Mathematisches Institut SS 2003 der Universität München Blatt 10 Prof. Dr. B. Pareigis

Algebra II

Auf diesem Aufgabenblatt ist p eine Primzahl. ℚ_{p} bezeichnet den Körper der p-adischen Zahlen und ℤ_{p} den Unterring der ganzen p-adischen Zahlen.

37. Eine Teilmenge O ⊂ ℚ_{p} heißt offen, wenn es für jedes x ∈ O ein r > 0 gibt, so daß B(x, r) ⊂ O ist. Dabei ist B(x, r) = {y ∈ ℚ_{p} | |x−y| < r}. Eine Menge heißt abgeschlossen, wenn ihr Komplement offen ist. Zeigen Sie, daß B(x, r) sowohl offen als auch abgeschlossen ist. (4)

38. (a) Stellen Sie das Inverse von 1 − p^{n} als p-adische Zahl dar.

(b) Sei r ∈ ℚ eine rationale Zahl, deren Nenner nicht durch p teilbar ist. Zeigen Sie, daß r sich als rationale Zahl mit Nenner p^{n} − 1 für ein geeignetes n ∈ ℕ schreiben läßt.

(c) Sei n ∈ ℤ. Zeigen Sie, daß n genau dann in ℤ_{p} invertierbar ist, wenn n nicht durch p teilbar ist. (6)

39. (a) Zeigen Sie, daß das Hauptideal pℤ_{p} von ℤ_{p}, das von p erzeugt wird, das einzige maximale Ideal von ℤ_{p} ist. (Hinweis: Zeigen Sie insbesondere, daß dieses Ideal maximal ist.)

(b) Ist q eine von p verschiedene Primzahl, so ist ℤ_{p} ≇ ℤ_{q}. (4)

40. Sei a ∈ ℤ_{p}. Zeigen Sie, daß a genau dann eine rationale Zahl ist, wenn die p-adische Darstellung von a periodisch ist. Dabei bedeutet ”periodisch“, daß nach einer gewissen Zahl von Stellen, der sog. Vorperiode, ein Block von Stellen kommt, der sich danach immer wiederholt. (Hinweis: Zeigen Sie, zuächst, daß sie annehmen können, daß a nicht durch p teilbar ist. Zeigen Sie dann, daß periodische Zahlen rational sind, und versuchen sie daraus die Umkehrung zu erschließen. Beachten Sie Teil b) von Aufgabe 38.) (6)

Abgabe: Dienstag, 1.7.2003, 11.00 Uhr, Übungskästen im 1. Stock des Mathematischen Instituts. Bitte geben Sie auf Ihrer Lösung Ihren Namen und Ihre Übungsgruppe an.