Mathematisches Institut SS 2003 der Universität München Blatt 1 Prof. Dr. B. Pareigis

Algebra II

1. Sei G eine endliche abelsche Gruppe und S := {z ∈ ℂ | |z| = 1} der Einheitskreis, betrachtet als multiplikativ geschriebene Gruppe. Die zu G duale Gruppe

Ĝ := Hom(G, S)

ist mit den punktweisen Operationen eine abelsche Gruppe. Zeigen Sie, daß G und Ĝ isomorph sind. (Hinweis: Verwenden Sie den Hauptsatz für endliche abelsche Gruppen; betrachten Sie zunächst den Fall einer zyklischen Gruppe.) (6)

2. Sei G eine endliche abelsche Gruppe mit der dualen Gruppe Ĝ.

(a) Zeigen Sie, daß es zu jedem g ∈ G ein γ ∈ Ĝ mit γ(g) ≠ 1 gibt.

(b) Zeigen Sie, daß die Abbildung

G → ˆ Ĝ, g ↦ (γ ↦ γ(g))

ein Gruppenisomorphismus ist. (4)

3. Seien m und n zwei natürliche Zahlen. Zeigen Sie, daß die Gruppen ℤ_{mn}

und ℤ_{m}×ℤ_{n} genau dann isomorph sind, wenn m und n teilerfremd sind. (5)

4. Seien a_{0}, a_{1}, a_{2}, a_{3}, a_{4} ungerade ganze Zahlen. Zeigen Sie, daß das Poly-

nom

a_{0} + a_{1}x + a_{2}x^{2} + a_{3}x^{3} + a_{4}x^{4}

über ℚ irreduzibel ist. (5)

Abgabe: Dienstag, 14.4.2003, 11.00 Uhr, Übungskästen im 1. Stock des Mathematischen Instituts. Bitte geben Sie auf Ihrer Lösung Ihren Namen und Ihre Übungsgruppe an.