jede Menge von Linksidealen von R enthält ein maximales Element.

(b) Jede aufsteigende Kette I_{1} ⊂ I_{2} ⊂ I_{3} ⊂ … von Linksidealen wird stationär, d. h. es gibt einen Index n mit der Eigenschaft

I_{n} = I_{n+1} = I_{n+2} = …

(c) Jedes Linksideal von R wird von endlich vielen Elementen erzeugt.

In diesem Fall wird R linksnoethersch genannt. (4)

Abgabe: Dienstag, 21.4.2003, 11.00 Uhr, Übungskästen im 1. Stock des Mathematischen Instituts. Bitte geben Sie auf Ihrer Lösung Ihren Namen und Ihre Übungsgruppe an.