ALGEBRA II

Prof. Dr. B. Pareigis

Sommer Semester 2003

Inhalt

1. Der Hauptsatz der Galoistheorie 2 2. Nullstellen von Polynomen 3 3. Konstruktionen mit Zirkel und Lineal 4 4. Elementare Gruppentheorie 4 5. Die Sylowschen Sätze 4 6. Elementare Theorie der kommutativen Ringe 5 7. Elementare Theorie der Körper und Polynome 6 8. Normale und separable Körpererweiterungen 7 9. Endliche Körper 8 10. Symmetrische Funktionen und allgemeine Polynome 8 11. Die Galoisgruppe von Polynomen niedrigen Grades 12 12. Kreisteilungskörper 16 13. Zyklische Erweiterungen und Kummererweiterungen 19 14. Radikalerweiterungen 22 15. Konstruktion regelmäßiger n-Ecke 26 16. Zahlen zur Basis p 27 17. Bewertungen 30 18. Cauchy-Folgen 33 19. Die p-adischen Zahlen 35

Wiederholung aus Algebra I

1. Der Hauptsatz der Galoistheorie

Hauptsatz 1.1 (über endlich erzeugte, abelsche Gruppen). Sei G eine endlich erzeugte abelsche Gruppe.

(1) Es gibt eindeutig bestimmte natürliche Zahlen s, t, m_{1}, …, m_{s} (Elementarteiler) mit m_{i} > 1, m_{i}/m_{i+1} für alle i = 1, …, s − 1, so daß

G ≅ ℤ/m_{1}ℤ ⊕ … ⊕ ℤ/m_{s}ℤ ⊕ \underbrace{ℤ ⊕ … ⊕ ℤ}_{t−mal} .  (1)

(2) Es gibt (bis auf die Reihenfolge) eindeutig bestimmte natürliche Zahlen n, t, j_{1}, …, j_{n} alle ≥ 1 und p_{1}, …, p_{n} alle prim mit

G ≅ ℤ/p_{1}^{j_{1}}ℤ ⊕ … ⊕ ℤ/p_{n}^{j_{n}}ℤ ⊕ \underbrace{ℤ ⊕ … ⊕ ℤ}_{t−mal} .  (2)

Ist G endlich, so ist in beiden Darstellungen t = 0 und |G| = ∏_{i=1}^{s} m_{i} = ∏_{i=1}^{n} p_{i}^{j_{i}}.

Beispiele 1.2. (1) 6 läßt keine weitere Zerlegung nach (1) zu, aber die Zerlegung 6 = 2 · 3 nach (2). Also ist ℤ/6ℤ ≅ ℤ/2ℤ ⊕ ℤ/3ℤ.

(2) Es gibt 6 nichtisomorphe endliche abelsche Gruppen der Ordnung 1500. Die Primzahlzerlegung nach (2) kann nämlich geschrieben werden als

1500 = 2^{2} · 3 · 5^{3} = 2 · 2 · 3 · 5^{3} = 2^{2} · 3 · 5 · 5^{2} = 2 · 2 · 3 · 5 · 5^{2} = 2^{2} · 3 · 5 · 5 · 5 = 2 · 2 · 3 · 5 · 5 · 5.

Damit erhalten wir die folgenden Elementarteilerzerlegungen für G:

ℤ_{1500} ≅ ℤ̸_{2} ⊕ ℤ_{750} ≅ ℤ̸_{5} ⊕ ℤ_{300} ≅ ℤ̸_{10} ⊕ ℤ_{150} ≅ ℤ̸_{5} ⊕ ℤ_{5} ⊕ ℤ_{60} ≅ ℤ̸_{5} ⊕ ℤ_{10} ⊕ ℤ_{30}.

(3) Sei G = ℤ_{5} ⊕ ℤ_{15} ⊕ ℤ_{25} ⊕ ℤ_{36} ⊕ ℤ_{54}. Die Primteiler sind dann 2, 2^{2}, 3, 3^{2}, 3^{3}, 5, 5, 5^{2}. Die Elementarteiler sind damit 15, 90, 2700. Also ist

G ≅ ℤ_{15} ⊕ ℤ_{90} ⊕ ℤ_{2700}.

Definition 1.4. Eine Körpererweiterung F : K heißt galoissch, wenn es eine endliche Untergruppe G ⊆ Aut(F/K) gibt mit K = Fix(F; G). Dann heißt G Galoisgruppe von F über K.

Satz 1.12 (Dedekind). Seien σ_{1}, …, σ_{n} paarweise verschiedene Charaktere von G in K (σ_{i} : G ⟶ K^{∗}). Dann sind σ_{1}, …, σ_{n} ∈ Abb(G, K) linear unabhängig über K.

Satz 1.18 (Fortsetzungssatz). Sei F : K galoissch mit Galoisgruppe G. Seien L_{1}, L_{2} Zwischenkörper K ⊆ L_{i} ⊆ F und φ : L_{1} ⟶ L_{2} ein K-Isomorphismus. Dann gibt es ein g ∈ G mit ∀a ∈ L : g(a) = φ(a).

Definition 1.19. Zwei Untergruppen U_{1}, U_{2} ⊆ G heißen konjugiert, wenn es ein g ∈ G gibt mit gU_{1}g^{−1} = U_{2}.

Definition 1.22. Sei F : K galoissch. Zwei Zwischenkörper L_{1}, L_{2} mit K ⊆ L_{i} ⊆ F heißen konjugiert, wenn es einen K-Isomorphismus φ : L_{1} ≅ L_{2} gibt.

Hauptsatz 1.21 (der Galoistheorie). Sei F : K eine galoissche Körpererweiterung mit Galoisgruppe G ⊆ Aut(F/K). Sei

Z := {L|K ⊆ L ⊆ F Zwischenkörper}

und

U := {U|U ⊆ G Untergruppe}.

Dann gelten

(1) Z ∋ L ↦ Aut(F/L) ∈ U und U ∋ U ↦ Fix(F; U) ∈ Z sind zueinander inverse Abbildungen.

(2) U_{1} ⊆ U_{2} ⟺ Fix(F; U_{1}) ⊇ Fix(F; U_{2}) oder äquivalent L_{1} ⊆ L_{2} ⟺ Aut(F/L_{1}) ⊇ Aut(F/L_{2}).

(3) U_{1} konjugiert zu U_{2} in G ⟺ Fix(F; U_{1}) konjugiert zu Fix(F; U_{2}) (mit demselben g ∈ G).

(4) U ⊆ G normale Untergruppe ⟺ L = Fix(F; U) galoissch über K. In diesem Falle ist Aut(L/K) ≅ Aut(F/K)/ Aut(F/L) = G/U.

(5) Für alle L ∈ Z ist F galoissch über L mit Galoisgruppe Aut(F/L), und es gilt | Aut(F/L)| = [F : L].

2. Nullstellen von Polynomen

Definition 2.3. Sei F : K eine Körpererweiterung. u ∈ F heißt algebraisch über K, wenn es ein f ∈ K[x] \ {0} gibt mit f(u) = 0. Ist u ∈ F nicht algebraisch, so heißt u transzendent.

Definition 2.7 (vgl. 6.10). Sei p ∈ K[x]. p heißt irreduzibel, wenn (1) p ≠ 0 und p keine Einheit in K[x].

(2) Wenn p = q · r, dann ist q oder r eine Einheit in K[x].

Satz 2.9 (vgl. 6.3). Sei I ⊆ R ein Ideal in einem kommutativen Ring R. I ist genau dann ein maximales Ideal, wenn R/I ein Körper ist.

Satz 2.10. Sei F : K eine Körpererweiterung, und sei u ∈ F algebraisch über K. Dann ist (1) K[u] = K(u) (diese Bedingung ist äquivalent zur Bedingung u algebraisch über K).

(2) K[u] ≅ K[x]/(p(x)), wobei p(x) ein irreduzibles Polynom aus K[x] mit höchstem Koeffizienten 1 vom Grad ≥ 1 (normiert) ist, das eindeutig durch die Bedingung p(u) = 0 bestimmt wird und Minimalpolynom von u genannt wird. Weiter gilt:

f(u) = 0 ⟺ ∃r(x) ∈ K[x] : f(x) = r(x) · p(x).

(3) n := [K(u) : K] = Grad(p(x)).

(4) {1, u, u^{2}, …, u^{n−1}} ist eine K-Vektorraum-Basis von K(u).

(5) Jedes Element von K(u) hat eine eindeutige Darstellung der Form α_{0} + α_{1}u + … + α_{n−1}u^{n−1} mit α_{i} ∈ K.

Satz 2.12 (über die Existenz von Nullstellen von Polynomen). Sei K ein Körper und f(x) ∈ K[x] ein Polynom vom Grad n ≥ 1. Dann gibt es eine einfache Körpererweiterung F = K(u) von K, so daß gelten

(1) u ist Nullstelle von f(x), d.h. f(u) = 0.

(2) [K(u) : K] ≤ n, wobei Gleichheit genau dann gilt, wenn f(x) irreduzibel ist.

(3) Wenn f(x) irreduzibel in K[x] ist, dann ist K(u) bis auf K-Isomorphie eindeutig bestimmt.

Definition 2.13. Sei f(x) ∈ K[x] irreduzibel. Dann ist K(u) := K[x]/(f(x)) der Körper, den man durch Adjunktion einer Nullstelle des Polynoms f an K erhält. Beachte: Unter dieser Sicht sind alle Nullstellen eines irreduziblen Polynoms gleichwertig.

Folgerung 2.14. Sei f(x) ∈ K[x] vom Grad n ≥ 1. Dann gibt es eine endliche Körpererweiterung F : K, so daß f(x) in F [x] vollständig in Linearfaktoren zerfällt.

3. Konstruktionen mit Zirkel und Lineal

Hauptsatz 3.6. Ein Punkt (p, q) ∈ ℝ^{2} ist über K für einen Zwischenkörper ℚ ⊆ K ⊆ ℝ genau dann konstruierbar, wenn es eine endliche Folge von Körpern K_{i} mit

K = K_{0} ⊆ K_{1} ⊆ … ⊆ K_{n} ⊆ ℝ

gibt mit p, q ∈ K_{n}, wobei K_{i} = K_{i−1}(\sqrt{a_{i}}), a_{i} ∈ K_{i−1}, a_{i} > 0 für i = 1, …, n.

4. Elementare Gruppentheorie

Satz 4.11. Sei U ⊆ G eine Untergruppe. Dann sind äquivalent:

(1) U ist Normalteiler in G.

(2) G/U = U\G ({gU|g ∈ G} = {Ug|g ∈ G}).

(3) Φ : G/U × G/U ⟶ G/U mit Φ(aU, bU) := abU ist eine wohldefinierte Abbildung. Wenn (3) gilt, ist G/U mit dieser Multiplikation eine Gruppe (Restklassen-, Nebenklassen-, Faktor-, Quotienten-Gruppe).

Satz 4.13 (Lagrange). Sei G eine endliche Gruppe und U ⊆ G eine Untergruppe. Dann ist

|G| = |U| · |G : U|.

Folgerung 4.24 (Satz von Euler). Sei G eine endliche Gruppe und g ∈ G. Sei n = |G| die Ordnung von G. Dann ist g^{n} = e.

Definition 4.27. Eine Gruppe G heißt einfach, wenn Sie keinen nichttrivialen Normalteiler besitzt.

Beispiel 4.28. Die einfachen abelschen Gruppen sind die Gruppen ℤ/pℤ mit p prim bzw. G = {e}.

Satz 4.29. Die alternierenden Gruppen A_{n} sind genau dann einfach, wenn n ≠ 4 ist.

5. Die Sylowschen Sätze

Satz 5.8 (Sylow I). Sei G eine Gruppe der Ordnung n = p^{r} · m mit (m, p) = 1. Dann besitzt G eine Untergruppe der Ordnung p^{r}.

Folgerung 5.9 (Cauchy). Wenn p/|G|, dann gibt es in G ein Element g der Ordnung p.

Definition 5.10. Wenn |G| = p^{r}·m mit (m, p) = 1 und r ≥ 1, dann heißen die Untergruppen H ⊆ G mit |H| = p^{r} p-Sylow-Untergruppen von G. Eine Gruppe der Ordnung p^{i}, i ≥ 1 heißt eine p-Gruppe.

Satz 5.12. Jede p-Gruppe G ≠ {e} besitzt ein Zentrum Z(G) ≠ {e}.

Satz 5.13. Sei G eine p-Gruppe der Ordnung p^{r}. Dann gibt es eine Kette

G = H_{0} ⊇ H_{1} ⊇ … ⊇ H_{r} = {e}

von Normalteilern H_{i} von G mit |H_{i−1} : H_{i}| = p, i = 1, …, r.

Satz 5.14 (Sylow II). Sei K ⊆ G eine Untergruppe, deren Ordnung durch p teilbar ist und sei H ⊆ G eine p-Sylow-Untergruppe. Dann gibt es eine konjugierte Untergruppe H′ = gHg^{−1}, so daß K ∩ H′ eine p-Sylow-Untergruppe von K ist.

Satz 5.16 (Sylow III). Sei |G| = p^{r} · m mit (m, p) = 1. Sei s die Anzahl der p-Sylow-Untergruppen von G. Dann gilt

s/m und s ≡ 1 mod (p).

6. Elementare Theorie der kommutativen Ringe

Definition 6.1. Ein nullteilerfreier kommutativer Ring R heißt Integritätsring.

Definition 6.2. Ein Ideal 𝔭 in einem kommutativen Ring R heißt Primideal, wenn 𝔭 ≠ R und wenn für alle Ideale I, J ⊆ R gilt

I · J ⊆ 𝔭 ⟹ I ⊆ 𝔭 oder J ⊆ 𝔭.

Beachte: Wenn I = (m) und J = (n) Hauptideale in R sind, so ist

I ⊆ J ⟺ n/m.

Lemma 6.3. Sei R ein kommutativer Ring. Dann gelten (1) 𝔭 ⊆ R Primideal ⟺ R/𝔭 Integritätsring.

(2) 𝔪 ⊆ R maximales Ideal ⟺ R/𝔪 Körper.

Satz 6.5. Jeder Ring R ≠ 0 (mit Einselement) besitzt über jedem Ideal I ⫋ R ein maximales Ideal.

Definition 6.7. Ein Integritätsring R heißt Hauptidealring, wenn jedes Ideal ein Hauptideal ist.

Definition 6.8. Ein Integritätsring R heißt euklidischer Ring, wenn es eine Abbildung φ : R \ {0} ⟶ ℕ_{0} gibt mit

(1) ∀a, b ∈ R \ {0} : φ(ab) ≥ φ(a).

(2) ∀b ∈ R, a ∈ R \ {0}∃q, r ∈ R : b = qa + r und (r = 0 oder φ(r) < φ(a)). (Divisionsalgorithmus)

Satz 6.9. Jeder euklidische Ring ist ein Hauptidealring.

Definition 6.10. (1) Ein Element p ∈ R heißt Primelement oder prim, wenn (a) p ≠ 0 und p ist keine Einheit;

(b) p/ab ⟹ p/a oder p/b.

(2) Ein Element p ∈ R heißt irreduzibel, wenn (a) p ≠ 0 und p ist keine Einheit;

(b) p = ab ⟹ a Einheit oder b Einheit.

Beachte: p Primelement ⟹ (p) Primideal. Aber ein Primideal darf 0 sein, während ein Primelement immer p ≠ 0 erfüllt.

Satz 6.12. Sei R ein Integritätsring.

(1) 𝔭 ⊆ R Primideal ⟺ R/𝔭 Integritätsring ⟺ ∀a, b ∈ R : ab ∈ 𝔭 ⟹ a ∈ 𝔭 or b ∈ 𝔭.

(2) p ∈ R prim ⟺ (p) Primideal und p ≠ 0.

(3) a ∈ R irreduzibel ⟺ (a) maximal in der Menge der echten Hauptideale.

(4) Jedes Primelement ist irreduzibel: p prim ⟹ p irreduzibel.

(5) R Hauptidealring ⟹ (p prim ⟺ p irreduzibel).

Folgerung 6.13. Sei K ein Körper. Für p ∈ K[x] sind äquivalent:

(1) p ist irreduzibel.

(2) p ist prim.

(3) (p) ist ein maximales Ideal.

(4) (p) ist ein Primideal ≠ 0.

Satz 6.16 (Chinesischer Restsatz). Seien A_{1}, …, A_{n} ⊆ J ⊆ R Ideale. Dann gibt es einen Ringhomomorphismus (beachte hier: Ideale sind Ringe ohne 1-Element)

φ : J/(A_{1} ∩ … ∩ A_{n}) ⟶ J/A_{1} × … × J/A_{n}.

Wenn J^{2} + A_{i} = J für alle i und A_{i} + A_{j} = J für alle i ≠ j, dann ist φ ein Isomorphismus.

Definition 6.18. Ein Integritätsring R heißt Z.P.E. Ring oder faktorieller Ring, wenn (1) ∀r ∈ R \ {0} keine Einheit ∃p_{1}, …, p_{n} ∈ R irreduzibel:

r = p_{1} · . . . · p_{n}.

(2) Sind p_{i}, q_{i} irreduzibel mit p_{1} · . . . · p_{s} = q_{1} · . . . · q_{t}, so ist s = t, und es gibt ein σ ∈ S_{t}, so daß p_{i} assoziiert zu q_{σ(i)} ist für alle i = 1, …, t.

Satz 6.20. Jeder Hauptidealring ist ein faktorieller Ring.

7. Elementare Theorie der Körper und Polynome

Satz 7.3. Sei K ein Körper mit χ(K) = p > 0. Dann enthält K einen kleinsten Unterkörper K_{0}, und es ist K_{0} ≅ ℤ/pℤ.

Definition 7.5. K(x) = Q(K[x]) := \{\frac{f}{g} |f, g ∈ K[x], g ≠ 0\} heißt Körper der rationalen Funktionen über K.

Satz 7.6. Sei K ein Körper mit χ(K) = 0. Dann enthält K einen kleinsten Unterkörper K_{0}, und es ist K_{0} ≅ ℚ.

Definition 7.7. Die kleinsten möglichen Unterkörper ℤ/pℤ und ℚ heißen Primkörper.

Satz 7.9. Sei F : K eine Körpererweiterung, F = K(U) für U ⊆ F. Sei jedes u ∈ U algebraisch. Dann ist F : K algebraisch. Ist U zudem endlich, so ist [F : K] < ∞.

Satz 7.11. Sei F : K ein Körpererweiterung und L = {a ∈ F |a algebraisch über K}. Dann ist L der größte algebraische Zwischenkörper zwischen K ud F.

Satz 7.12. Sei F : K ein Körpererweiterung und u ∈ F \ {0}. Dann sind äquivalent (1) u : K transzendent,

(2) K[u] ⫋ K(u),

(3) K(u) ≅ K(x) = Funktionenkörper über K,

(4) u^{−1} ∉ K[u],

(5) [K(u) : K] = ∞.

Satz 7.13. Sei σ : K ⟶ L ein Körperisomorphismus, u ein Element eines Erweiterungskörpers von K und v ein Element eines Erweiterungskörpers von L. Es gelte eine der beiden folgenden Bedingungen:

(1) u ist Nullstelle eines irreduziblen Polynoms f ∈ K[x] und v ist Nullstelle von σ(f) ∈ L[x].

(2) u : K und v : L sind transzendent. Dann gibt es einen Körperisomorphismus τ : K(u) ≅ L(v) mit τ(u) = v und (τ|_{K}^{L} : K ⟶ L) = σ.

Definition 7.15. Eine Körpererweiterung F : K heißt Zerfällungskörper der Polynome {f_{i}|i ∈ I}, wenn alle f_{i} in F [x] in Linearfaktoren zerfallen und F über K von den Nullstellen der f_{i} erzeugt wird.

Satz 7.17. Sei f ∈ K[x] nicht konstant. Dann existiert ein Zerfällungskörper F von f und es ist [F : K] ≤ Grad(f)! .

Folgerung 7.19. Je zwei Zerfällungskörper von f über K sind isomorph über K.

Definition 7.20. Ein Körper L heißt algebraisch abgeschlossen, falls jedes (nicht-konstante) Polynom f ∈ L[x] eine Nullstelle (und damit alle Nullstellen) in L besitzt, d.h. falls jedes über L algebraische Element schon in L liegt.

Satz 7.22 (Steinitz). Jeder Körper besitzt einen (bis auf Isomorphie) eindeutig bestimmten algebraischen Abschluß.

8. Normale und separable Körpererweiterungen

Definition 8.1. Eine algebraische Körpererweiterung F : K heißt normal, wenn jedes irreduzible Polynom p ∈ K[x], das in F eine Nullstelle besitzt, in F [x] in Linearfaktoren zerfällt.

Satz 8.2. Sei F : K ein endliche Körpererweiterung. Dann sind äquivalent:

(1) F : K ist normal.

(2) F ist Zerfällungskörper eines Polynoms f ∈ K[x].

Definition 8.3. Sei p ∈ K[x] irreduzibel. p heißt separabel, wenn p in einem Zerfällungskörper von p nur einfache Nullstellen hat. Sei F : K eine Körpererweiterung. Ein algebaisches Element u ∈ F heißt separabel, wenn das Minimalpolynom von u separabel ist. Sei F : K eine algebraische Körpererweiterung. F heißt separable Körpererweiterung von K, wenn jedes Element von F über K separabel ist. Ein Polynom f ∈ K[x] heißt separabel, wenn alle irreduziblen Faktoren von f separabel sind. Ist ein irreduzibles Polynom, ein algebraisches Element, eine algebraische Körpererweiterung, ein Polynom nicht separabel, so heißt es inseparabel.

Satz 8.4 (Emil Artin). Sei F : K eine Körpererweiterung. Dann sind äquivalent (1) F ist galoissch über K.

(2) F ist separabel, normal und endlich über K.

(3) F ist Zerfällungskörper eines separablen Polynoms über K.

Folgerung 8.5. Sei L : K eine endliche separable Körpererweiterung. Dann gibt es eine galoissche Körpererweiterung F : K mit F ⊇ L ⊇ K.

Definition 8.7. Ein Körper K heißt perfekt (vollkommen), wenn jede algebraische Körpererweiterung F : K separabel ist.

Satz 8.9. Ein irreduzibles Polynom p ∈ K[x] ist genau dann separabel, wennp′ ≠ 0.

Folgerung 8.11. Jeder Körper der Charakteristik 0 ist perfekt.

Folgerung 8.13. Jeder endliche Körper ist perfekt.

Satz 8.15. Sei F : K eine Körpererweiterung. Dann sind äquivalent (1) F ist einfach und algebraisch über K, d.h. F = K(u) und u : K algebraisch.

(2) Es gibt nur endlich viele Zwischenkörper K ⊆ L ⊆ F.

Satz 8.16 (Satz vom primitiven Element). Jede endliche, separable Körpererweiterung F : K ist einfach: F = K(u). (u heißt dann ein primitives Element für F.)

Satz 8.17 (Fundamentalsatz der Algebra). Der Körper ℂ der komplexen Zahlen ist algebraisch abgeschlossen.

9. Endliche Körper

Satz 9.1. Jeder endliche Körper besitzt p^{n} Elemente für eine Primzahl p ∈ ℕ. Zu jeder Zahl p^{n} gibt es (bis auf Isomorphie) genau einen Körper GF (p^{n}) mit p^{n} Elementen. GF (p^{n}) ist Zerfällungskörper von x^{p^{n}} − x ∈ 𝔽_{p}[x] mit 𝔽_{p} = GF (p) = ℤ/pℤ. (GF steht für Galois-Feld.)

Satz 9.3. Seien K ⊆ L endliche Körper. Dann ist L : K galoissch, |L| = p^{n}, |K| = p^{m} und m/n. Weiter ist Aut(L/K) = {1, Φ^{m}, (Φ^{m})^{2}, …, (Φ^{m})^{n−1}}, wobei Φ : L ⟶ L, Φ(a) = a^{p} der Frobenius-Homomorphismus ist.

Folgerung 9.4. Sei L = GF (p^{n}). Dann gibt es zu jedem m mit m/n genau einen Unterkörper K ⊆ L mit |K| = p^{m}. Das sind genau alle Unterkörper von L.

Satz 9.5. Sei K ein Körper beliebiger Charakteristik. Sei G eine endliche Untergruppe der multiplikativen Gruppe K \ {0}. Dann ist G zyklisch.

Algebra II

10. Symmetrische Funktionen und allgemeine Polynome

Lemma 10.1. Sei K(x_{1}, x_{2}, …, x_{n}) = K(x_{1})(x_{2}) … (x_{n}) der Körper der rationalen Funktionen in n Variablen x_{1}, …, x_{n}. Die symmetrische Gruppe S_{n} operiert auf K(x_{1}, …, x_{n}) durch Körperautomorphismen mit

σ(\frac{f(x_{1}, …, x_{n})}{g(x_{1}, …, x_{n})}) = \frac{f(x_{σ^{−1}(1)}, …, x_{σ^{−1}(n)})}{g(x_{σ^{−1}(1)}, …, x_{σ^{−1}(n)})}.

Beweis. Durch einfaches Nachrechnen. □

Definition 10.2. Der Fixkörper L in K(x_{1}, x_{2}, …, x_{n}) unter der Operation von S_{n} heißt Körper der symmetrischen rationalen Funktionen in n Variablen über K. Die Polynome f ∈ K[x_{1}, …, x_{n}] ∩ L heißen symmetrische Polynome.

Folgerung 10.3. Der Körper der rationalen Funktionen in n Variablen K(x_{1}, x_{2}, …, x_{n}) ist galoissch über dem Körper der symmetrischen rationalen Funktionen in n Variablen mit der Galoisgruppe S_{n}. Der Körpergrad ist [K(x_{1}, x_{2}, …, x_{n}) : L] = n! .

Beweis. Definition der Galoiserweiterung und n! = |S_{n}|. □

Satz 10.4. Sei G eine endliche Gruppe. Dann gibt es eine galoissche Körpererweiterung mit Galoisgruppe isomorph zu G.

Beweis. Sei n := |G|. Nach Folgerung 10.3 ist K(x_{1}, x_{2}, …, x_{n}) galoissch über L mit Galoisgruppe S_{n}. Nach dem Satz von Cayley ist G isomorph zu einer Untergruppe G′ von S_{n}. Sei L′ der Fixkörper unter G′ in K(x_{1}, x_{2}, …, x_{n}). Dann ist K(x_{1}, x_{2}, …, x_{n}) galoissch über L′ mit Galoisgruppe G′. □

Bemerkung 10.5. Es ist ein offenes Problem, ob jede endliche Gruppe als Galoisgruppe einer Körpererweiterung K/ℚ auftritt.

Beispiele 10.6. Beispiele für symmetrische Funktionen:

(1) Potenzsummen S_{k} = x_{1}^{k} + … + x_{n}^{k}.

(2) Wronskische Polynome P_{k} = ∑_{i_{1}+...+i_{n}=k} x_{1}^{i_{1}}x_{2}^{i_{2}} … x_{n}^{i_{n}}.

(3) Diskriminante D = ∏_{1≤i<k≤n}(x_{i} − x_{k})^{2}.

Die elementarsymmetrischen Polynome oder Funktionen in den Variablen x_{1}, …, x_{n} sind

C_{1} := x_{1} + x_{2} + … + x_{n}.
C_{2} := x_{1}x_{2} + x_{1}x_{3} + … + x_{n−1}x_{n} = ∑_{1≤i<k≤n} x_{i}x_{k}.
C_{3} := x_{1}x_{2}x_{3} + x_{1}x_{2}x_{4} + … + x_{n−2}x_{n−1}x_{n} = ∑_{1≤i_{1}<i_{2}<i_{3}≤n} x_{i_{1}}x_{i_{2}}x_{i_{3}}.
⋮
C_{k} := ∑_{1≤i_{1}<i_{2}<...<i_{k}≤n} x_{i_{1}}x_{i_{2}} … x_{i_{k}}.
⋮
C_{n} := x_{1}x_{2} … x_{n}.

Wir zeigen im folgenden Lemma, daß diese Polynome symmetrisch sind. Die Ausdrücke C_{1}, …, C_{n} können auch gebildet werden, wenn die x_{i} nicht notwendig transzendent sind. Sie bilden die Koeffizienten des Polynoms, dessen Nullstellen vorgegebene x_{1}, …, x_{n} sind.

Lemma 10.7. Seien x_{1}, …, x_{n} algebraische oder transzendente Elemente über K. Sei z eine Unbestimmte über K(x_{1}, …, x_{n}). Dann ist

(z − x_{1})(z − x_{2}) … (z − x_{n}) = z^{n} − C_{1}z^{n−1} + C_{2}z^{n−2} − … + (−1)^{n}C_{n}.

Beweis. Durch Ausmultiplizieren. Das zeigt dann auch, daß die elementarsymmetrischen Polynome symmetrisch, d.h. invariant unter der Orperation von S_{n} sind. □

Lemma 10.8. Sei K ein Körper und seien C_{1}, …, C_{n} die elementarsymmetrischen Funktionen in n Variablen über K. Sei 1 ≤ k ≤ n − 1. Wenn c_{1}, …, c_{k} ∈ K[x_{1}, …, x_{n}] die elementarsymmetrischen Funktionen in x_{1}, …, x_{k} sind, dann kann jedes c_{i} geschrieben werden als Polynom über K in den Variablen C_{1}, …, C_{n} und x_{k+1}, …, x_{n}.

Beweis. Die Aussage ist richtig für k = n − 1, denn dann gilt c_{1} = C_{1} − x_{n} und c_{i} = C_{i} − c_{i−1}x_{n} für i = 2, …, n − 1. Wir führen nun einen Induktionsschluß für absteigende k durch. Gelte die Aussage für k = r + 1 ≤ n − 1. Seien t_{1}, …, t_{r+1} die elementarsymmetrischen Funktionen in x_{1}, …, x_{r+1} und c_{1}, …, c_{r} die elementarsymmetrischen Funktionen in x_{1}, …, x_{r}. Da c_{1} = t_{1} − x_{r+1} = t_{1}(C_{1}, …, C_{n}, x_{r+2}, …, x_{n}) − x_{r+1} und c_{i} = t_{i} − c_{i−1}x_{r+1} = t_{i}(C_{1}, …, C_{n}, x_{r+2}, …, x_{n}) − c_{i−1}(C_{1}, …, C_{n}, x_{r+1}, …, x_{n})x_{r+1} folgt die Aussage für k = r. □

Satz 10.9. Seien K ein Körper, L der Körper der symmetrischen rationalen Funktionen in K(x_{1}, …, x_{n}) und C_{1}, … C_{n} die elementarsymmetrischen Funktionen. Dann ist L = K(C_{1}, …, C_{n}).

Beweis. Sei M := K(C_{1}, …, C_{n}) ⊆ K(x_{1}, …, x_{n}). Wir haben Körpertürme

\begin{matrix}K ⊆ K(C_{1}, …, C_{n}) = M ⊆ L ⊆ K(x_{1}, …, x_{n}), \\ M ⊆ M(x_{n}) ⊆ M(x_{n−1}, x_{n}) ⊆ … ⊆ M(x_{2}, …, x_{n}) ⊆ M(x_{1}, …, x_{n}) = K(x_{1}, …, x_{n}). \end{matrix}

Es genügt zu zeigen [K(x_{1}, …, x_{n}) : M] ≤ n! . Wir zeigen, daß x_{k} algebraisch über M(x_{k+1}, …, x_{n}) vom Grad ≤ k ist, d.h. daß der Grad des Minimalpolynoms ≤ k ist. Dann ist [M(x_{k+1}, …, x_{n})(x_{k}) : M(x_{k+1}, …, x_{n})] = [M(x_{k}, …, x_{n}) : M(x_{k+1}, …, x_{n})] ≤ k und damit [K(x_{1}, …, x_{n}) : M] = [M(x_{1}, …, x_{n}) : M] ≤ n! . In M[z] sei

g_{n}(z) := (z − x_{1})(z − x_{2}) … (z − x_{n}) = z^{n} − C_{1}z^{n−1} + C_{2}z^{n−2} − … + (−1)^{n}C_{n}

Weiter sei

g_{k}(z) := (z − x_{1})(z − x_{2}) … (z − x_{k}) = g_{n}(z)/((z − x_{k+1})(z − x_{2}) … (z − x_{n}))

mit den Nullstellen x_{1}, …, x_{k}. Die Koeffizienten von g_{k}(z) sind die elementarsymmetrischen Funktionen in x_{1}, …, x_{k} und damit nach Lemma 10.8 Polynome über K in den elementarsymmetrischen Funktionen C_{1}, …, C_{n} und den Variablen x_{k+1}, …, x_{n}. Also liegt g_{k}(z) in M(x_{k+1}, …, x_{n})[z]. Das Element x_{n} hat als Nullstelle von g_{n}(z) den Grad ≤ n über M und x_{k} als Nullstelle von g_{k}(z) den Grad ≤ k über M(x_{k+1}, …, x_{n}). Die Behauptung ergibt sich dann aus dem zweiten oben angegebenen Körperturm. □

Folgerung 10.10. Das Polynom

g(z) = (z − x_{1})(z − x_{2}) … (z − x_{n})

ist separabel und irreduzibel über dem Körper der rationalen Funktionen K(x_{1}, …, x_{n}).

Beweis. Wir haben im vorhergehenden Beweis sogar Gleichheit der einzelnen Grade bewiesen, also sind die Polynome g_{k}(z) irreduzibel. Insbesondere ist g(z) = g_{n}(z) irreduzibel. Es ist klar, daß g(z) auch separabel ist, da es n verschiedene Nullstellen hat. □

Folgerung 10.11. Sei K ein Körper und L der Körper der symmetrischen Funktionen im Körper der rationalen Funktionen K(x_{1}, …, x_{n}). Dann ist die Menge X := {x_{1}^{i_{1}}x_{2}^{i_{2}} … x_{n}^{i_{n}}|0 ≤ i_{k} < k, k = 1, …, n} eine Basis von K(x_{1}, …, x_{n}) über L.

Beweis. Wir beziehen uns auf den 2. Körperturm im vorhergehenden Beweis. x_{n}, x_{n}^{2}, …, x_{n}^{n−1} erzeugen M(x_{n}) über M. x_{k}, x_{k}^{2}, …, x_{k}^{k−1} erzeugen M(x_{k}, …, x_{n}) über M(x_{k+1}, …, x_{n}). Also ist X eine Erzeugendenmenge von K(x_{1}, …, x_{n}) über L. Da [K(x_{1}, …, x_{n}) : L] = |S_{n}| = n! = |X|, ist X eine Basis. □

Satz 10.12. Sei K ein Körper und seien C_{1}, … C_{n} die elementarsymmetrischen Funktionen in K(x_{1}, …, x_{n}). Dann gelten

(1) Jedes Polynom in K[x_{1}, …, x_{n}] läßt sich eindeutig als Linearkombination der n! Elemente x_{1}^{i_{1}}x_{2}^{i_{2}} … x_{n}^{i_{n}} mit 0 ≤ i_{k} < k, k = 1, …, n mit Koeffizienten in K[C_{1}, …, C_{n}] schreiben.

(2) Jedes symmetrische Polynom in K[x_{1}, …, x_{n}] liegt in K[C_{1}, …, C_{n}].

Beweis. (1) Wie im Beweis von Satz 10.9 sind die Koeffizienten von g_{k}(z) die elementarsymmetrischen Funktionen in x_{1}, …, x_{k} und damit nach Lemma 10.8 Polynome über K in den elementarsymmetrischen Funktionen C_{1}, …, C_{n} und den Variablen x_{k+1}, …, x_{n}. Da g_{k} normiert ist und g_{k}(x_{k}) = 0 ist, kann x_{k}^{k} ausgedrückt werden als Polynom über K in C_{1}, …, C_{n}, x_{k+1}, …, x_{n} und x_{k}, x_{k}^{2}, …, x_{k}^{k−1}. Sei h ∈ K[x_{1}, …, x_{n}]. Wir setzen die zuvor bestimmten Polynome für x_{k}^{k} in h ein für k = 1, …, n (bei k = 1 beginnend) und erhalten eine Darstellung von h als Polynom in C_{1}, …, C_{n}, x_{1}, …, x_{n}, bei dem die Exponenten i_{k} der x_{k} die Gleichung i_{k} < k für k = 1, …, n erfüllen. Damit ist h eine Linearkombinationen der n! Elemente x_{1}^{i_{1}}x_{2}^{i_{2}} … x_{n}^{i_{n}} mit 0 ≤ i_{k} < k, k = 1, …, n mit Koeffizienten in K[C_{1}, …, C_{n}].Diese Koeffizienten sind eindeutig bestimmt, weil die x_{1}^{i_{1}}x_{2}^{i_{2}} … x_{n}^{i_{n}} über K(C_{1}, …, C_{n}) linear unabhängig sind.

(2) Tatsächlich haben wir auch gezeigt, daß ein Polynom h ∈ K[x_{1}, …, x_{n}], das als Linearkombination der x_{1}^{i_{1}}x_{2}^{i_{2}} … x_{n}^{i_{n}} mit Koeffizienten in K(C_{1}, …, C_{n}) gegeben ist, seine Koeffizienten schon in K[C_{1}, …, C_{n}] hat. Insbesondere gilt für ein symmetrisches Polynom h ∈ K[x_{1}, …, x_{n}] ∩ K(C_{1}, …, C_{n}) das Folgende: h = hx_{1}^{0} … x_{n}^{0}, also ist h ∈ K[C_{1}, …, C_{n}]. □

Satz 10.13. Sei K ein Körper und sei K(x_{1}, …, x_{n}) der Körper der rationalen Funktionen in x_{1}, …, x_{n}. Das allgemeine Polynom

f(z) = z^{n} − x_{1}z^{n−1} + x_{2}z^{n−2} − … + (−1)^{n}x_{n}

ist separabel und irreduzibel über K(x_{1}, …, x_{n}). Die Galoisgruppe von f(z) über K(x_{1}, …, x_{n}) ist die symmetrische Gruppe S_{n}, die auf den Nullstellen von f(z) durch Permutationen operiert.

Beweis. Seien v_{1}, …, v_{n} die Nullstellen von f(z) über K(x_{1}, …, x_{n}), so daß f(z) = (z − v_{1})(z − v_{2}) … (z − v_{n}). Dann sind die x_{i} elementarsymmetrische Polynome in den v_{i}, also x_{1} = ∑_{i} v_{i}, x_{2} = ∑_{i<k} v_{i}v_{k}, …, x_{n} = v_{1}v_{2} … v_{n}. Insbesondere ist K(x_{1}, …, x_{n}) ⊆ K(x_{1}, …, x_{n})(v_{1}, …, v_{n}) = K(v_{1}, …, v_{n}). Sei K(y_{1}, …, y_{n}) der Körper der rationalen Funktionen in y_{1}, …, y_{n} und seien die C_{i} die elementarsymmetrischen Polynome in den y_{i}. Wir definieren einen Ringhomomorphismus

K[x_{1}, …, x_{n}] ⟶ K[C_{1}, …, C_{n}] ⊆ K[y_{1}, …, y_{n}]

durch Einsetzen x_{i} ↦ C_{i}. Diese Abbildung ist injektiv. Sei nämlich p ∈ K[x_{1}, …, x_{n}] mit p(C_{1}, …, C_{n}) = 0 gegeben. Dann ist

p(∑_{i} y_{i}, ∑_{i<k} y_{i}y_{k}, …, y_{1}y_{2} … y_{n}) = 0.

Da die y_{i} Unbestimmte sind, können wir die Nullstellen v_{i} für die y_{i} einsetzen und erhalten einen Ringhomomorphismus K[y_{1}, …, y_{n}] ∋ y_{i} ↦ v_{i} ∈ K[v_{1}, …, v_{n}], also insgesamt einen Ringhomomorphismus

K[x_{1}, …, x_{n}] ⟶ K[C_{1}, …, C_{n}] ⊆ K[y_{1}, …, y_{n}] ⟶ K[v_{1}, …, v_{n}].

Dann gilt

p(x_{1}, …, x_{n}) = p(∑_{i} v_{i}, ∑_{i<k} v_{i}v_{k}, …, v_{1}v_{2} … v_{n}) = 0.

Damit ist K[x_{1}, …, x_{n}] ⟶ K[C_{1}, …, C_{n}] injektiv und nach Definition auch surjektiv. Dieses definiert einen Körperisomorphismus Φ : K(x_{1}, …, x_{n}) ≅ K(C_{1}, …, C_{n}). Dabei ist Φ(f(z)) = g(z) = (z − y_{1})(z − y_{2}) … (z − y_{n}). Damit sind auch die Zerfällungskörper K(v_{1}, …, v_{n}) ≅ K(y_{1}, …, y_{n}) mit einer Fortsetzung von Φ isomorph. Insbesondere ist mit g (nach Folgerung 10.10) auch f separabel und irreduzibel mit der Galoisgruppe S_{n}. □

Folgerung 10.14. Φ : K[x_{1}, …, x_{n}] ⟶ K[C_{1}, …, C_{n}] mit Φ(x_{i}) = C_{i} ist ein Isomorphismus. Insbesondere sind die C_{i} transzendent über K(C_{1}, …, C_{i−1}).

Definition 10.15. Sei f ∈ K[x] ein Polynom vom Grad n mit n verschiedenen Nullstellen u_{1}, …, u_{n} im Zerfällungskörper F. Sei die Charakteristik χ(K) ≠ 2. Sei

Δ := ∏_{i<j}(u_{i} − u_{j}) = (u_{1} − u_{2}) · (u_{1} − u_{3}) · . . . · (u_{n−1} − u_{n}) ∈ F.

Die Diskriminante von f ist D := Δ^{2}.

Folgerung 10.16. Sei K ein Körper mit χ(K) ≠ 2. Dann ist die Galoisgruppe des allgemeinen Polynoms

f(z) = z^{n} − x_{1}z^{n−1} + x_{2}z^{n−2} − … + (−1)^{n}x_{n}

über dem Körper K(x_{1}, …, x_{n}, Δ) die alternierende Gruppe A_{n}.

Beweis. Der Ausdruck Δ bleibt fix unter allen geraden Permutationen, weil eine gerade Anzahl von Vorzeichenwechseln auftritt. Unter ungeraden Permutationen wechselt er das Vorzeichen. Also ist K(x_{1}, …, x_{n}) ⫋ K(x_{1}, …, x_{n}, Δ) ⫋ K(u_{1}, …, u_{n}), dem Zerfällungskörper von f und K(x_{1}, …, x_{n}, Δ) ist im Fixkörper von A_{n} enthalten, da die x_{i} elementarsymmetrische Polynome sind. Dann ist (n!)/2 = |A_{n}| ≤ [K(u_{1}, …, u_{n}) : K(x_{1}, …, x_{n}, Δ)] < n!, also |A_{n}| = [K(u_{1}, …, u_{n}) : K(x_{1}, …, x_{n}, Δ)], und damit ist K(x_{1}, …, x_{n}, Δ) Fixkörper von A_{n}. □

11. Die Galoisgruppe von Polynomen niedrigen Grades

Definition 11.1. Die Galoisgruppe eines separablen Polynoms f ∈ K[x] ist Aut(F/K) für den Zerfällungskörper F von f über K.

Definition 11.2. Eine Untergruppe U ⊆ S_{n} heißt transitiv, wenn für alle i ≠ j, 1 ≤ i, j ≤ n ein σ ∈ S_{n} mit σ(i) = j existiert.

Satz 11.3. Sei f ∈ K[x] ein irreduzibles, separables Polynom vom Grad n mit Galoisgruppe G. Dann gilt n/|G|, und G ist eine transitive Untergruppe von S_{n}.

Beweis. Seien u_{1}, …, u_{n} die Nullstellen von f im Zerfällungskörper F von f. Sei σ ∈ G. Dann ist σ(u_{i}) Nullstelle von f. Also induziert σ eine Permutation von {u_{1}, …, u_{n}}, und wir bekommen G ⟶ S_{n}. Es ist F = K(u_{1}, …, u_{n}). Daher gibt es für σ ≠ τ ein u_{i} mit σ(u_{i}) ≠ τ(u_{i}). Damit ist G ⟶ S_{n} injektiv und wir können G als Untergruppe von S_{n} betrachten. Damit ist [K(u_{1}) : K] = Grad(f) = n ein Teiler von [F : K] = |G|. Für u_{i} ≠ u_{j} gilt K(u_{i} ≅ K(u_{j}) über K. Es gibt eine Fortsetzung zu σ : F ⟶ F mit σ(u_{i}) = u_{j}. Daher ist G transitiv. □

Satz 11.4. Sei f ∈ K[x] ein irreduzibles, separables Polynom vom Grad 2. Dann ist S_{2} die Galoisgruppe von f.

Beweis. klar. □

Satz 11.5. Seien K, F, f und Δ wie in Definition 10.15. Dann gelten (1) D ∈ K,

(2) σ ∈ G ⊆ S_{n} ist genau dann gerade (ungerade), wenn σ(Δ) = Δ (σ(Δ) = −Δ).

Beweis. Es ist sgn(σ) = \frac{∏(u_{i}−u_{j})}{∏(σ(u_{i})−σ(u_{j}))} (ähnlich wie sgn(σ) = \frac{∏(i−j)}{∏(σ(i)−σ(j))}). Daraus folgt Δ = sgn(σ)σ(Δ) und damit (2). Weiter folgt σ(Δ^{2}) = sgn(σ)^{2}Δ^{2} = Δ^{2}, also Δ^{2} ∈ K. □

Folgerung 11.6. Aut(F/K(Δ)) = G ∩ A_{n}. Insbesondere gilt

G ⊆ A_{n} ⟺ Δ ∈ K.

Beweis. σ ∈ Aut(F/K(Δ)) dann und nur dann, wenn σ(Δ) = Δ dann und nur dann, wenn σ ∈ A_{n}. □

Folgerung 11.7. Sei f ∈ K[x] ein irreduzibles, separables Polynom vom Grad 3. Dann ist die Galoisgruppe von f entweder S_{3} oder A_{3}. Wenn die Charakteristik χ(K) ≠ 2, dann ist die Galoisgruppe A_{3} genau dann, wenn D in K ein Quadrat ist.

Satz 11.8. (Reduzierung von Polynomen 3-ten Grades) Sei χ(K) ≠ 2, 3. Sei f = x^{3} + bx^{2} + cx + d ∈ K[x] irreduzibel und separabel. Dann ist

g(x) := f(x − \frac{b}{3}) = x^{3} + px + q

irreduzibel und separabel und

D(f) = D(g) = −4p^{3} − 27q^{2}

mit p = −\frac{b^{2}}{3} + c, q = \frac{2b^{3}}{27} − \frac{bc}{3} + d.

Beweis. Sei F der Zerfällungskörper von f. u ist eine Nullstelle von f genau dann, wenn u + \frac{b}{3} eine Nullstelle von g ist. Also ist D(f) = D(g). Es ist

g(x) = (x − \frac{b}{3})^{3} + b(x − \frac{b}{3})^{2} + c(x − \frac{b}{3}) + d
= x^{3} − bx^{2} + \frac{b^{2}}{3} x − \frac{b^{3}}{27} + bx^{2} − 2\frac{b^{2}}{3} x + \frac{b^{3}}{9} + cx − \frac{bc}{3} + d
= x^{3} + (−\frac{b^{2}}{3} + c)x + (\frac{2b^{3}}{27} − \frac{bc}{3} + d)
= x^{3} + px + q.

Seien v_{1}, v_{2}, v_{3} Nullstellen von g in F. Dann ist (x − v_{1})(x − v_{2})(x − v_{3}) = x^{3} + px + q, also v_{1} + v_{2} + v_{3} = 0, v_{1}v_{2} + v_{1}v_{3} + v_{2}v_{3} = p und −v_{1}v_{2}v_{3} = q. Aus der Nullstellen-Eigenschaft folgt v_{i}^{3} = −pv_{i} − q, also durch mühevolles Nachrechnen D(g) = Δ^{2} = −4p^{3} − 27q^{2}. □

Beispiele 11.9. (1) x^{3} − 3x + 1 ∈ ℚ[x] ist irreduzibel, weil es keine Nullstelle in ℚ gibt.

D = +4 · 27 − 27 · 1 = 81 = 9^{2} in ℚ. Also ist Gal(x^{3} − 3x + 1) = A_{3}.

(2) x^{3} + 3x^{2} − x − 1 ∈ ℚ[x] ist irreduzibel, weil es keine Nullstelle in ℚ gibt. g(x) = f(x − \frac{3}{3}) = (x − 1)^{3} + 3(x − 1)^{2} − (x − 1) − 1 = x^{3} − 4x + 2 ist ebenfalls irreduzibel (auch Eisenstein möglich). D = 4 · 64 − 27 · 4 = 148 ist kein Quadrat in ℚ. Also ist Gal(x^{3} − 3x + 1) = S_{3}.

Wir studieren nun Polynome vom Grad 4.

Übung 11.10. Die Menge V = {(1), (12)(34), (13)(24), (14)(23)} ⊆ S_{4} ist eine normale Untergruppe, die isomorph zur Kleinschen Vierergruppe ℤ_{2} × ℤ_{2} ist. Ist G ⊆ S_{4} eine Untergruppe, so ist V ∩ G eine normale Untergruppe von G.

Definition 11.11. Sei im folgenden K ein Körper, f ∈ K[x] ein Polynom 4-ten Grades mit paarweise verschiedenen Nullstellen u_{1}, u_{2}, u_{3}, u_{4} im Zerfällungskörper L von f und G = Aut(L/K). Dann ist G ⊆ S_{4}. Seien im folgenden

α := u_{1}u_{2} + u_{3}u_{4},
β := u_{1}u_{3} + u_{2}u_{4},
γ := u_{1}u_{4} + u_{2}u_{3}.

Das Polynom (x − α)(x − β)(x − γ) wird kubische Resovente genannt. Es liegt, wie wir in Lemma 11.13 sehen werden, in K[x].

Lemma 11.12. Seien K, f, L, u_{i}, V, α, β, γ und G = Aut(L/K) wie zuvor. Unter der Galois-Korrespondenz des Hauptsatzes der Galois-Theorie entspricht der Körper K(α, β, γ) der Untergruppe V ∩ G. Insbesondere ist K(α, β, γ) galoissch über K mit der Galoisgruppe Aut(K(α, β, γ)/K) ≅ G/(V ∩ G).

Beweis. Jedes Element von V ∩ G läßt α, β, γ fest. Also wird K(α, β, γ) durch die Elemente von V ∩ G fest gelassen. Es bleibt zu zeigen, daß jedes Element außerhalb von V mindestens eines der α, β, γ nicht fest läßt. Wir zeigen das an dem Beispiel σ = (12). Wenn σ(β) = β, dann ist u_{2}u_{3} + u_{1}u_{4} = u_{1}u_{3} + u_{2}u_{4}, also ist u_{2}(u_{3} − u_{4}) = u_{1}(u_{3} − u_{4}). Das kann nicht sein, da u_{1} ≠ u_{2} und u_{3} ≠ u_{4}. Also ist σ(β) ≠ β. Die anderen Fälle werden ähnlich behandelt. □

Lemma 11.13. Sei f = x^{4} + bx^{3} + cx^{2} + dx + e ∈ K[x]. Dann ist die kubische Resolvente von f das Polynom x^{3} − cx^{2} + (bd − 4e)x − b^{2}e + 4ce − d^{2} ∈ K[x].

Beweis. f hat die Nullstellen u_{1}, u_{2}, u_{3}, u_{4} in einem Zerfällungskörper L. Also ist f = (x − u_{1})(x − u_{2})(x − u_{3})(x − u_{4}) = x^{4} − (u_{1} + u_{2} + u_{3} + u_{4})x^{3} + (u_{1}u_{2} + u_{1}u_{3} + u_{1}u_{4} + u_{2}u_{3} + u_{2}u_{4} + u_{3}u_{4})x^{2} − (u_{1}u_{2}u_{3} + u_{1}u_{2}u_{4} + u_{1}u_{3}u_{4} + u_{2}u_{3}u_{4})x + u_{1}u_{2}u_{3}u_{4}, also

b = −(u_{1} + u_{2} + u_{3} + u_{4}),
c = u_{1}u_{2} + u_{1}u_{3} + u_{1}u_{4} + u_{2}u_{3} + u_{2}u_{4} + u_{3}u_{4},
d = −(u_{1}u_{2}u_{3} + u_{1}u_{2}u_{4} + u_{1}u_{3}u_{4} + u_{2}u_{3}u_{4}),
e = u_{1}u_{2}u_{3}u_{4}.

Das Polynom (x − α)(x − β)(x − γ) hat dann die Form

(x − u_{1}u_{2} − u_{3}u_{4})(x − u_{1}u_{3} − u_{2}u_{4})(x − u_{1}u_{4} − u_{2}u_{3}) = x^{3} − (u_{1}u_{2} + u_{3}u_{4} + u_{1}u_{3} + u_{2}u_{4} + u_{1}u_{4} + u_{2}u_{3})x^{2}

+(u_{1}u_{2}u_{1}u_{3} + u_{1}u_{2}u_{2}u_{4} + u_{3}u_{4}u_{1}u_{3} + u_{3}u_{4}u_{2}u_{4} + u_{1}u_{2}u_{1}u_{4} + u_{1}u_{2}u_{2}u_{3} + u_{3}u_{4}u_{1}u_{4} + u_{3}u_{4}u_{2}u_{3}

+u_{1}u_{3}u_{1}u_{4} + u_{1}u_{3}u_{2}u_{3} + u_{2}u_{4}u_{1}u_{4} + u_{2}u_{4}u_{2}u_{3})x −(u_{1}u_{2}u_{1}u_{3}u_{1}u_{4} + u_{1}u_{2}u_{1}u_{3}u_{2}u_{3} + u_{1}u_{2}u_{2}u_{4}u_{1}u_{4} + u_{1}u_{2}u_{2}u_{4}u_{2}u_{3}

+u_{3}u_{4}u_{1}u_{3}u_{1}u_{4} + u_{3}u_{4}u_{1}u_{3}u_{2}u_{3} + u_{3}u_{4}u_{2}u_{4}u_{1}u_{4} + u_{3}u_{4}u_{2}u_{4}u_{2}u_{3}) = x^{3} − cx^{2} + (bd − 4e)x − b^{2}e + 4ce − d^{2}.

□

Bemerkung 11.14. Wir verwenden Satz 11.3. Wenn f vom Grad 4 ist, dann muß G die Ordnung 4, 8, 12 oder 24 haben. Die einzigen transitiven Untergruppen von S_{4} der Ordnung 4, 12 und 24 sind V ≅ ℤ_{2} × ℤ_{2} und die zyklischen Untergruppen der Ordnung 4, die von 4-Zyklen erzeugt werden, A_{4} und S_{4}. Eine Untergruppe der Ordnung 8 ist eine 2-Sylow-Untergruppe, also bis auf Isomorphie eindeutig bestimmt. Eine Untergruppe der Ordnung 8 wird von (1234) und (24) erzeugt und ist isomorph zur Diedergruppe D_{4}. Weil (1234) in der Gruppe liegt, ist sie transitiv. D_{4} ist keine normale Untergruppe von S_{4}, also gibt es nach den Sylowschen Sätzen genau 3 zu D_{4} isomorphe Untergruppen, alle von der Ordnung 8 und transitiv. Wir wollen Kriterien für f angeben, wann diese Untergruppen als Galoisgruppen auftreten. Satz 11.15. Sei K ein Körper und f ∈ K[x] ein irreduzibles separables Polynom 4-ten Grades mit Galoisgruppe G(⊆ S_{4}). Seien α, β, γ die Nullstellen der kubischen Resolvente und sei m := [K(α, β, γ) : K]. Dann gelten

(1) m = 6 ⟺ G = S_{4};

(2) m = 3 ⟺ G = A_{4};

(3) m = 1 ⟺ G = V;

(4) m = 2 ⟺ G ≅ D_{4} oder G ≅ ℤ_{4}. In diesem Falle gilt: (a) G ≅ D_{4} ⟺ f irreduzibel über K(α, β, γ),

(b) G ≅ ℤ_{4} ⟺ f reduzibel über K(α, β, γ). Beweis. Da K(α, β, γ) Zerfällungskörper eines Polynoms dritten Grades ist, kommen nur m = 1, 2, 3 und 6 in Frage. Also genügt es jeweils die Richtung ⇐ zu zeigen. Man beachte, daß m = [K(α, β, γ) : K] = |G/(G ∩ V)|. Sei G = S_{4}. Dann ist |S_{4}/V | = 6. Sei G = A_{4}. Dann ist G ∩ V = V und m = |G/V | = 3. Sei G = V. Dann ist G ∩ V = G und m = |G/G| = 1. Sei G ≅ D_{4}. Dann ist G ∩ V = V, weil V als normale Untergruppe in jeder 2-Sylow Untergruppe von S_{4} enthalten ist. Also gilt m = |G/V | = 2. Sei G ≅ ℤ_{4}. Dann wird G durch einen 4-Zyklus erzeugt. Das Quadrat muß in V liegen, so daß |G ∩ V | = 2 ist. Also ist m = |G/(G ∩ V)| = 2. Sei G ≅ D_{4} und damit G ∩ V = V. Seien u_{1}, u_{2}, u_{3}, u_{4} die Nullstellen von f in einem Zerfällungskörper L. Da V = G ∩ V = Aut(L/K(α, β, γ)) transitiv auf den Nullstellen operiert, gibt es für jedes i ≠ j ein σ ∈ G ∩ V mit σ : K(α, β, γ)(u_{i}) ≅ K(α, β, γ)(u_{j}) und σ(u_{i}) = u_{j} und K(α, β, γ) fix unter der Operation von σ. Also sind u_{i} und u_{j} Nullstellen desselben Minimalpolynoms über K(α, β, γ). Damit ist f irreduzibel über K(α, β, γ). Sei G ≅ ℤ_{4}. Dann hat G ∩ V = Aut(L/K(α, β, γ) die Ordnung 2 und ist nicht transitiv auf den Nullstellen von f. Also gibt es i ≠ j, so daß es kein σ ∈ G ∩ V gibt mit σ(u_{i}) = u_{j}. Da L Zerfällungskörper von f über K(α, β, γ)(u_{i}) und auch über K(α, β, γ)(u_{j}) ist, würde ein Isomorphismus K(α, β, γ)(u_{i}) ≅ K(α, β, γ)(u_{j}), der auf K(α, β, γ) die Identität ist und u_{i} nach u_{j} abbildet, eine Fortsetzung zu einem Automorphismus aus Aut(L/K(α, β, γ)) = G∩V ergeben. Das ist nicht möglich. Also können u_{i} und u_{j} nicht Nullstellen desselben irreduziblen Polynoms in K(α, β, γ)[x] sein. Folglich ist f über K(α, β, γ) reduzibel. □ Beispiele 11.16. (1) Das Polynom f = x^{4} + 4x^{2} + 2 ∈ ℚ[x] ist separabel und nach

Eisenstein irreduzibel. Die kubische Resolvente ist x^{3}−4x^{2}−8x+32 = (x−4)(x^{2}−8), so daß α = 4, β = \sqrt{8}, γ = −\sqrt{8}. Weiter hat ℚ(α, β, γ) = ℚ(\sqrt{8}) = ℚ(2\sqrt{2}) = ℚ(\sqrt{2}) den Körpergrad 2 über ℚ. Also ist die Galoisgruppe D_{4} oder ℤ_{4}. Mit der Substitution z := x^{2} ist f = z^{2}+4z+2 mit den Nullstellen z_{1,2} = −2±\sqrt{2}. Also sind die Nullstellen von f

x_{1,2,3,4} = ±\sqrt{z_{1,2}} = ±\sqrt{−2 ± \sqrt{2}}.

Es folgt

\begin{matrix}f = (x − \sqrt{−2 + \sqrt{2}})(x + \sqrt{−2 + \sqrt{2}})(x − \sqrt{−2 − \sqrt{2}})(x + \sqrt{−2 − \sqrt{2}}) \\ = (x^{2} − (−2 + \sqrt{2}))(x^{2} − (−2 − \sqrt{2})) ∈ ℚ(\sqrt{2})[x]. \end{matrix}

Also ist f über ℚ(\sqrt{2})[x] reduzibel. Damit ist ℤ_{4} die Galoisgruppe von f.

(2) Das Polynom f = x^{4}−2 ∈ ℚ[x] ist separabel und irreduzibel. Die kubische Resolvente ist x^{3} + 8x = x(x + 2\sqrt{2}i)(x − 2\sqrt{2}i) und ℚ(α, β, γ) = ℚ(\sqrt{2}i) hat den Grad 2 über ℚ.

12. Kreisteilungskörper

Problem 12.1. Man zerfälle das Polynom x^{n} − 1. Die Nullstellen über ℚ liegen auf dem komplexen Einheitskreis |z| = 1 in ℂ: z = r·e^{iφ}, 1 = z^{n} = r^{n}e^{inφ}. Es folgt r^{n} = 1 und r ∈ ℝ^{+}, also r = 1 und daher |z| = 1. x^{n} − 1 ist offenbar reduzibel. Welches sind die irreduziblen Faktoren? Betrachte x^{n} − a = 0 mit Nullstelle u. Dann ist u^{n} = a. Ist ζ Nullstelle von x^{n} − 1, so ist (ζu)^{n} = a, d.h. ζu ist weitere Nullstelle von x^{n} − a = 0.

Definition 12.2. • Eine Nullstelle ζ (im Zerfällungskörper K_{n}) von x^{n} − 1 heißt eine

n-te Einheitswurzel.

• Die n-ten Einheitswurzeln in K bilden die Gruppe E_{n}(K) der n-ten Einheitswurzeln in K. Diese ist endlich und zyklisch (als endliche multiplikative Untergruppe von K). Sie hat höchstens die Ordnung n.

• Für χ(K) = p−̸n sind x^{n} − 1 und nx^{n−1} teilerfremd, also hat x^{n} − 1 in K_{n} n verschiedene Nullstellen. Ein Erzeugendenelement von E_{n}(K_{n}) hat in diesem Falle die Ordnung n.

• Eine primitive n-te Einheitswurzel ist eine n-te Einheitswurzel, die die Ordnung n hat. Sie ist ein Erzeugendenelement von E_{n}(K), wenn sie in E_{n}(K) liegt.

• Die Menge der primitiven n-ten Einheitswurzeln über K sei P E_{n}(K).

• Sei χ(K) = p−̸n. Dann wird K_{n}, der Zerfällungskörper von x^{n} − 1 über K, von einer primitiven n-ten Einheitswurzel über K erzeugt: K_{n} = K(ζ) und heißt n-ter Kreisteilungskörper über K. Es gilt P E_{n}(K) ⊆ E_{n}(K_{n}).

• Für χ(K) = p/n ist x^{n} − 1 = x^{mp} − 1^{p} = (x^{m} − 1)^{p}. Dann stimmen E_{m}(K) und E_{n}(K) überein.

• Wir setzen o.B.d.A. im folgenden voraus p−̸n.

Definition 12.3. Für n ∈ ℕ sei φ(n) die Anzahl der natürlichen Zahlen 1 ≤ m ≤ n, die zu n teilerfremd sind. φ : ℕ \ {0} ⟶ ℕ heißt Eulersche φ-Funktion.

Satz 12.4. (1) ∀n ∈ ℤ \ {0} : (ℤ/nℤ)^{∗} = {m + nℤ|(m, n) = 1}; (2) φ(n) = Ord(ℤ/nℤ)^{∗};

(3) (m, n) = 1 ⟹ φ(mn) = φ(m)φ(n);

(4) n = p_{1}^{t_{1}} · . . . · p_{r}^{t_{r}} ⟹ φ(n) = n · (1 − \frac{1}{p_{1}} ) · . . . · (1 − \frac{1}{p_{r}});

(5) n = ∑_{d/n} φ(d).

Beweis. (1) \overline{m} ∈ (ℤ/nℤ)^{∗} ⟺ ∃m′ : n/mm′ − 1 ⟺ ∃m′, n′ : mm′ + nn′ = 1 ⟺ (m, n) = 1.

(2) klar.

(3) (m, n) = 1 ⟹ mℤ+nℤ = ℤ und mℤ∩nℤ = mnℤ. Nach dem chinesischen Restsatz folgt ℤ/(mnℤ) ≅ ℤ/mℤ × ℤ/nℤ, also (ℤ/(mnℤ))^{∗} ≅ (ℤ/mℤ × ℤ/nℤ)^{∗} ≅ (ℤ/mℤ)^{∗} × (ℤ/nℤ)^{∗}. Das ergibt die Behauptung.

(4) Für p^{k} ist p^{k−1} die Anzahl der Zahlen ≤ p^{k}, die nicht teilerfremd zu p^{k} sind, nämlich p, 2p, …, p^{k−1}p. Also ist φ(p^{k}) = p^{k}−p^{k−1} = p^{k}(1−\frac{1}{p}). Die Behauptung folgt durch Induktion.

(5) folgt aus 12.7. □

Folgerung 12.5. Sei n ∈ ℕ und a ∈ ℤ mit (a, n) = 1. Dann ist

a^{φ(n)} ≡ 1 mod (n).

Beweis. Folgt unmittelbar aus Satz 12.4 (2) und dem Satz von Euler 4.24. □

Folgerung 12.6 (Kleiner Fermatscher Satz (1640)). Sei p eine Primzahl und p ∤ a ∈ ℤ. Dann ist

a^{p−1} ≡ 1 mod (p).

Für alle a ∈ ℤ ist

a^{p} ≡ a mod (p).

Beweis. Es ist φ(p) = p − 1. □

Bemerkung 12.7. (über Einheitswurzeln):

(1) Sei ζ ∈ P E_{n}(K) und χ(K)−̸n, m ∈ ℕ. Dann gilt ζ^{m} ∈ P E_{n}(K) ⟺ (m, n) = 1.

(2) χ(K)−̸n ⟹ |P E_{n}(K)| = φ(n).

(3) d/n, d > 0 ⟹ E_{d}(K) ⊆ E_{n}(K) und P E_{d}(K) = {ζ ∈ E_{n}(K)| Ord(ζ) = d}.

(4) Die Mengen P E_{d}(K) mit d/n sind paarweise disjunkt und E_{n}(K_{n}) = ˙∪_{d/n}P E_{d}(K).

(5) n = ∑_{d/n} φ(d).

Definition 12.8. Sei χ(K)−̸n. Für {ζ_{1}, …, ζ_{φ(n)}} = P E_{n}(K) heißt

Φ_{n}(x) := (x − ζ_{1}) · . . . · (x − ζ_{φ(n)})

das n-te Kreisteilungspolynom.

Satz 12.9. Sei χ(K)−̸n. Dann gelten:

(1) Φ_{n}(x) hat Koeffizienten in ℤ bzw. in GF (p) = 𝔽_{p}.

(2) x^{n} − 1 = ∏_{d/n} Φ_{d}(x).

Beweis. (2) folgt aus 12.7 (4).

(1) Induktion nach n: n = 1: x^{1} − 1 = Φ_{1}(x) ∈ R[x] mit R = ℤ, 𝔽_{p}. Gelte (1) für alle d/n, d < n, χ(K)−̸d. Dann folgt x^{n}−1 = Φ_{n}(x) ∏_{d/n,d<n} Φ_{d}(x). ∏_{d/n,d<n} Φ_{d}(x) hat höchsten Koeffizienten 1. Damit ist Division mit Rest in R[x] möglich:

Φ_{n}(x) = (x^{n} − 1) : ( ∏_{d/n,d<n} Φ_{d}(x)) ∈ R[x],

weil in K_{n}[x] kein Rest bleibt. □

Beispiele 12.10. Sei K = ℚ. Dann ist Φ_{1}(x) = x − 1,

Φ_{2}(x) = x + 1,
Φ_{3}(x) = (x^{3} − 1) : (x − 1) = x^{2} + x + 1,
Φ_{4}(x) = (x^{4} − 1) : [(x − 1)(x + 1)] = x^{2} + 1,
Φ_{5}(x) = (x^{5} − 1) : (x − 1) = x^{4} + x^{3} + x^{2} + x + 1,
Φ_{6}(x) = (x^{6} − 1) : [(x − 1)(x + 1)(x^{2} + x + 1)] = x^{2} − x + 1,
Φ_{12}(x) = (x^{12} − 1) : [(x − 1)(x + 1)(x^{2} + x + 1)(x^{2} + 1)(x^{2} − x + 1)] = x^{4} − x^{2} + 1.

Definition 12.11. Eine galoissche Körpererweiterung heißt abelsch, wenn Aut(F/K) abelsch ist. Eine galoissche Körpererweiterung heißt zyklisch, wenn Aut(F/K) zyklisch ist.

Satz 12.12. Sei χ(K)−̸n. Dann gibt es einen Monomorphismus

Aut(K_{n}/K) ⟶ (ℤ/nℤ)^{∗}.

Insbesondere ist Aut(K_{n}/K) abelsch. Also ist K_{n} über K eine abelsche Körpererweiterung.

Beweis. Sei σ ∈ Aut(K_{n}/K). Dann gilt σ(E_{n}(K_{n})) = E_{n}(K_{n}). Damit ist σ ∈ Gr - Aut(E_{n}(K_{n})). Das definiert einen Homomorphismus Aut(K_{n}/K) ⟶ Gr - Aut(E_{n}(K_{n})). Dieser Homomorphismus ist injektiv, weil K_{n} = K(E_{n}(K_{n})). Nun ist E_{n}(K_{n}) ≅ ℤ/nℤ, also ist Gr - Aut(E_{n}(K_{n})) ≅ Gr - Aut(ℤ/nℤ) ≅ (ℤ/nℤ)^{∗} eine abelsche Gruppe, denn τ : ℤ/nℤ ⟶ ℤ/nℤ wird beschrieben durch τ(\overline{1}) = \overline{r} und ist bijektiv genau dann, wenn \overline{r} ∈ (ℤ/nℤ)^{∗}. □

Folgerung 12.13. Ist n prim und n ≠ χ(K), so ist Aut(K_{n}/K) zyklisch. Also ist K_{n} über K eine zyklische Körpererweiterung.

Beweis. Aut(K_{n}/K) ≅ (ℤ/nℤ)^{∗} ≅ 𝔽_{n}^{∗} ist zyklisch. □

Satz 12.14. Sei ℚ_{n} ⊇ ℚ gegeben. Dann gelten:

(1) Φ_{n}(x) ist irreduzibel in ℚ[x].

(2) [ℚ_{n} : ℚ] = φ(n).

(3) Aut(ℚ_{n}/ℚ) ≅ (ℤ/nℤ)^{∗}.

Beweis. (1) Sei ζ ∈ P E_{n}(ℚ) gegeben, und sei f das Minimalpolynom von ζ in ℚ[x]. Behauptung: f(ζ^{p}) = 0 für alle p prim, p−̸n. Beweis: Es ist ζ^{n} = 1. Da f Minimalpolynom von ζ ist, folgt x^{n} − 1 = f · g. Also gibt es (nach Satz 10.3) f^{∗}, g^{∗} ∈ ℤ[x] primitiv mit x^{n} − 1 = r · f^{∗} · g^{∗} ∈ ℤ[x] und r ∈ ℤ. Der höchste Koeffizient von x^{n} − 1 ist 1, also ist r = 1 und damit x^{n} − 1 = f^{∗} · g^{∗} in ℤ[x]. Weiterhin sind die höchsten Koeffizienten von f^{∗} und g^{∗} ebenfalls 1 und damit f^{∗} = f und g^{∗} = g. Angenommen: f(ζ^{p}) ≠ 0. Dann ist g(ζ^{p}) = 0, also ist ζ Nullstelle von g(x^{p}). Da f Minimalpolynom von ζ ist, folgt g(x^{p}) = f(x)h(x) in ℚ[x]. Division mit Rest in ℤ[x] ergibt g(x^{p}) = f(x)h_{1}(x) + r_{1}(x). Wegen der Eindeutigkeit der Division in ℚ[x] folgt h_{1}(x) = h(x) und r_{1}(x) = 0. Also ist h(x) ∈ ℤ[x]. Unter der kanonischen Abbildung ℤ[x] ⟶ ℤ/pℤ[x] = 𝔽_{p}[x] gilt \overline{g}(x^{p}) = \overline{f}(x)\overline{h}(x). Da g = g^{∗} primitiv in ℤ[x] ist, ist \overline{g}(x) ≠ 0 in 𝔽_{p}[x]. Weiter gilt \overline{g}(x^{p}) = (\overline{g}(x))^{p} in 𝔽_{p}[x], da die Koeffizienten des Polynoms \overline{g}(x) unter der p-ten Potenz (Frobeniushomomorphismus Φ : 𝔽_{p}[x] ⟶ 𝔽_{p}[x]) fest bleiben. Also folgt (\overline{g}(x))^{p} = \overline{f}(x)\overline{h}(x) in 𝔽_{p}[x]. Damit haben \overline{f}(x) und \overline{g}(x) einen nicht trivialen gemeinsamen Teiler (\overline{f}(x), \overline{g}(x)) ≠ 1 in 𝔽_{p}[x]. Es folgt, daß x^{n} − \overline{1} = \overline{f}(x)\overline{g}(x) mehrfache Nullstellen in einem Erweiterungskörper von 𝔽_{p} hat im Widerspruch zu (x^{n} − \overline{1})′ = \overline{n}x^{n−1} ≠ 0 wegen p−̸n.

Also gilt f(ζ^{p}) = 0. Behauptung: Φ_{n}(x) ist irreduzibel in ℤ[x]. Beweis: ε ∈ P E_{n}(ℚ) genau dann, wenn es ein m gibt mit ε = ζ^{n}, (m, n) = 1. Sei m = p_{1} · . . . · p_{r}, dann ist (p_{i}, n) = 1 für alle i, also ist f(ζ^{p_{i}}) = 0. Daraus folgt f(ζ^{p_{1}...p_{r}}) = f((ζ^{p_{1}})^{p_{2}...p_{r}}) = 0, weil ζ^{p_{1}} ∈ P E_{n}(ℚ) und f Minimalpolynom von ζ^{p_{1}} ist. In der Tat ist f irreduzibel, normiert und f(ζ^{p_{1}}) = 0. Durch Induktion folgt f(ε) = f(ζ^{p_{1}...p_{r}}) = 0. Also hat das irreduzible, normierte Polynom f mindestens die ε ∈ P E_{n}(ℚ) als Nullstellen und Φ_{n}(x) hat genau diese Nullstellen. Damit ist Φ_{n} = f.

(2) Es ist ℚ_{n} = ℚ(ζ) = ℚ(E_{n}(ℚ_{n})). Daher ist [ℚ_{n} : ℚ] gleich dem Grad des Minimalpolynoms von ζ = Grad(Φ_{n}) = φ(n).

(3) Daraus folgt | Aut(ℚ_{n}/ℚ)| = φ(n) = |(ℤ/nℤ)^{∗}| nach Satz 12.4 (2). Aus Satz 12.12 folgt nun die Behauptung. □

13. Zyklische Erweiterungen und Kummererweiterungen

Definition 13.1. Sei L : K eine galoissche Erweiterung mit Galoisgruppe Aut(L/K) = {σ_{1}, …, σ_{n}}. Die Norm eines Elements α ∈ L ist

N_{K}^{L}(α) := σ_{1}(α) · . . . · σ_{n}(α).

Die Spur eines Elements α ∈ L ist

T_{K}^{L}(α) := σ_{1}(α) + … + σ_{n}(α).

Offensichtlich gelten

N_{K}^{L}(αβ) = N_{K}^{L}(α)N_{K}^{L}(β)

und

T_{K}^{L}(α + β) = T_{K}^{L}(α) + T_{K}^{L}(β).

Satz 13.2 (Hilberts Theorem 90). Sei L eine zyklische Erweiterung von K vom Grad n , sei σ ein Erzeugendenelement von Aut(L/K), und sei α ∈ L. Dann sind äquivalent:

(1) N_{K}^{L}(α) = 1.

(2) Es gibt ein β ∈ L mit α = βσ(β)^{−1}.

Beweis. (1) ⟹ (2): N_{K}^{L}(α) = 1 impliziert α ≠ 0. Da die id, σ, …, σ^{n−1} über L linear unabhängig sind (Satz von Dedekind 1.12), gibt es ein γ ∈ L mit

β := α id(γ) + (ασ(α))σ(γ) + (ασ(α)σ^{2}(α))σ^{2}(γ) + … + (ασ(α) … σ^{n−1}(α))σ^{n−1}(γ) ≠ 0.

Der letzte Summand ist N_{K}^{L}(α)σ^{n−1}(γ) = σ^{n−1}(γ). Daher ist

σ(β) = σ(α)σ(γ) + σ(α)σ^{2}(α)σ^{2}(γ) + … + σ(α)σ^{2}(α) … σ^{n−1}(α)σ^{n−1}(γ) + σ^{n}(γ) = α^{−1}β.

Es folgt α = βσ(β)^{−1}, weil β ≠ 0 und daher σ(β) ≠ 0.

(2) ⟹ (1): Sei α = βσ(β)^{−1}. Es ist σ^{n}(β^{−1}) = β^{−1}, da σ die Ordnung n hat. Mit σ^{i}(βσ(β)^{−1})) = σ^{i}(β)σ^{i+1}(β)^{−1} folgt: N_{K}^{L}(α) = (βσ(β^{−1}))(σ(β)σ^{2}(β^{−1}))(σ^{2}(β)σ^{3}(β^{−1})) … (σ^{n−1}(β)σ^{n}(β^{−1})) = 1. □

Bemerkung 13.3. Die moderne Ausdrucksweise für Hilberts Theorem 90 ist:

H^{1}(Aut(L/K), L^{∗}) = 1.

Satz 13.4. Sei L eine zyklische Erweiterung von K vom Grad n, sei σ ein Erzeugendenelement von Aut(L/K), und sei α ∈ L. Dann sind äquivalent:

(1) T_{K}^{L}(α) = 0.

(2) Es gibt ein β ∈ L mit α = β − σ(β).

Beweis. (1) ⟹ (2): Da id, σ, …, σ^{n−1} über L linear unabhängig sind (Satz von Dedekind 1.12), gibt es ein γ ∈ L mit

T_{K}^{L}(γ) := id(γ) + σ(γ) + σ^{2}(γ) + … + σ^{n−1}(γ) ≠ 0.

Weiter ist σ(T_{K}^{L}(γ)) = T_{K}^{L}(γ), also T_{K}^{L}(γ) ∈ K. Wir erhalten σ(T_{K}^{L}(γ)^{−1}γ) = T_{K}^{L}(γ)^{−1}σ(γ). Für β := T_{K}^{L}(γ)^{−1}γ ist dann

T_{K}^{L}(β) = T_{K}^{L}(γ)^{−1}γ + T_{K}^{L}(γ)^{−1}σ(γ) + … + T_{K}^{L}(γ)^{−1}σ^{n−1}(γ) = T_{K}^{L}(γ)^{−1}T_{K}^{L}(γ) = 1.

Sei nun T_{K}^{L}(α) = 0. Wir setzen

δ := αβ +(α+σ(α))σ(β)+(α+σ(α)+σ^{2}(α))σ^{2}(β)+…+(α+σ(α)+…+σ^{n−2}(α))σ^{n−2}(β).

Aus 0 = T_{K}^{L}(α) = id(α)+σ(α)+σ^{2}(α)+…+σ^{n−1}(α) folgt α = −(σ(α)+σ^{2}(α)+…+σ^{n−1}(α)). Dann ist

δ − σ(δ) = αβ + ασ(β) + ασ^{2}(β) + … + ασ^{n−1}(β) = αT_{K}^{L}(β) = α.

(2) ⟹ (1): Sei α = β − σ(β). Dann ist T_{K}^{L}(β − σ(β)) = T_{K}^{L}(β) − T_{K}^{L}(σ(β)), also T_{K}^{L}(α) = T_{K}^{L}(β) − T_{K}^{L}(σ(β)) = β + σ(β) + … + σ^{n−1}(β) − σ(β) − σ^{2}(β) − … − σ^{n−1}(β) − β = 0. □

Bemerkung 13.5. Die moderne Ausdrucksweise für Satz 13.4 ist:

H^{1}(Aut(L/K), L^{+}) = 0.

Satz 13.6. Sei ζ ∈ K eine primitive n-te Einheitswurzel, und sei d mit d/n gegeben. Dann gelten

(1) η := ζ^{n/d} eine d-te primitive Einheitswurzel.

(2) Sei a ∈ K und α ≠ 0 eine Nullstelle von x^{d}−a in einem Erweiterungskörper L. Dann sind α, ηα, …, η^{d−1}α paarweise verschiedene Nullstellen von x^{d} − a in L. Weiterhin ist K(α) ein Zerfällungskörper von x^{d} − a und K(α) : K galoissch.

Beweis. (1) ζ erzeugt die zyklische Gruppe E_{n}(K_{n}) der Ordnung n. Dann ist (ζ^{n/d})^{d} = ζ^{n} = 1. Offenbar hat ζ^{n/d} die Ordnung d. Also ist η eine primitive d-te Einheitswurzel, und alle 1, η, η^{2}, …, η^{d−1} sind paarweise verschieden.

(2) Es sind α, ηα, …, η^{d−1}α genau alle Nullstellen von x^{d} − a. Also ist K(α) Zerfällungskörper von x^{d} − a. Weiter ist x^{d} − a separabel, weil alle Nullstellen verschieden sind. Damit ist K(α) : K galoissch. □

Satz 13.7. Sei ζ ∈ K eine primitive n-te Einheitswurzel (n ≠ 1) und L : K ein Erweiterungskörper. Dann sind äquivalent:

(1) L : K ist zyklisch vom Grad d mit d/n.

(2) L ist Zerfällungskörper eines Polynoms der Form x^{n} − a ∈ K[x]. Insbesondere ist L = K(α) für jede Nullstelle α von x^{n} − a.

(3) L ist Zerfällungskörper eines irreduziblen Polynoms der Form x^{d} − a ∈ K[x], wobei d/n. Insbesondere ist L = K(β) für jede Nullstelle β von x^{d} − a.

Beweis. (1) ⟹ (3): Aut(L/K) ist zyklisch von der Ordnung d = [L : K] mit d/n. Sei σ ein Erzeugendenelement von Aut(L/K). Sei η eine primitive d-te Einheitswurzel (in K). Dann ist N_{K}^{L}(η) = η^{d} = 1, also gibt es nach Hilberts Theorem 90 ein α ∈ L mit η = α^{−1}σ(α). Es folgt σ(α) = ηα und σ(α^{d}) = (ηα)^{d} = η^{d}α^{d} = α^{d}. Da L : K galoissch ist, gilt α^{d} ∈ K.

Damit ist α Nullstelle des Polynoms x^{d} −a mit a = α^{d}. Nach Satz 13.6 ist K(α)(⊆ L) Zerfällungskörper von x^{d} − a. Weiter sind die σ^{i}(α) = η^{i}α die paarweise verschiedenen Nullstellen von x^{d} − a, so daß σ^{i} : K(α) ≅ K(η^{i}α). Damit sind die σ^{i}(α) alle Nullstellen desselben Minimalpolynoms über K. x^{d} −a muß dieses Minimalpolynom sein und ist daher irreduzibel und es gilt [K(α) : K] = d.

(3) ⟹ (2): Sei α ∈ L eine Nullstelle von x^{d} − a ∈ K[x]. Dann ist K(α) = L Zerfällungskörper von x^{d} − a nach Satz 13.6. Es ist (ζα)^{n} = (α^{d})^{n/d} = a^{n/d} =: b und damit ζα Nullstelle von x^{n} − b. Nach Satz 13.6 ist K(ζα) Zerfällungskörper von x^{n} − b. Es ist aber K(α) = 𝕂(ζα), und damit gilt (2).

(2) ⟹ (1): Sei α Nullstelle von x^{n} − a. Nach Satz 13.6 ist L = K(α) galoissch über K. Jedes σ ∈ Aut(L/K) ist vollständig bestimmt durch den Wert σ(α), was auch eine Nullstelle von x^{n} − a ist. Als ist nach Satz 13.6 σ(α) = ζ^{i}α für ein geeignetes i ∈ {0, …, n − 1}. Seien σ, τ ∈ Aut(K(α)/K). Dann ist σ(α) = ζ^{i}α, τ(α) = ζ^{j}α, also στ(α) = σ(ζ^{j}α) = ζ^{i+j}α. Wir erhalten so einen Gruppenhomomorphismus φ : Aut(K(α)/K) ∋ σ ↦ \overline{i} ∈ ℤ/nℤ. Da σ ≠ τ impliziert \overline{i} ≠ \overline{j}, ist φ injektiv. Also ist Aut(K(α)/K) ⊆ ℤ/nℤ und damit selbst zyklisch. Die Ordnung d muß die Ordnung n von ℤ/nℤ teilen. □

Folgerung 13.8 (Kummererweiterung I). Sei p prim, χ(K) ≠ p und E_{p}(K) ⊆ K. Sei a ∈ K und α ∉ K eine Nullstelle von x^{p} − a. Dann gelten

(1) K(α) ist galoissch über K,

(2) [K(α) : K] = p.

Beweis. K enthält eine primitive p Einheitswurzel ζ ∈ P E_{p}(K). Nach Satz 13.6 ist K(α) galoissch über K und Zerfällungskörper von x^{p} − a. Nach Satz 13.7 ist [K(α) : K] ein Teiler von p, also [K(α) : K] = p. □

Folgerung 13.9 (Kummererweiterung II). Sei p prim, χ(K) ≠ p und E_{p}(K) ⊆ K. Sei L : K galoissch und [L : K] = p. Dann gibt es ein α ∈ L mit L = K(α) und α^{p} ∈ K. Weiter ist x^{p} − α^{p} irreduzibel.

Beweis. K enthält eine primitive p-te Einheitswurzel, und die Gruppe Aut(L/K) hat die Ordnung p, ist also zyklisch. In Satz 13.7 verwenden wir p = d = n und erhalten aus (3) die Behauptung. □

Satz 13.10 (Artin-Schreier). Sei K ein Körper der Charakteristik p ≠ 0 und L ein Erweiterungskörper von K. L ist genau dann eine zyklische Erweiterung von K vom Grade p, wenn L Zerfällungskörper eines irreduziblen Polynoms der Form x^{p} − x − a ∈ K[x] ist. In diesem Falle ist L = K(α), wobei α eine Nullstelle von x^{p} − x − a ist.

Beweis. Sei L : K zyklisch vom Grad p. Sei σ ∈ Aut(L/K) ein Erzeugendenelement. Dann ist T_{K}^{L}(1) = [L : K]·1 = p·1 = 0. Also gibt es nach Satz 13.4 ein α ∈ L mit 1 = −α+σ(α). Damit ist σ(α) = α + 1 ≠ α, also α ∉ K. Da [L : K] = p, gibt es keine echten Zwischenkörper, also ist L = K(α). Weiter ist σ(α^{p}) = (α+1)^{p} = α^{p}+1, also σ(α^{p}−α) = (α^{p}+1)−(α+1) = α^{p}−α und damit α^{p} − α =: a ∈ K. Daher ist α eine Nullstelle von x^{p} − x − a ∈ K[x]. Dieses mußs das Minimalpolynom von α sein, weil der Grad des Minimalpolynoms gleich dem Körpergrad [L : K] = p sein muß. Die anderen Nullstellen von x^{p} − x − a sind α + i ∈ K, wobei i = 1 + … + 1 ∈ K im Primkörper liegt. Es ist nämlich (α + i)^{p} − (α + i) − 1 = α^{p} + i − α − i − 1 = 0. Also ist K(α) Zerfällungskörper von x^{p} − x − a.

Sei umgekehrt L Zerfällungskörper von x^{p} −x−a ∈ K[x]. Sei α eine Nullstelle von x^{p} −x−a in L. Dann enthält K(α) wie zuvor genau p verschiedene Nullstellen α +i. Also ist x^{p} −x−a separabel, K(α) = L ist Zerfällungskörper von x^{p} − x − a und L : K ist galoissch. Jedes σ ∈ Aut(L/K) ist vollständig bestimmt durch σ(α) und σ(α) ist Nullstelle von x^{p} − x − a. Daher ist σ(α) = α + i für ein i im Primkörper von K. Wir erhalten durch σ ↦ i einen injektiven Homomorphismus φ : Aut(L/K) ⟶ ℤ/pℤ. Damit ergeben sich zwei Fälle:

(1) Aut(L/K) = 1, [L : K] = 1 und x^{p} − x − a zerfällt über K, oder

(2) Aut(L/K) ≅ ℤ/pℤ, [L : K] = p und x^{p} − x − a ist irreduzibel. □

Folgerung 13.11. Sei K ein Körper der Charakteristik χ(K) = p ≠ 0. Das Polynom x^{p} − x − a ∈ K[x] ist entweder irreduzibel oder es zerfällt in K[x].

Übung 13.12. (1) Hungerford Proposition 7.7

14. Radikalerweiterungen

Definition 14.1. Eine Körpererweiterung L : K heißt eine Radikalerweiterung, wenn L = K(u_{1}, …, u_{n}) und wenn gelten

(1) eine Potenz von u_{1} liegt in K,

(2) für alle i ≥ 2 liegt eine Potenz von u_{i} in K(u_{1}, …, u_{i−1}).

Wenn u_{1}^{m} ∈ K, dann ist u_{1} Nullstelle von x^{m} − (u_{1}^{m}) ∈ K[x]. u_{1} heißt dann ein Radikal über K.

Beachte: Radikalerweiterungen sind endliche Körpererweiterungen.

Definition 14.2. (1) Sei f ∈ K[x]. f heißt durch Radikale auflösbar, wenn es eine Radi-

kalerweiterung L : K gibt, die einen Zerfällungskörper F von f enthält: L ⊇ F ⊇ K.

(2) Eine Körpererweiterung F : K heißt durch Radikale auflösbar, wenn es eine Radikalerweiterung L : K gibt mit L ⊇ F ⊇ K.

Definition 14.3. L : K heißt eine irreduzible Radikalerweiterung, wenn L = K(u_{1}, …, u_{n}) und das Minimalpolynom von u_{i} über K(u_{1}, …, u_{i−1}) von folgender Form ist

x^{m} − v ∈ K(u_{1}, …, u_{i−1})[x].

Beispiele 14.4. (1) x^{2} + ax + b = 0 hat die Lösungen

x_{1,2} = \frac{−a ± \sqrt{a^{2} − 4b}}{2} (χ(K) ≠ 2).

(2) Cardanosche Formeln: (1545) [vorher Scipio del Ferro, Tartaglia] Sei χ(K) ≠ 2, 3. Die kubische Gleichung x^{3} + ax^{2} + bx + c = 0 hat mit

p := b − \frac{a^{2}}{3} , q := \frac{2a^{3}}{27} − \frac{ab}{3} + c

und

P := \sqrt[3]{−\frac{q}{2} + \sqrt{\frac{p^{3}}{27} + \frac{q^{2}}{4}}} und Q := \sqrt[3]{−\frac{q}{2} − \sqrt{\frac{p^{3}}{27} + \frac{q^{2}}{4}}}

die Lösungen

P + Q − \frac{a}{3},

ωP + ω^{2}Q − \frac{a}{3},

ω^{2}P + ωQ − \frac{a}{3}

wobei ω eine 3-te primitive Einheitswurzel ist.

Definition 14.5. Eine Gruppe G heißt auflösbar, wenn es Untergruppen {e} = G_{r} ⊆ G_{r−1} ⊆ … ⊆ G_{0} = G gibt mit G_{i+1} normal in G_{i} und G_{i}/G_{i+1} abelsch.

Bemerkung 14.6. (1) Abelsche Gruppen sind auflösbar.

(2) Jede Untergruppe U einer auflösbaren Gruppe ist auflösbar. Man schneide die Auflösung {e} = G_{r} ⊆ G_{r−1} ⊆ … ⊆ G_{0} = G mit der Untergruppe U.

(3) Übung: Jede Faktorgruppe einer auflösbaren Gruppe ist auflösbar.

Lemma 14.7. Seien K ⊆ E ⊆ F galoissche Körpererweiterungen und seien Aut(F/E) und Aut(E/K) auflösbar. Dann ist auch Aut(F/K) auflösbar.

Beweis. Es ist Aut(F/K)/ Aut(F/E) ≅ Aut(E/K) = U_{0} ⊇ U_{1} ⊇ … ⊇ U_{n} = {e}, wobei U_{i+1} in U_{i} normal und U_{i}/U_{i+1} abelsch sind. Wir identifizieren Aut(F/K)/ Aut(F/E) mit Aut(E/K) entlang des Isomorphismus. Die Restklassenabbildung ν : Aut(F/K) ⟶ Aut(E/K) ist surjektiv. Wir erhalten Untergruppen V_{i} := ν^{−1}(U_{i}) und eine Kette

Aut(F/K) = V_{0} ⊇ V_{1} ⊇ … ⊇ V_{n} = Aut(F/E) ⊇ V_{n+1} ⊇ … ⊇ V_{m} = {e}

mit V_{i+1} normal in V_{i} und V_{i}/V_{i+1} abelsch für alle i = 0, …, m. Für i = 0, …, n − 1 gilt nämlich V_{i}/V_{i+1} ≅ (V_{i}/V_{n})/(V_{i+1}/V_{n}) ≅ U_{i}/U_{i+1}. Damit sind alle Gruppen V_{i+1} in V_{i} normal und V_{i}/V_{i+1} abelsch. Folglich ist Aut(F/K) auflösbar. □

Natürlich ist dieses lediglich eine Aussage über Gruppen und hat mit Galoistheorie nichts zu tun. Wir werden aber die Aussage in dieser Form benötigen.

Satz 14.8. Sei χ(K) = 0 oder χ(K) = p > p_{l} , wobei p_{i} die i-te Primzahl ist, und seien ζ_{i} ∈ P E_{p_{i}}(K) für alle i ≤ l. Dann gelten:

(1) L := K(ζ_{1}, …, ζ_{l}) ist eine irreduzible Radikalerweiterung von K mit L ⊇ E_{p_{i}}(K) für alle i = 1, …, l.

(2) L : K ist galoissch und Aut(L/K) ist auflösbar.

Beweis. Wir konstruieren L durch vollständige Induktion nach l. \underline{Induktionsanfang:} l = 1 und p_{1} = 2. Wegen x^{2} − 1 = (x − 1)(x + 1) ist ζ_{1} = −1. Dann ist L := K_{1} := K = K(−1) = K(ζ_{1}) ⊇ K eine irreduzible Radikalerweiterung mit dem irreduziblen Polynom x − 1. Es ist E_{2}(K) ⊆ K wegen p > 2 und −1 = ζ_{1} ∈ K. Schließlich ist K : K galoissch mit auflösbarer Galoisgruppe Aut(K/K) = {e}. \underline{Induktionsannahme:} Sei K_{(l−1)} := K(ζ_{1}, …, ζ_{l−1}) ⊇ K mit K_{(l−1)} ⊇ E_{p_{i}}(K), i < l eine irreduzible Radikalerweiterung und sei K_{(l−1)} : K galoissch und Aut(K_{(l−1)}/K) auflösbar. \underline{Induktionsschluß:} Wir definieren K_{(l)} := K_{(l−1)}(ζ_{l}) als Zerfällungskörper von x^{p_{l}} − 1 über K_{(l−1)}. Dann ist K_{(l)} : K_{(l−1)} galoissch, denn (x^{p_{l}} − 1)′ = p_{l}x^{p_{l}−1} hat nur 0 als Nullstelle. Daher ist x^{p_{l}} − 1 separabel. Weiter ist G := Aut(K_{(l)}/K_{(l−1)}) zyklisch nach Folgerung 12.13 und |G| < p_{l} (Bezeichnung für unser K_{(l)} in 12.13 ist K_{p_{l}}). Also gibt es Gruppen {e} = G_{r} ⫋ G_{r−1} ⫋ … ⫋ G_{0} = G mit |G_{i}/G_{i+1}| = p_{j_{i}} < p_{l}(< p) für geeignete j_{i} < l und die G_{i} ⊆ G sind normale Untergruppen. Daraus erhalten wir Körpererweiterungen K_{(l)} = L_{r} ⫌ … ⫌ L_{0} = K_{(l−1)} mit [L_{i+1} : L_{i}] = p_{j_{i}}. Also ist L_{i+1} = L_{i}(α_{i}), wobei α_{i} nach Satz 13.7 das Minimalpolynom x^{p_{j}} − (α_{i}^{p_{j}}) hat. Damit ist K_{(l)} : K_{(l−1)} eine irreduzible Radikalerweiterung. Nach Konstruktion gilt K_{(l)} ⊇ E_{p_{i}}(K) für alle i = 1, …, l. Es ist Aut(K_{(l)}/K_{(l−1)}) abelsch und damit auflösbar. Da K(l) = K(ζ_{1}, …, ζ_{l}) Zerfällungskörper der Polynome -^{p_{i}} − 1, i ≤ 1 über K ist, ist K(l) : K galoissch. Es sind Aut(K_{(l)}/K_{(l−1)}) und Aut(K_{(l−1)}/K) auflösbar. Die Auflösbarkeit von Aut(K_{(l)}/K) folgt aus Lemma 14.7. □

Lemma 14.9. Sei L : K eine Körpererweiterung. Sei K(α) : K eine galoissche Körpererweiterung. Dann ist auch L(α) : L eine galoissche Körpererweiterung. Weiter ist Aut(L(α)/L) ⊆ Aut(K(α)/K).

Beweis. Es gilt L(α) = K(α)(L). Damit ist der Körper L(α) Zerfällungskörper des separablen (Minimal-)Polynoms f ∈ K[x] ⊆ L[x] von α über L. Also ist L(α) : L eine galoissche Körpererweiterung. Sei nun σ ∈ Aut(L(α)/L). σ ist festgelegt durch die Permutation, die es auf den Nullstellen von f induziert. Also bildet σ den Körper K(α) in sich ab und läßt die Elemente von K fix. Diese Einschränkung von σ auf K(α) induziert offenbar einen Gruppenhomomorphismus Aut(L(α)/L) ⟶ Aut(K(α)/K). Dieser ist injektiv, denn wenn σ auf K(α) die Identität ergibt, dann auch auf den Nullstellen von f und damit auch auf L(α). Folglich können wir identifizieren Aut(L(α)/L) ⊆ Aut(K(α)/K). □

Definition 14.10. Sei L : K eine Körpererweiterung und α ∈ L. Der Exponent von α ist die kleinste natürliche Zahl m mit α^{m} ∈ K oder ∞.

Satz 14.11. (1) Sei F : K eine galoissche Körpererweiterung und χ(K) = 0 oder χ(K) größer als alle Primteiler von [F : K]. Sei Aut(F/K) eine auflösbare Gruppe. Dann ist F in einer Radikalerweiterung L : K enthalten, d.h. durch Radikale auflösbar.

(2) Sei F : K eine Körpererweiterung und sei K(α_{1}, …, α_{n}) eine Radikalerweiterung von K mit F ⊆ K(α_{1}, …, α_{n}). Sei χ(K) = 0 oder χ(K) größer als alle Primteiler aller Exponenten der α_{i}. Dann besitzt die kleinste galoissche Körpererweiterung L : K mit L ⊇ F eine auflösbare Galoisgruppe.

Beweis. (1) Sei p_{l} die größte Primzahl mit p_{l}/[F : K]. Wie in Satz 14.8 sei K_{(l)} := K(ζ_{1}, …, ζ_{l}). Da F : K galoissch ist, ist F := K(α) (Satz vom primitiven Element). Damit ist K_{(l)}(α) : K_{(l)} galoissch und F ⊆ K_{(l)}(α). Also ist G := Aut(K_{(l)}(α)/K_{(l)}) ⊆ Aut(F/K) auflösbar. Folglich gibt es Untergruppen {e} ⊆ H_{1} ⊆ … ⊆ H_{s} = G mit H_{i}/H_{i+1} abelsch und sogar ≅ ℤ/pℤ (für geeignete Primzahlen p) nach dem Hauptsatz über endlich erzeugte abelsche Gruppen. Die entsprechende Kette der Fixkörper sei K_{(l)} = L_{s} ⊆ … ⊆ L_{1} ⊆ K_{(l)}(α) mit L_{i} : L_{i+1} galoissch und [L_{i} : L_{i+1}] = p ≤ p_{l}. Nach Folgerung 13.9 ist L_{i} : L_{i+1} eine einfache irreduzible Radikalerweiterung und K_{(l)}(α) : K_{(l)} eine irreduzible Radikalerweiterung. Weiter ist K_{(l)} : K eine irreduzible Radikalerweiterung und damit auch K_{(l)}(α) : K. Da F ⊆ K_{(l)}(α), ist F durch Radikale auflösbar.

(2) Sei p_{l} die größte Primzahl mit p_{l}/[F : K].

a) Behauptung: Es gibt Radikale β_{i} mit K(α_{1}, …, α_{r}) = K(β_{1}, …, β_{t}), deren Exponenten Primzahlen ≤ p_{l} sind und die Teiler der Exponenten von einem der α_{1}, …, α_{r} sind. Beweis: Sei α Nullstelle des Polynoms x^{m} − a und sei m = p_{1} · . . . · p_{s} die Primzahlzerlegung von m. Dann ist K(α) = K(α^{p_{2}·...·p_{s}}, α^{p_{3}·...·p_{s}}, …, α^{p_{s}}, α), denn α ist Nullstelle von x^{p_{s}} − α^{p_{s}}, α^{p_{s}} ist Nullstelle von x^{p_{s−1}} − α^{p_{s−1}·p_{s}}, usw. Folglich ist

α = \sqrt[ps]{\sqrt[p_{s−1}]{… \sqrt[p_{1}]{a}}} = \sqrt[m]{a}.

Man wähle also für die β_{i} geeignete Potenzen der α_{j}.

b) Behauptung: Sei K_{(l)} := K(ζ_{1}, …, ζ_{l}) wie in Satz 14.8. Für K_{(l)}(β_{1}, …, β_{t}) gibt es eine Körpererweiterung L_{t} ⊇ K_{(l)}(β_{1}, …, β_{t}) mit

i) L_{t} : K ist galoissch.

ii) L_{t} = K_{(l)}(γ_{1}, …, γ_{s}), wobei die γ_{i} Radikale mit Primzahlexponent ≤ p_{l} sind und die K_{(l)}(γ_{1}, …, γ_{i+1}) : K_{(l)}(γ_{1}, …, γ_{i}) galoissch vom Grad p ≤ p_{l} für Primzahlen p sind.

Beweis von i) durch \underline{Induktion} nach t: Der Fall t = 0 ist trivial. \underline{Induktionsschluß} von t − 1 auf t. Sei β_{t} Nullstelle von x^{p} − b mit b ∈ L_{t−1} und p ≤ p_{l}. Seien b = b^{(1)}, b^{(2)}, …, b^{(r)} die Konjugierten von b in L_{t−1} über K (d.h. b^{(i)} = σ_{i}(b), σ_{i} ∈ Aut(L_{t−1}/K)). Seien β_{t} = β^{(1)}, …, β^{(n)} alle Nullstellen aller Polynome x^{p} − b^{(i)}. Definiere L_{t} := L_{t−1}(β^{(1)}, …, β^{(n)}). Sei N : K eine galoissche Körpererweiterung mit N ⊇ L_{t}. Sei σ : L_{t} ⟶ N ein K-(Körper-) Homomorphismus. Dann läßt sich σ auf N fortsetzen, und es gilt σ(L_{t−1}) ⊆ L_{t−1}, weil L_{t−1} : K galoissch ist. Wir berechnen die σ(β^{(i)}) wie folgt. β^{(i)p} = b^{(j)}, also σ(β^{(i)})^{p} = σ(b^{(j)}) ∈ {b^{(1)}, …, b^{(r)}}. Damit ist σ(β^{(i)}) ∈ {β^{(1)}, …, β^{(n)}} und σ(L_{t}) ⊆ L_{t}. Daraus folgt, daß L_{t} : K galoissch ist, also Aussage i). Beweis von ii) durch Induktion nach j ≤ n: Es sind ineinander enthalten:

K ⊆ L_{t−1}(∋ b^{(1)}, …, b^{(r)}) ⊆ L_{t}(∋ β^{(1)}, …, β^{(n)}) ⊆ N

\underline{Induktionsanfang} i = 1: \underline{1. Fall:} β^{(1)} ∈ L_{t−1}. Dann ist kein γ zu L_{t−1} hinzuzufügen. \underline{2. Fall:} β^{(1)} ∉ L_{t−1}. Dann ist L_{t−1}(β^{(1)}) : L_{t−1} galoissch und [L_{t−1}(β^{(1)}) : L_{t−1}] ist eine Primzahl ≤ p_{l}. Nach Folgerung 13.8 setzen wir γ_{1} := β^{(1)}. \underline{Induktionsschluß} von j − 1 auf j: \underline{1. Fall:} β^{(j)} ∈ L_{t−1}(β^{(1)}, …, β^{(j−1)}) = L_{t−1}(γ_{1}, …, γ_{m}) = K_{(l)}(γ_{1}, …, γ_{m}). Dann ist kein γ hinzuzufügen. \underline{2. Fall:} β^{(j)} ∉ L_{t−1}(β^{(1)}, …, β^{(j−1)}). Wie zuvor setzen wir γ_{m+1} := β^{(j)}.

c) Behauptung: Die Galoisgruppe von L_{t} : K ist auflösbar, also auch die Galoisgruppe der kleinsten Galoiserweiterung L von K, die F enthält. Beweis: Nach Satz 14.8 ist K_{(l)} : K galoissch mit auflösbarer Galoisgruppe. Wir haben K ⊆ K_{(l)} ⊆ K_{(l)}(γ_{1}) ⊆ … ⊆ K_{(l)}(γ_{1}, …, γ_{s}) = L_{t}. Dabei ist L_{t} : K galoissch mit Galoisgruppe G. Die zugehörige Kette von Untergruppen ist G ⊇ U_{0} ⊇ … ⊇ U_{s} = {e}. Dabei ist G/U_{0} = Aut(K_{(l)}/K) auflösbar, U_{i}/U_{i+1} = Aut(K_{(l)}(γ_{1}, …, γ_{i+1})/K_{(l)}(γ_{1}, …, γ_{i})) hat die Ordnung p ≤ p_{l} nach Behauptung b). Mit U_{i+1} und U_{i}/U_{i+1} ist nach Lemma 14.7 auch U_{i} auflösbar. Mit U_{0} und G/U_{0} ist auch G auflösbar. □

Folgerung 14.12. Sei χ(K) = 0 oder χ(K) > 3. Dann ist jedes Polynom f ∈ K[x] vom Grad ≤ 4 durch Radikale auflösbar.

Beweis. Sei L Zerfällungskörper von f. Das Polynom f hat ≤ 4 Nullstellen in L. Aut(L/K) permutiert diese Nullstellen, also ist Aut(L/K) ⊆ S_{4}. S_{4} ist auflösbar, denn wir haben S_{4} ⊇ A_{4} ⊇ V_{4} ⊇ {e}, alle Untergruppen sind normal in der nächst größeren Untergruppe und die Restklassengruppen sind S_{4}/A_{4} ≅ ℤ_{2}, A_{4}/V_{4} ≅ ℤ_{3} und V_{4}, also abelsch. Also ist Aut(L/K) ⊇ (Aut(L/K ∩ A_{4}) ⊇ (Aut(L/K) ∩ V_{4}) ⊇ 0 eine Auflösung von Aut(L/K). □

Hauptsatz 14.13 (über Auflösung durch Radikale). Sei F : K eine Galoiserweiterung und χ(K) = 0 oder χ(K) = p, wobei p größer als alle Primteiler von [F : K] ist. Dann sind äquivalent:

(1) Aut(F/K) ist auflösbar;

(2) F : K ist durch Radikale auflösbar.

Satz 14.14 (von Abel (1824)). Sei χ(K) = 0 oder χ(K) = p, wobei p größer als alle Primteiler von n ist. Sei

f(x) = x^{n} − a_{1}x^{n−1} + … + (−1)^{n}a_{n} ∈ K(a_{1}, …, a_{n})[x]

die allgemeine Gleichung n-ten Grades. Die a_{i} seien transzendent über K(a_{1}, …, a_{i−1}) für alle i = 1, …, n. Das Polynom f(x) ist genau dann durch Radikale auflösbar, wenn n ≤ 4.

Beweis. Die Galoisgruppe von f ist S_{n} nach Satz 10.13. Die Gruppe S_{n} enthält A_{n} als Normalteiler. A_{n} ist nach Satz 4.29 genau dann einfach, wenn n ≠ 4. Da A_{n} für n > 4 nicht abelsch ist, ist S_{n} für n > 4 nicht auflösbar. Da A_{2} = {e} und A_{3} ≅ ℤ/3ℤ, sind S_{2}, S_{3}, und S_{4} auflösbar. □

15. Konstruktion regelmäßiger n-Ecke

Bemerkung 15.1. Das regelmäßige n-Eck ist genau dann konstruierbar, wenn eine primitive n-te Einheitswurzel ζ = α + iβ ∈ ℂ konstruierbar ist.

Satz 15.2. Das regelmäßige n-Eck ist genau dann konstruierbar, wenn die Eulersche φ-Funktion φ(n) eine Zweierpotenz ist.

Beweis. Die primitive Einheitswurzel ζ = α + iβ ∈ ℂ ist genau dann konstruierbar (über ℚ), wenn α und β konstruierbar sind, d.h. daß es nach Satz 3.6 α, β ∈ L ⊆ ℝ gibt mit [L : ℚ] = 2^{n}. Da i ∈ ℚ(i) mit [ℚ(i) : ℚ] = 2, ist [ℚ(α, β) : ℚ] = 2^{m} äequivalent zu [ℚ(α, β, i) : ℚ] = [ℚ(ζ, i) : ℚ] = 2^{m+1}. Tatsächlich ist \frac{1}{2}(ζ + \overline{ζ}) = α mit \overline{ζ} = ζ^{n−1} und \frac{1}{2i}(ζ − \overline{ζ}) = α. Das ist wiederum äquivalent zu [ℚ(ζ) : ℚ] = [ℚ_{n} : Q_{n}) = 2^{r} für geeignetes r. Nach Satz 12.14 (2) ist das äquivalent zu φ(n) = 2^{r}. □

Definition 15.3. Ein Primzahl p heißt Fermatsche Primzahl, wenn p geschrieben werden kann als

p = 2^{2^{m}} + 1.

Lemma 15.4. Sei p eine Primzahl der Form p = 2^{N} + 1. Dann ist p eine Fermatsche Primzahl.

Beweis. Sei a ein Teiler von N. Dann ist die Primzahl

p = (2^{b})^{a} + 1 = (2^{b} + 1)((2^{b})^{a−1} − (2^{b})^{a−2} + … + 1),

also a = 1 und damit N = 2^{m}. Damit ist p eine Fermatsche Primzahl. □

Bemerkung 15.5. Die einzigen bekannten Fermatschen Primzahlen sind

3 = 2^{2^{0}} + 1, 5 = 2^{2^{1}} + 1, 17 = 2^{2^{2}} + 1, 257 = 2^{2^{3}} + 1, 65537 = 2^{2^{4}} + 1.

Es ist sicher, daß die Zahlen 2^{2^{m}} + 1 für m = 5, …, 19 keine Primzahlen sind. So ist etwa

F_{5} = 2^{2^{5}} + 1 = 641 · 6700417.

Zahlen zur Basis p 27

Satz 15.6. Das regelmäßige n-Eck läßt sich genau dann mit Zirkel und Lineal konstruieren, wenn n ein Produkt einer Zweierpotenz mit paarweise verschiedenen Fermatschen Primzahlen ist

n = 2^{r}p_{2} … p_{m}.

Beweis. n werde als Produkt von Primzahlpotenzen geschrieben n = 2^{i_{1}}p_{2}^{i_{2}} … p_{m}^{i_{m}}. Nach Satz 12.4 ist dann φ(n) = φ(2^{i_{1}})φ(p_{2}^{i_{2}}) … φ(p_{m}^{i_{m}}) ebenfalls ein entsprechendes Produkt. Jeder Faktor ist eine Zweierpotenz genau dann, wenn das regelmäßige n-Eck konstruierbar ist. Es ist φ(2^{i}) = 2^{i} · (1 − \frac{1}{2}) immer eine Zweierpotenz. Weiter ist φ(p^{i}) = p^{i} − p^{i−1} durch p^{i−1} teilbar, also nur dann eine Zweierpotenz, wenn i = 1 ist. In diesem Falle ist φ(p) = p − 1 eine Zweierpotenz genau dann, wenn p = 2^{N} + 1. □

Bemerkung 15.7. Konstruktionen des regelmäßigen n-Ecks für n = 3, 5, 15 und n = 2^{m} · 3, 2^{m} · 5, 2^{m} · 15 sind aus dem Altertum bekannt. Das 7-Eck und das 9-Eck sind nicht konstruierbar. Die Konstruktion des 5-Ecks hängt eng mit dem goldenen Schnitt zusammen. C.F.Gauß (1777–1855) hat 1796 als erster die Konstruktion des regelmäßigen 17-Ecks angegeben. Eine mögliche Konstruktion des regelmäßigen 17-Ecks geht auf F.J.Richelot (1808–1875) zurück (1832). In den Archiven des Göttinger Mathematischen Seminars liegt ein Koffer mit einer unter Gauß entstandene Dissertation über die Konstruktion des regelmäßigen 65537-Ecks.

16. Zahlen zur Basis p

Bemerkung 16.1. Sei p > 1 eine natürliche Zahl. Jede natürliche Zahl r ∈ ℕ läßt sich eindeutig in der Darstellung zur Basis p

r = a_{n}p^{n} + a_{n−1}p^{n−1} + … + a_{1}p^{1} + a_{0}p^{0} = (a_{n}a_{n−1} … a_{1}a_{0})_{p}

mit 0 ≤ a_{i} < p und 0 < a_{n} darstellen. Die Addition von natürlichen Zahlen in der Darstellung zur Basis p erfolgt wie folgt:

r = (a_{n}a_{n−1} … a_{1}a_{0})_{p}
s = (b_{n}b_{n−1} … b_{1}b_{0})_{p}
r + s = (c_{n+1}c_{n} … c_{1}c_{0})_{p}
c_{i} = \begin{cases}a_{i} + b_{i} + d_{i−1}, \\ a_{i} + b_{i} + d_{i−1} − p, \end{cases} d_{i} = \begin{cases}0, & falls a_{i} + b_{i} + d_{i−1} < p, \\ 1, & falls a_{i} + b_{i} + d_{i−1} ≥ p, \end{cases}

Die Multiplikation hat eine ähnliche Beschreibung des “Übertragens” auf andere Stellen.

Bemerkung 16.2 (Zur Bestimmung der Ziffern in der Darstellung zur Basis p.). Wir schreiben die Elemente von ℤ/p^{n}ℤ als \{\overline{0}, \overline{1}, …, \overline{a}, …, \overline{p^{n} − 1}\} mit den von nun an festgelegten Repräsentanten 0 ≤ a < p^{n}. Sei

ν_{n−1} : ℤ/p^{n}ℤ ∋ \overline{a} ↦ \overline{a} ∈ ℤ/p^{n−1}ℤ

der Restklassenhomomorphismus. Sei weiter

ι_{n−1} : ℤ/p^{n−1}ℤ ∋ \overline{a} ↦ \overline{a} ∈ ℤ/p^{n}ℤ

die mit den oben definierten Repräsentanten gebildete Abbildung

ℤ/p^{n−1}ℤ ≅ {0, 1, …, a, …, p^{n−1} − 1} ⟶ ℤ/p^{n}ℤ.

Beachte, daß durch die eindeutige Festlegung der Repräsentanten keine Wohldefiniertheit geprüft werden muß und daß ι_{n−1} kein Homomorphismus ist. Es ist jedoch

ν_{n−1}ι_{n−1} = id_{ℤ/p^{n−1}ℤ} : ℤ/p^{n−1}ℤ ⟶ ℤ/p^{n−1}ℤ.

Weiter ist α_{n−1} := id_{ℤ/p^{n}ℤ} −ι_{n−1}ν_{n−1} : ℤ/p^{n}ℤ ⟶ ℤ/p^{n}ℤ eine Abbildung mit Bi(α_{n−1}) = p^{n−1}ℤ/p^{n}ℤ, denn ν_{n−1}α_{n−1} : ℤ/p^{n}ℤ ⟶ ℤ/p^{n−1}ℤ ist die Nullabbildung. Die Elemente aus Bi(α_{n−1}) = p^{n−1}ℤ/p^{n}ℤ haben dann die Darstellung \overline{ap^{n−1}} mit einem eindeutig bestimmten a mit 0 ≤ a < p. Unter dem kanonischen Isomorphismus γ_{n−1} : p^{n−1}ℤ/p^{n}ℤ ≅ ℤ/pℤ ≅ {0, 1, …, p − 1} wird dann jedes Element \overline{ap^{n−1}} abgebildet auf a ∈ \{0, 1, …, p − 1\}. Es sei β_{n−1} = γ_{n−1}α_{n−1}. Die Zahl

\overline{r} = \overline{(a_{n}p^{n} + a_{n−1}p^{n−1} + … + a_{1}p^{1} + a_{0}p^{0})} = \overline{(a_{n}a_{n−1} … a_{1}a_{0})_{p}}

wird durch β_{i} dann abgebildet auf a_{i}. Damit erhalten wir die oben angebene Darstellung r = (a_{n}a_{n−1} … a_{1}a_{0})_{p} und die zu bestimmenden Koeffizienten. Die Addition und Multiplikation von zwei Zahlen zur Basis p kann man also in ℕ vornehmen und dann die β_{i} auf die Ergebnisse anwenden. Da die Stellen in der Darstellung zur Basis p mit Hilfe von Abbildungen β_{i} erhalten werden, ist die Darstellung von natürlichen Zahlen in der Form r = (a_{n}a_{n−1} … a_{1}a_{0})_{p} = (β_{n}(\overline{r})β_{n−1}(\overline{r}) … β_{1}(\overline{r})β_{0}(\overline{r}))_{p} eindeutig. Beachte: (a_{n}a_{n−1} … a_{1}a_{0})_{p} + (b_{n}b_{n−1} … b_{1}b_{0})_{p} ≡ (a_{n−1} … a_{1}a_{0})_{p} + (b_{n−1} … b_{1}b_{0})_{p} mod p^{n} und analog (a_{n}a_{n−1} … a_{1}a_{0})_{p} · (b_{n}b_{n−1} … b_{1}b_{0})_{p} ≡ (a_{n−1} … a_{1}a_{0})_{p} · (b_{n−1} … b_{1}b_{0})_{p} mod p^{n}, weil beide Operationen in ℤ/p^{n}ℤ bzw. ℤ/p^{n−1}ℤ durchgeführt werden.

Beispiel 16.3. (1) Es ist \overline{0} das neutrale Element der Addition in ℤ/p^{n}ℤ, also ist (0 … 0)_{p} das neutrale Element für die Addition der Zahlen zur Basis p.

(2) Sei \overline{r} = \overline{∑_{i=0}^{n}(p − 1)p^{i}} = \overline{((p − 1)(p − 1) … (p − 1)(p − 1))_{p}}. Dann ist \overline{1} + \overline{r} = \overline{(1)_{p}} + \overline{((p − 1)(p − 1) … (p − 1)(p − 1))_{p}} = \overline{0} also

\overline{−1} = \overline{((p − 1)(p − 1) … (p − 1)(p − 1))_{p}}

oder

−1 ≡ ((p − 1)(p − 1) … (p − 1)(p − 1))_{p} mod (p^{n}).

Definition 16.4. Sei

(a_{i}|i = 0, 1, …, ∞)

eine Folge von natürlichen Zahlen mit 0 ≤ a_{i} < p. Wir betrachten die Folge der Teilsummen

(b_{n}) := (∑_{k=0}^{n} a_{k}p^{k}|i ∈ ℕ) = (a_{n}a_{n−1} … a_{1}a_{0})_{p}  (1)

Die Reihe

∑_{k=0}^{∞} a_{k}p^{k} = (… a_{3}a_{2}a_{1}a_{0})_{p}

sei eine Abkürzung für die Folge der Teilsummen (b_{i}) und heißt eine p-adische ganze Zahl. Die Menge der p-adischen ganzen Zahlen werde mit ℤ_{p} bezeichnet. Beachte, daß die Folge der Teilsummen nicht konvergiert und daß damit (zunächst) ∑_{k=0}^{∞} a_{k}p^{k} = (… a_{3}a_{2}a_{1}a_{0})_{p} kein Element darstellen kann, gegen daß die Folge der endlichen Teilsummen konvergieren könnte.

Bemerkung 16.5. Die p-adischen ganzen Zahlen haben eine Addition und eine Multiplikation, indem man die Teilsummen (oder Teilfolgen zur Basis p) addiert bzw. multipliziert. Die p-adischen ganzen Zahlen sind damit ein kommutativer Ring und der Ring ℤ kann mit dem Unterring der abbrechenden Reihen (a_{n} = 0 für genügend große n) identifiziert werden.

Beispiel 16.6. Sei r ∈ ℕ. Dann hat r eine eindeutige Darstellung zur Basis p in der Form r = ∑_{k=0}^{∞} a_{k}p^{k} (Zifferndarstellung) in ℤ_{p}, wobei ein n_{0} existiert, sodaß die a_{n} = 0 für alle n > n_{0}. Für −1 ∈ ℤ hat (… 00(−1))_{p} die Darstellung

−1 = (p − 1) + (p − 1)p + (p − 1)p^{2} + … = ∑_{k=0}^{∞}(p − 1)p^{k},

denn die Summe ist

p + (p − 1)p + (p − 1)p^{2} + … = 0 + p · p + (p − 1)p^{2} + …
= 0 + 0 + p · p^{2} + …
= 0 + 0 + 0 + … = 0.

Man darf bis zum n-ten Glied rechnen, da die Terme in ℤ/p^{n}ℤ betrachtet werden. In ähnlicher Weise haben alle negativen ganzen Zahlen Darstellungen durch (1). Die rationale Zahl \frac{1}{2} läßt sich für p = 3 darstellen als

\frac{1}{2} = 2 + 1 · p + 1 · p^{2} + … = (… 1112)_{3},

denn bei Multiplikation mit 2 ergibt sich

1 = (… 1112)_{3} · (… 0002)_{3}
= (2 · 2) · 3^{0} + 2 · 3 + 2 · 3^{2} + …
= 1 + 3 · 3 + 2 · 3^{2} + …
= 1 + 0 + 3 · 3^{2} + …
= 1 + 0 + 0 + …

oder

… 1112 · . . . 0002
… 0011
… 0002
… 0002
… 0002
… 0001

Ein weiteres interessantes Element mit der Darstellung (1) ist

\sqrt{7} = 1 + 1 · 3 + 1 · 3^{2} + 0 · 3^{3} + 2 · 3^{4} + … = (… 20020111)_{3},

denn durch Quadrieren der Zahlen zur Basis 3 erhält man

… 20020111 · . . . 20020111

… 20020111
… 20020111
… 20020111
… 110110222
… 110110222
7 = … 00000021

Bemerkung 16.7 (Die p-adischen Zahlen als Limes der Restklassen modulo p^{n}). Sei ν_{i}^{k} : ℤ/p^{k}ℤ ∋ \overline{a} ⟶ \overline{a} ∈ ℤ/p^{i}ℤ der kanonische Restklassenhomomorphismus für alle i < n. Wir definieren

ℤ_{p}^{(n)} := \{(\overline{b_{n}}, …, \overline{b_{2}}, \overline{b_{1}}) ∈ ℤ/p^{n}ℤ × … × ℤ/p^{2}ℤ × ℤ/pℤ|ν_{i}^{k}(\overline{b_{k}}) = \overline{b_{i}}\} .

Offenbar ist ℤ_{p}^{(n)} ⊆ ℤ/p^{n}ℤ × … × ℤ/p^{2}ℤ × ℤ/pℤ ein Unterring. Weiter ist ℤ_{p}^{(n)} ≅ ℤ/p^{n}ℤ. Die Elemente (\overline{b_{n}}, …, \overline{b_{2}}, \overline{b_{1}}) ∈ ℤ/p^{n}ℤ × … × ℤ/p^{2}ℤ × ℤ/pℤ lassen sich wie oben in Zifferndarstellung zur Basis p darstellen. Dabei folgt aus (a_{k−1} … a_{1}a_{0})_{p} = (\overline{b_{k}}, …, \overline{b_{2}}, \overline{b_{1}}) die Gleichung (a_{i−1} … a_{1}a_{0})_{p} = (\overline{b_{i}}, …, \overline{b_{2}}, \overline{b_{1}}) für alle i < k. Damit sind Addition, Subtraktion und Multiplikation der ersten i-Stellen der Darstellung zur Basis p unabhängig von dem Ergebniss bei den höheren Stellen. Die höheren Stellen können bei Rechnungen zunächst ”vernachlässigt“ werden. Aus diesen Überlegungen erhalten wir eine neue Definition von ℤ_{p} als

ℤ_{p} := \{(…, \overline{b_{2}}, \overline{b_{1}}) ∈ … × ℤ/p^{2}ℤ × ℤ/pℤ|ν_{i}^{k}(\overline{b_{k}}) = \overline{b_{i}}\} .

Offenbar ist ℤ_{p} ⊆ …×ℤ/p^{2}ℤ×ℤ/pℤ = ∏_{i=1}^{∞} ℤ/p^{i}ℤ ein Unterring. Die Elemente (…, \overline{b_{2}}, \overline{b_{1}}) ∈ … × ℤ/p^{2}ℤ × ℤ/pℤ lassen sich wie oben in Zifferndarstellung zur Basis p darstellen. Dabei folgt aus (… a_{1}a_{0})_{p} = (…, \overline{b_{2}}, \overline{b_{1}}) die Gleichung (a_{i−1} … a_{1}a_{0})_{p} = (\overline{b_{i}}, …, \overline{b_{2}}, \overline{b_{1}}) für alle i. Damit sind Addition, Subtraktion und Multiplikation der ersten i-Stellen der Darstellung zur Basis p unabhängig von dem Ergebniss bei den höheren Stellen. Die höheren Stellen können bei Rechnungen zunächst ”vernachlässigt“ werden. Allerdings ist ℤ_{p} nicht isomorph zu einem der Faktoren im Produkt.

17. Bewertungen

Definition 17.1. Sei R ein Integritätsring. Eine Bewertung von R ist eine Funktion φ : R ⟶ ℝ mit

(1) ∀a ∈ R : φ(a) ≥ 0 und φ(a) = 0 dann und nur dann, wenn a = 0.

(2) ∀a, b ∈ R : φ(ab) = φ(a)φ(b).

(3) ∀a, b ∈ R : φ(a + b) ≤ φ(a) + φ(b) (Dreiecksungleichung). Eine Funktion φ : R ⟶ ℝ heißt nicht archimedische Bewertung oder Ultranorm, wenn

(1) ∀a ∈ R : φ(a) ≥ 0 und φ(a) = 0 dann und nur dann, wenn a = 0.

(2) ∀a, b ∈ R : φ(ab) = φ(a)φ(b).

(3) ∀a, b ∈ R : φ(a + b) ≤ max(φ(a), φ(b)). Wenn eine Bewertung keine Ultranorm ist, dann heißt sie archimedisch.

Beachte: max(φ(a), φ(b)) ≤ φ(a) + φ(b), weil φ(a), φ(b) ∈ ℝ_{0}^{+}.

Lemma 17.2. Sei φ eine Bewertung von R. Dann gelten (1) φ(1) = 1.

(2) φ(−1) = 1.

(3) ∀a ∈ R : φ(−a) = φ(a).

(4) ∀a, b ∈ R : |φ(a) − φ(b)| ≤ φ(a − b).

Beweis. (1) Nach Definition 17.1 (2) ist φ(a) = φ(a · 1) = φ(a)φ(1), also φ(1) = 1.

(2) Nach Definition 17.1 (2) ist 1 = φ(1) = φ((−1)(−1)) = φ(−1)φ(−1). Wegen Definition 17.1 (1) ist φ(−1) > 0, also folgt φ(−1) = 1.

(3) Es ist φ(−a) = φ(a · (−1)) = φ(a)φ(−1) = φ(a).

(4) Es ist φ(a) = φ(b + a − b) ≤ φ(b) + φ(a − b), also φ(a) − φ(b) ≤ φ(a − b). Entsprechend ist φ(b) − φ(a) ≤ φ(b − a) = φ(a − b). Daraus folgt die Behauptung. □

Beispiele 17.3. (1) Sei R ⊆ ℂ. Dann ist |.| : R ⟶ ℝ eine archimedische Bewertung.

(2) Sei R ein Integritätsring und φ(a) = 1 für a ≠ 0 und φ(0) = 0. Dann ist φ eine Bewertung, die triviale Bewertung.

(3) Sei R = ℤ und p eine Primzahl. Jedes a ∈ ℤ \ {0} hat eine eindeutige Darstellung a = p^{k}a′ mit p ∤ a′ und k ≥ 0. Dann ist φ_{p}(a) := p^{−k} zusammen mit φ_{p}(0) := 0 eine nicht archimedische Bewertung von R, denn

(1) ist klar.

(2) folgt aus a = p^{k}a′, b = p^{l}b′ ⟹ ab = p^{k+l}a′b′ ⟹ φ_{p}(ab) = p^{−(k+l)} = p^{−k}p^{−l} = φ_{p}(a)φ_{p}(b).

(3) Sei a = p^{k}a′, b = p^{l}b′ mit k ≤ l. Dann ist a+b = p^{k}(a′+p^{l−k}b′) und p ∤ a′+p^{l−k}b′. Also folgt φ_{p}(a + b) = p^{−k} = φ_{p}(a) = max(φ_{p}(a), φ_{p}(b)).

(4) Sei K ein Körper und p ein irreduzibles Polynom in K[x]. Dann induziert p eine nicht archimedische Bewertung von K[x] wie in (3). Die induzierte Bewertung von K ist die triviale Bewertung.

Übung. Sei K ein Körper und sei c ∈ K \ {0}. Für ein Polynom f ∈ K[x] vom Grad n definieren wir φ(f) := c^{−n}. Zeige, daß dieses eine Bewertung ist. Ist sie archimedisch?

Satz 17.4. Sei R ein Integritätsring mit Quotientenkörper Q(R). Sei φ : R ⟶ ℝ eine Bewertung von R. Dann gibt es genau eine Fortsetzung von φ zu einer Bewertung ψ : Q(R) ⟶ ℝ. Ist φ nicht archimedisch, so ist auch ψ nicht archimedisch.

Beweis. Sei ψ eine Fortsetzung von φ. Dann gilt ψ(\frac{a}{b})φ(b) = ψ(\frac{a}{b})ψ(b) = ψ(\frac{a}{b}b) = ψ(a) = φ(a), also

ψ(\frac{a}{b}) = \frac{φ(a)}{φ(b)}.

Es bleibt zu zeigen, daß die Funktion ψ(\frac{a}{b}) := \frac{φ(a)}{φ(b)} tatsächlich immer eine Bewertung ist. (1) und (2) sind klar. Zu (3) gilt

\begin{matrix}ψ(\frac{a}{b} + \frac{c}{d}) = ψ(\frac{ad + bc}{bd}) = \frac{φ(ad + bc)}{φ(bc)} ≤ \frac{φ(ad) + φ(bc)}{φ(bc)} \\ = ψ(\frac{ad}{bd}) + ψ(\frac{bc}{bd}) = ψ(\frac{a}{b}) + ψ(\frac{c}{d}). \end{matrix}

Sei nun φ nicht archimdisch. Dann haben wir

ψ(\frac{a}{b} + \frac{c}{d}) = ψ(\frac{ad + bc}{bd}) = \frac{φ(ad + bc)}{φ(bc)} ≤ \frac{max(φ(ad), φ(bc))}{φ(bc)}

= max(\frac{φ(ad)}{φ(bd)}, \frac{φ(bc)}{φ(bd)}) = max(ψ(\frac{ad}{bd}), ψ(\frac{bc}{bd})) = max(ψ(\frac{a}{b}), ψ(\frac{c}{d})).

□

Definition 17.5. Die Bewertung φ_{p} : ℤ ⟶ ℝ aus Beispiel 17.3 (3) ist eine nicht archimedische Bewertung und die Fortsetzung φ_{p} : ℚ ⟶ ℝ ist ebenfalls nicht archimedisch. Diese Bewertungen heißen p-adische Bewertungen. Wir schreiben |a|_{p} := φ_{p}(a).

Beispiel 17.6. Die Fortsetzung der p-adischen Bewertung φ_{p} : ℚ ⟶ ℝ kann wie folgt beschrieben werden. Für eine rationale Zahl \frac{a}{b} ∈ ℚ nehmen wir (a, b) = 1 an. Dann ist a = p^{i}a′ mit (p, a′) = 1, (p, b) = 1 und i ≥ 1 oder es ist b = p^{−i}b′ mit (p, b′) = 1, (p, a) = 1 und i < 0. Die p-adische Norm ist dann

|\frac{a}{b}|_{p} = p^{−i}.

Satz 17.7. Eine Bewertung φ : R ⟶ ℝ ist genau dann archimedisch, wenn es Zahl n ∈ ℕ gibt mit φ(n · 1) > 1.

Beweis. Sei φ nicht archimedisch. Dann ist φ(n·1) = φ(1+…+1) ≤ max(φ(1), …, φ(1)) = φ(1) = 1. Sei φ(n · 1) ≤ 1 für alle n. Dann ist φ(n · c) = φ(n · 1)φ(c) ≤ φ(c). Daraus folgt

φ(a + b)^{n} = φ((a + b)^{n})
= φ (a^{n} + \binom{n}{1}a^{n−1}b + … + \binom{n}{n−1}ab^{n−1} + b^{n})
≤ φ(a^{n}) + φ(\binom{n}{1}a^{n−1}b) + … + φ(\binom{n}{n−1}ab^{n−1}) + φ(b^{n})
≤ φ(a^{n}) + φ(a^{n−1}b) + … + φ(ab^{n−1}) + φ(b^{n})
≤ (n + 1) max(φ(a), φ(b))^{n},

oder φ(a + b) ≤ \sqrt[n]{n + 1} max(φ(a), φ(b)). Da lim_{n⟶∞} \sqrt[n]{n + 1} = 1, ergibt sich φ(a + b) ≤ max(φ(a), φ(b)). Also ist φ nicht archimedisch. □

Bemerkung 17.8. Bei einer archimedischen Bewertung gibt es natürliche Zahlen m mit beliebig großer Bewertung φ(m), weil für φ(n) = 1 + δ gilt φ(n^{t}) = φ(n)^{t} ≥ 1 + t · δ. Dieses ist das archimedische Axiom in der Elementargeometrie.

Satz 17.9. Sei K ein endlicher Körper. Jede Bewertung von K ist trivial.

Beweis. Sei a ∈ K, a ≠ 0. Da K^{×} eine endliche Gruppe ist, gibt es ein m mit a^{m} = 1. Dann ist φ(a)^{m} = φ(a^{m}) = φ(1) = 1 in ℝ_{0}^{+}, also φ(a) = 1. □

Bemerkung 17.10. Die Dreiecksungleichung im p-adischen Fall ist |a+b|_{p} ≤ max(|a|_{p}, |b|_{p}). Sie bedeutet im Falle |a|_{p} ≠ |b|_{p} folgendes. O.E.d.A. sei |a|_{p} < |b|_{p}. Dann ist |a + b|_{p} ≤ |b|_{p}. Weiter ist |b|_{p} = |(a + b) − a|_{p} ≤ max(|a + b|_{p}, |a|_{p}). Wegen |b|_{p} > |a|_{p} ist dann |b|_{p} ≤ |a + b|_{p}, also folgt |b|_{p} = |a + b|_{p}. Wir haben gezeigt: Jedes Dreieck mit den Seiten a, b, a + b ist im p-adischen Fall gleichschenklig.

Bemerkung 17.11. Sei r ∈ ℝ^{+} und a ∈ R. Der Ring R sei nicht-archimedisch bewertet mit ||a|| := φ(a). Die offene Kreisscheibe um a mit dem Radius r sei

D(a, r) := {x ∈ R | ||x − a|| < r}.

Sei nun b ∈ D(a, r). Dann folgt

x ∈ D(a, r) ⇒ ||x − a|| < r ⇒
||x − b|| = ||(x − a) + (a − b)|| ≤ max(||x − a||, ||a − b||) < r ⇒
x ∈ D(b, r).

Analog zeigt man D(b, r) ⊆ D(a, r), also D(a, r) = D(b, r). Die offene Kreisscheibe mit Radius r um jeden Punkt b ∈ D(a, r) ist genau D(a, r).

18. Cauchy-Folgen

Definition 18.1. Sei φ = ||.|| : R ⟶ ℝ eine Bewertung. Eine Cauchy-Folge bzgl. φ ist eine Folge (a_{i})_{i∈ℕ} mit der Eigenschaft:

zu jedem ε > 0 in ℝ gibt es ein n_{0} ∈ ℕ, so daß für alle i, j > n_{0} gilt ||a_{i} − a_{j}|| < ε,

∀ε > 0, ε ∈ ℝ ∃n_{0} ∈ ℕ ∀i, j > n_{0} : ||a_{i} − a_{j}|| < ε.

Die Menge der Cauchyfolgen werde mit Ω_{φ} bezeichnet.

Definition 18.2. Zwei Bewertungen φ : R ⟶ ℝ und φ′ : R ⟶ ℝ heißen äquivalent, wenn jede Folge (a_{i})_{i∈ℕ} genau dann bzgl. φ eine Cauchy-Folge ist, wenn sie bzgl. φ′ eine Cauchy-Folge ist

Satz 18.3 (Ostrowski). Jede nicht-triviale Bewertung ||.|| auf ℚ ist äquivalent zur Ultranorm |.|_{p} für eine Primzahl p oder zur gewöhnlichen Norm |.|_{∞} := |.| auf ℚ.

Beweis. \underline{Fall 1:} Sei φ = ||.|| eine archimedische Bewertung. Dann existiert eine natürliche Zahl n mit ||n|| > 1. Sei n_{0} die kleinste natürliche Zahl mit ||n_{0}|| > 1. Beachte: n_{0} > 1. Daher existiert eine positive reelle Zahl α mit ||n_{0}|| = n_{0}^{α}. Wir drücken jede natürliche Zahl in ihrer n_{0}-adischen Zifferndarstellung aus:

n = a_{0} + a_{1}n_{0} + a_{2}n_{0}^{2} + … + a_{s}n_{0}^{s} mit 0 ≤ a_{i} < n_{0},

kurz

n = (a_{s} … a_{1}a_{0})_{n_{0}}.

Dann ist

\begin{matrix}||n|| ≤ ||a_{0}|| + ||a_{1}n_{0}|| + ||a_{2}n_{0}^{2}|| + … + ||a_{s}n_{0}^{s}|| \\ = ||a_{0}|| + ||a_{1}||n_{0}^{α} + ||a_{2}||n_{0}^{2α} + … + ||a_{s}||n_{0}^{sα} \end{matrix}

Da a_{i} < n_{0}, ist ||a_{i}|| ≤ 1, also ist

||n|| ≤ 1 + n_{0}^{α} + n_{0}^{2α} + … + n_{0}^{sα}
= n_{0}^{sα}(1 + n_{0}^{−α} + n_{0}^{−2α} + … + n_{0}^{−sα})
≤ n^{α} (∑_{i=0}^{∞}(1/n_{0}^{α})^{i}) ,

da n ≥ n_{0}^{s}. Da ∑_{i=0}^{∞}(1/n_{0}^{α})^{i} konvergiert und unabhängig von n ist, gibt es eine Konstante C mit

||n|| ≤ Cn^{α}

für alle n ∈ ℕ. Insbesondere ist

||n||^{N} = ||n^{N}|| ≤ C(n^{N})^{α} = C(n^{α})^{N}

oder

||n|| ≤ \sqrt[N]{C}n^{α}.

Wir bilden den Limes für N ⟶ ∞ und erhalten

||n|| ≤ n^{α}.

Es gilt aber auch die umgekehrte Ungleichung. Wie zuvor schreiben wir n = (a_{s} … a_{1}a_{0})_{n_{0}}. Dann gilt n_{0}^{s+1} > n ≥ n_{0}^{s}. Da ||n_{0}^{s+1}|| = ||n + n_{0}^{s+1} − n|| ≤ ||n|| + ||n_{0}^{s+1} − n||, erhalten wir

||n|| ≥ ||n_{0}^{s+1}|| − ||n_{0}^{s+1} − n|| ≥ n_{0}^{(s+1)α} − (n_{0}^{n+1} − n)^{α},

denn ||n_{0}^{s+1}|| = n_{0}^{(s+1)α} und nach der ersten Ungleichung gilt ||n_{0}^{s+1} − n|| ≤ (n_{0}^{n+1} − n)^{α}. Daraus erhalten wir

||n|| ≥ n_{0}^{(s+1)α} − (n_{0}^{s+1} − n_{0}^{s})^{α} (da n ≥ n_{0}^{s})
= n_{0}^{(s+1)α} [1 − (1 − \frac{1}{n_{0}} )^{α}]
≥ C′n^{α}

mit einer Konstanten C′, die von α und n_{0} abhängt, jedoch nicht von n. Insbesondere ist

||n||^{N} = ||n^{N}|| ≥ C′(n^{N})^{α} = C′(n^{α})^{N}

oder

||n|| ≥ \sqrt[N]{C′}n^{α}.

Wir bilden den Limes für N ⟶ ∞ und erhalten ||n|| ≥ n^{α}, also

||n|| = n^{α}.

Wegen der Verträglichkeit mit Produkten erhalten wir ||\frac{r}{s}|| = |\frac{r}{s}|^{α} für alle rationalen Zahlen \frac{r}{s} ∈ ℚ. Wir zeigen jetzt, daß die gewöhnliche Norm |x| äquivalent ist zur gegebenen Norm ||x||. Dazu betrachten wir a_{i} − a_{j} und untersuchen die Cauchyfolgenbedingung. Da α > 0 und damit die Funktion ℝ_{+} ∋ x ↦ x^{α} ∈ ℝ_{+} streng monoton wachsend ist, ist

|a_{i} − a_{j}| < ε ⟺ |a_{i} − a_{j}|^{α} < ε^{α}.

Damit ist (a_{i}) genau dann eine Cauchyfolge bzgl. |.|, wenn es eine Cauchyfolge bzgl. ||.|| ist. Die beiden Normen sind also äquivalent. \underline{Fall 2:} Sei φ = ||.|| eine nicht archimedische Bewertung. Dann gilt für jede natürliche Zahl n die Gleichung ||n|| ≤ 1. Sei n_{0} die kleinste natürliche Zahl mit ||n_{0}|| < 1. Ein solches n_{0} existiert, weil die Bewertung nicht trivial ist. Wir zeigen, daß n_{0} eine Primzahl ist. Sei n_{0} = n_{1} · n_{2} mit n_{1}, n_{2} < n_{0}. Dann ist ||n_{1}|| = ||n_{2}|| = 1 und damit ||n_{0}|| = ||n_{1}|| · ||n_{2}|| = 1. Also kann n_{0} nur eine Primzahl p := n_{0} sein. Sei q ≠ p eine weitere Primzahl in ℕ. Angenommen ||q|| < 1. Dann gibt es ein N mit ||q^{N}|| = ||q||^{N} < \frac{1}{2}. Weiter gibt es ein M mit ||q^{M}|| = ||q||^{M} < \frac{1}{2}. Da p^{M} und q^{N} teilerfremd sind, gibt es ganze Zahlen m und n mit mp^{M} + nq^{N} = 1. Es folgt

1 = ||1|| = ||mp^{M} + nq^{N}|| ≤ ||mp^{M}|| + ||nq^{N}|| = ||m|| ||p^{M}|| + ||n|| ||q^{N}||.

Wegen ||m||, ||n|| ≤ 1 folgt

1 ≤ ||p^{M}|| + ||q^{N}|| < \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1.

Also muß ||q|| = 1 für jede Primzahl q ≠ p sein. Für jede natürliche Zahl a = p_{1}^{i_{1}}p_{2}^{i_{2}} … p_{r}^{i_{r}} ∈ ℕ erhalten wir

||a|| = ||p_{1}^{i_{1}}p_{2}^{i_{2}} … p_{r}^{i_{r}}|| = ||p_{1}||^{i_{1}}||p_{2}||^{i_{2}} … ||p_{r}||^{i_{r}} = ||p||^{i},

wobei a = p^{i}b mit (p, b) = 1. Wegen der Verträglichkeit mit Produkten können wir die Norm auf ℚ für einen gekürzten Bruch \frac{a}{b} ∈ ℚ wie folgt ausdrücken:

||\frac{a}{b}|| = \frac{||a||}{||b||} = ||p||^{i}

mit dem eindeutig bestimmten i ∈ ℤ mit a = p^{i}a′ oder b = p^{−i}b′ und (p, a′) = (p, b′) = 1.

Die p-adischen Zahlen 35

Sei q := ||p||^{−1}. Dann gilt für a = p^{i}b mit b = \frac{c}{d} ∈ ℚ und c und d nicht teilbar durch p:

||a|| = q^{−i} und |a|_{p} = p^{−i}.

Es ist p^{k} < ε genau dann, wenn p < \sqrt[k]{ε} genau dann, wenn q < \frac{q}{p} \sqrt[k]{ε}. Daher ist eine Folge genau dann Cauchyfolge bzgl. der gegebenen Norm ||a||, wenn sie Cauchyfolge bzgl. der p-adischen Norm |a|_{p} ist. Die beiden Normen sind also äquivalent. □

19. Die p-adischen Zahlen

Definition 19.1. Sei φ = |.|_{p} : ℚ ⟶ ℝ die p-adische Bewertung und Ω_{φ} die Menge der Cauchyfolgen. Auf Ω_{φ} sei die Relation (a_{i}) ∼ (b_{i}) definiert durch die Bedingung

∀ε > 0 ∃n ∈ ℕ ∀i > n : φ(a_{i} − b_{i}) < ε.

Bemerkung 19.2. Sei (a_{i}) eine Cauchy-Folge in ℚ bezüglich der p-adischen Bewertung |.|_{p}. Dann gibt es zu jedem ε > 0 ein n_{0} ∈ ℕ, so daß für alle i, j > n_{0} gilt |a_{i} − a_{j}|_{p} = (1/p)^{k} < ε oder \frac{1}{\sqrt[k]{ε}} < p, wobei p^{k}die größte p Potenz ist, die a_{i} − a_{j} teilt. Beachte: für rationale a_{i} kann k auch negativ sein:

a = \frac{r}{s} = \frac{p^{u}r′}{p^{v}s′} = p^{u−v} \frac{r′}{s′}

mit (p, r′) = (p, s′) = 1. Man sieht so auch, daß die Werte, die |.|_{p} annehmen kann, von der Form p^{k}, k ∈ ℤ oder 0 sind. Sei r = \frac{a}{b} ∈ ℚ und r = p^{i} \frac{a′}{b′} mit (p, a′) = (p, b′) = 1. Dann ist |r|_{p} < ε genau dann, wenn p^{−i} < ε genau dann, wenn \frac{1}{ε} < p^{i}. Für kleine ε ist damit p^{i} und ebenso r ”groß“, genauer ein Vielfaches einer großen Potenz von p. Für ganze Zahlen a ∈ ℤ ist damit

|a|_{p} ≤ p^{−i} ⟺ p^{i}/a.

Satz 19.3. Sei φ die p-adische Bewertung von ℚ. Die Relation der vorangehenden Definition ist eine Äquivalenzrelation. Die Menge der Äquivalenzklassen

ℚ_{p} := Ω_{φ}/ ∼

ist ein Körper der Charakteristik 0 mit

\begin{matrix}\overline{(a_{i})} + \overline{(b_{i})} := \overline{(a_{i} + b_{i})} \\ \overline{(a_{i})} · \overline{(b_{i})} := \overline{(a_{i} · b_{i})}. \end{matrix}

Der Körper ℚ_{p} enthält ℚ als Unterkörper. Es existiert eine Fortsetzung der p-adischen Bewertung von ℚ auf ℚ_{p}, und ℚ_{p} ist vollständig bezüglich dieser Bewertungsfortsetzung, d.h. jede Cauchyfolge in ℚ_{p} hat einen Grenzwert in ℚ_{p}.

Beweis. Es ist klar, daß die Relation zwischen Cauchyfolgen reflexiv und symmetrisch ist. Sind (a_{i}), (b_{i}) und (c_{i}) Cauchyfolgen mit (a_{i}) ∼ (b_{i}) und (b_{i}) ∼ (c_{i}). Sei dann ε > 0 gegeben mit n_{1} ∈ ℕ, so daß für alle i > n_{1} gilt |a_{i} − b_{i}|_{p} < ε, und mit n_{2} ∈ ℕ, so daß für alle i > n_{2} gilt |b_{i} − c_{i}|_{p} < ε, so ist |a_{i} − c_{i}|_{p} = |(a_{i} − b_{i}) + (b_{i} − c_{i})|_{p} ≤ max(|a_{i} − b_{i}|_{p}, |b_{i} − c_{i}|_{p}) < ε für alle i > max(n_{1}, n_{2}), also (a_{i}) ∼ (c_{i}). Wir definieren zunächst die Einbettung von ℚ in ℚ_{p}. Jedem Element r ∈ ℚ ordenen wir zu die Äquivalenzklasse der konstanten Cauchyfolge (r). Diese Abbildung ist injektiv, denn wenn \overline{(r)} = \overline{(s)} gilt, so sind (r) und (s) äquivalent. Sei r ≠ s und 0 < ε < |r − s|_{p}. Dann gibt es ein n, so daß für alle i > n gilt |r − s| < ε, ein Widerspruch. Also gilt r = s.

Wir bezeichnen die konstante Folge (r) mit r und identifizieren so ℚ mit einer Teilmenge von ℚ_{p}. Wir benötigen für unsere Rechnungen, daß die Cauchyfolgen ”beschränkt“ sind. Sei (a_{i}) eine Cauchyfolge. Für ε = 1 sei |a_{i} − a_{j}| < 1 für alle i, j ≥ n. Dann ist offenbar |a_{k}|_{p} ≤ max(1, |a_{1}|_{p}, …, |a_{n}|_{p}) für k ≤ n. Es ist aber auch für i > n

|a_{i}|_{p} = |(a_{i} − a_{n}) + a_{n}|_{p} ≤ max(|a_{i} − a_{n}|_{p}, |a_{n}|_{p}) ≤ max(1, |a_{1}|_{p}, …, |a_{n}|_{p}).

Seien nun a, b ∈ ℚ_{p} mit a = \overline{(a_{i})} und b = \overline{(b_{i})}. Wir definieren a + b als die Äquivalenzklasse, die von (a_{i} + b_{i}) repräsentiert wird. Das ist eine Cauchyfolge, denn

|a_{i} + b_{i} − a_{j} − b_{j}|_{p} ≤ max(|a_{i} − a_{j}|_{p}, |b_{i} − b_{j}|_{p}) < ε

für i, j > max(n_{a}, n_{b}). Wenn andere Repräsentanten gegeben sind: a = \overline{(a′_{i})} und b = \overline{(b′_{i})}, so ist

|a′_{i} + b′_{i} − a_{i} − b_{i}|_{p} = |(a′_{i} − a_{i}) + (b′_{i} − b_{i})|_{p} ≤ max(|a′_{i} − a_{i}|_{p}, |b′_{i} − b_{i}|_{p}) < ε

für i > max(n_{a}, n_{b}). Seien a, b ∈ ℚ_{p} mit a = \overline{(a_{i})} und b = \overline{(b_{i})}. Wir definieren a · b als die Äquivalenzklasse, die von (a_{i} · b_{i}) repräsentiert wird. Das ist eine Cauchyfolge, denn

|a_{i} · b_{i} − a_{j} · b_{j}|_{p} = |a_{i}(b_{i} − b_{j}) + (a_{i} − a_{j})b_{j}|_{p} ≤ max(|a_{i}|_{p}|b_{i} − b_{j}|_{p}, |a_{i} − a_{j}|_{p}|b_{j}|_{p}) < ε

für i, j > max(n_{a}, n_{b}), wobei |a_{i} − a_{j}|_{p} < ε/ sup(1, |b_{i}|_{p}) und |b_{i} − b_{j}|_{p} < ε/ sup(1, |a_{i}|_{p}) für alle i, j > max(n_{a}, n_{b}). Wenn andere Repräsentanten gegeben sind: a = \overline{(a′_{i})} und b = \overline{(b′_{i})}, so ist

|a′_{i} · b′_{i} − a_{i} · b_{i}|_{p} = |a′_{i}(b′_{i} − b_{i}) + b_{i}(a′_{i} − a_{i})|_{p} ≤ max(|a′_{i}|_{p}|b′_{i} − b_{i}|_{p}, |b_{i}|_{p}|a′_{i} − a_{i}|_{p}) < ε

für i > max(n_{a}, n_{b}). Das additive Inverse von \overline{(a_{i})} ist \overline{(−a_{i})}. Da alle Operationen ”komponentenweise“definiert sind, wird ℚ_{p} damit ein kommutativer Ring. Um das multiplikative Inverse von \overline{(a_{i})} ≠ 0 zu bilden, ändern wir (a_{i}) ab zu der Folge (b_{i}), die durch Fortlasen aller Nullen entsteht. Offenbar ist dann |a_{i} − b_{i}|_{p} = |a_{i} − a_{j}|_{p} < ε für genügend große i < j. Dann bilden wir \overline{(a_{i})}^{−1} = \overline{(b_{i}^{−1})}. Man zeigt leicht, daß dieses eine Cauchyfolge ergibt, deren Äquivalenzklasse invers zu \overline{(a_{i})} ist. Ebenso zeigt man leicht, daß diese Konstruktion nicht von der Wahl des Repräsentanten für \overline{(a_{i})} abhängt. Damit wird ℚ_{p} ein Körper, und ℚ ist offenbar vermöge der Identifizierung ein Unterkörper. Wir definieren nun eine Fortsetzung der p-adischen Bewertung auf ℚ_{p}. Sei a = \overline{(a_{i})}. Wir definieren

|a|_{p} := lim_{i⟶∞} |a_{i}|_{p}.

Wenn a = 0, dann ist (a_{i}) eine Nullfolge, also ist |a_{i}|_{p} = |a_{i} − 0|_{p} < ε für i > n. Damit ist |a|_{p} = lim_{i⟶∞} |a_{i}|_{p} = 0. Wenn a ≠ 0, dann gibt es ein ε > 0, so daß für jedes n ein i_{n} > n existiert mit |a_{i_{n}}|_{p} > ε. Das ist die Negation der Definition einer Nullfolge. Wählen wir nun n so groß, daß |a_{i} − a_{j}|_{p} < ε für alle i, j > n, dann ist insbesondere |a_{i} − a_{i_{n}}|_{p} < ε. Da |a_{i_{n}}|_{p} > ε, folgt aus Bemerkung 17.10 |a_{i}|_{p} = |a_{i_{n}}|_{p} für alle i > n. Also ist lim_{i⟶∞} |a_{i}|_{p} = |a_{i_{n}}|_{p}. Dieses merkwürdige Verhalten liegt an der Tatsache, daß die Werte von |.|_{p} nach Bemerkung 19.2 von der Form p^{k}, k ∈ ℤ oder 0 sind.

Seien a = \overline{(a_{i})} und b = \overline{(b_{i})} in ℚ_{p} gegeben. Dann ist |a + b|_{p} = lim_{i⟶∞} |a_{i} + b_{i}|_{p} ≤ lim_{i⟶∞} max(|a_{i}|_{p}, |b_{i}|_{p}) = max(lim_{i⟶∞} |a_{i}|_{p}, lim_{i⟶∞} |b_{i}|_{p}). Ebenso ist |a·b|_{p} = lim_{i⟶∞} |a_{i}· b_{i}|_{p} = lim_{i⟶∞}(|a_{i}|_{p}·|b_{i}|_{p}) = lim_{i⟶∞} |a_{i}|_{p}·lim_{i⟶∞} |b_{i}|_{p} = |a|_{p}|b|_{p}. Also ist |.|_{p} eine Ultranorm auf ℚ_{p}. Als Letztes bleibt zu zeigen, daß ℚ_{p} vollständig ist. Sei (a_{j}|j ∈ ℕ) eine Cauchyfolge in ℚ_{p}. Für die Äquivalenzklassen a_{j} seien Repräsentanten (a_{ji}|i ∈ ℕ) ausgewählt, also a_{j} = \overline{(a_{ji})_{i}}. Wir bestimmen Zahlen n_{j} ∈ ℕ so, daß

|a_{ji} − a_{jk}|_{p} < p^{−j} für alle i, k ≥ n_{j}.

Weiter wählen wir die Zahlen n_{j} aufsteigend, so daß i < j impliziert n_{i} < n_{j}. Insbesondere sind dann i ≤ n_{i}. Dann bilden wir die Folge (a_{jn_{j}}|j ∈ ℕ). Dieses ist eine Cauchyfolge, denn für ε > 0 folgt aus |a_{j} − a_{k}| < ε/2 die Ungleichung lim_{i⟶∞} |a_{ji} − a_{ki}|_{p} < ε/2. Damit ist |a_{ji} − a_{ki}| < ε für genügend große i, j, k. Es folgt für j > l

|a_{jn_{j}} − a_{ln_{l}}|_{p} = |a_{jn_{j}} − a_{ln_{j}} + a_{ln_{j}} − a_{ln_{l}}|_{p} ≤ max(|a_{jn_{j}} − a_{ln_{j}}|_{p}, p^{−j}) < ε

für genügend große j und l und damit n_{j} und n_{l}. Weiter ist \overline{(a_{jn_{j}})} der Limes der Folge (a_{j}) wegen |a_{ji} − a_{jn_{j}}|_{p} < p^{−j} für alle j und genügend große i. □

Definition 19.4. Sei φ_{p} die p-adische Bewertung auf ℚ. Der Körper

ℚ_{p} := Ω_{p}/ ∼,

heißt Körper der p-adischen Zahlen.

Lemma 19.5. Die Menge

ℤ_{p} := {x ∈ ℚ_{p}||x|_{p} ≤ 1}

ist ein Integritätsring und heißt Ring der p-adischen ganzen Zahlen.

Beweis. Wenn x, y ∈ ℤ_{p}, dann ist φ_{p}(xy) = φ_{p}(x)φ_{p}(y) ≤ 1 und φ_{p}(x+y) ≤ max(φ_{p}(x), φ_{p}(y)) ≤ 1. Damit ist ℤ_{p} ⊆ ℚ_{p} ein Unterring. □

Lemma 19.6. Sei a ∈ ℚ mit |a|_{p} ≤ 1. Dann gibt es zu jedem i eine ganze Zahl r ∈ ℤ, so daß |r − a|_{p} ≤ p^{−i}. Die Zahl r kann aus der Menge {0, 1, 2, …, p^{i} − 1} gewählt werden.

Beweis. Sei a = \frac{b}{c} mit (b, c) = 1 gekürzt. Da |a|_{p} ≤ 1, ist c nicht durch p teilbar, also ist (p^{i}, c) = 1. Es gibt m, n ∈ ℤ mit mc + np^{i} = 1. Wir betrachten m als Approximation des Inversen von c, denn mc ≡ 1 mod p^{i} und p^{i}/mc−1 impliziert |mc − 1|_{p} ≤ p^{−i}. Sei r := bm. Dann sollte r eine gute Approximation von \frac{b}{c} sein. Tatsächlich ist

|r − a|_{p} = |bm − \frac{b}{c}|_{p} = |\frac{b}{c}|_{p}|mc − 1|_{p} ≤ |mc − 1|_{p} = |np^{i}|_{p} = |n|_{p}p^{−i} ≤ p^{−i}.

Schließlich können wir Vielfache von p^{i} zu r addieren, um eine ganze Zahl zwischen 0 und p^{i} − 1 zu erhalten, die weiterhin |r − a|_{p} ≤ p^{−i} erfüllt. □

Satz 19.7. Jedes Element a in ℤ_{p} besitzt genau eine Cauchyfolge (a_{i}|i ∈ ℕ_{0}) als Repräsentanten, für die gilt:

(1) 0 ≤ a_{i} < p^{i+1} für i = 0, 1, 2, 3, …;

(2) a_{i} ≡ a_{i+1} mod p^{i+1} für i = 0, 1, 2, 3, . . ..

Beweis. Eindeutigkeit: Sei (b_{i}) eine weitere Folge, die (1) und (2) erfüllt. Sei a_{i_{0}} ≠ b_{i_{0}}. Dann ist auch a_{i_{0}} ≢ b_{i_{0}} mod p^{i_{0}}, weil beide Terme zwischen 0 und p^{i_{0}} liegen. Für alle i ≥ i_{0} gilt dann wegen (2)

a_{i} ≡ a_{i_{0}} ≢ b_{i_{0}} ≡ b_{i} mod p^{i_{0}}

also a_{i} ≢ b_{i} mod p^{i_{0}}. Damit ist

|a_{i} − b_{i}|_{p} > p^{−i_{0}}

für alle i ≥ i_{0}, also (a_{i}) ≁ (b_{i}). Sei nun eine beliebige Cauchyfolge (b_{i}) gegeben (a = \overline{(b_{i})}). Wir suchen eine dazu äquivalente Folge (a_{i}), die (1) und (2) erfüllt. Für alle j = 1, 2, 3, … sei n_{j} die natürliche Zahl, so daß |b_{i} − b_{k}|_{p} ≤ p^{j} für alle i, k ≥ n_{j}. Wir wählen die n_{j} streng monoton wachsend, also insbesondere n_{j} ≥ j. Wir haben |b_{i}|_{p} ≤ 1 für alle i ≥ n_{1}, denn für alle k ≥ n_{1} gilt

|b_{i}|_{p} ≤ max(|b_{k}|_{p}, |b_{i} − b_{k}|_{p}) ≤ max(|b_{k}|_{p}, p^{−1}),

und |b_{k}|_{p} ⟶ |a|_{p} ≤ 1 mit k ⟶ ∞. Wir können daher Lemma 19.6 anwenden und konstruieren ganze Zahlen a_{i} mit 0 ≤ a_{i} < p^{i}, so daß

|a_{i} − b_{n_{i}}|_{p} ≤ p^{−i}.

Wir zeigen, daß (a_{i}) die gewünschten Eigenschaften hat. Es ist nämlich

|a_{i+1} − a_{i}|_{p} = |a_{i+1} − b_{n_{i+1}} + b_{n_{i+1}} − b_{n_{i}} − (a_{i} − b_{n_{i}})|_{p}
≤ max(|a_{i+1} − b_{n_{i+1}}|_{p}, |b_{n_{i+1}} − b_{n_{i}}|_{p}, |a_{i} − b_{n_{i}})|_{p})
≤ max(p^{−(i+1)}, p^{−i}, p^{−i})
= p^{−i}.

Damit ist a_{i+1} ≡ a_{i} mod p^{−i}. Weiter sei i gegeben und k ≥ n_{i}. Dann ist

|a_{k} − b_{k}|_{p} = |a_{k} − a_{i} + a_{i} − b_{n_{i}} − (b_{k} − b_{n_{i}})|_{p}
≤ max(|a_{k} − a_{i}|_{p}, |a_{i} − b_{n_{i}}|_{p}, |b_{k} − b_{n_{i}}|_{p})
≤ max(p^{−i}, p^{−i}, p^{−i})
≤ p^{−i}.

Folglich ist lim_{i⟶∞} |a_{i} − b_{i}|_{p} = 0 und damit (b_{i}) ∼ (a_{i}). □

Folgerung 19.8 (Die Darstellung von p-adischen ganzen Zahlen). Jedes Element a in ℤ_{p} besitzt genau eine Darstellung

a = ∑_{i=0}^{∞} a_{i}p^{i} = (… a_{2}a_{1}a_{0})_{p}

zur Basis p, für die gilt: 0 ≤ a_{i} < p für alle i ∈ ℕ_{0}, und jede so definierte Folge von natürlichen Zahlen stellt ein Element a in ℤ_{p} dar.

Beweis. Wie in Definition 16.4 schreiben wir die Folge (b_{i}), die wir gemäß Satz 19.7 zu a bilden, in einer Darstellung zur Basis p

b_{n} := ∑_{k=0}^{n} a_{k}p^{k} = (a_{n}a_{n−1} … a_{1}a_{0})_{p}.

Wegen (2) b_{n−1} ≡ b_{n} mod p^{n} unterscheiden sich b_{n−1} und b_{n} um ein Vielfaches von p^{n}, so daß bei der Darstellung von b_{n} dieselben Ziffern a_{n−1} … a_{1}a_{0} verwendet werden, wie bei der Darstellung von b_{n−1}. Da gilt (1) 0 ≤ b_{n} < p^{n+1}, folgt für den Faktor a_{n} die Ungleichung 0 ≤ a_{n} < p. Umgekehrt erfüllt jede Folge (b_{n}) = (∑_{k=0}^{n} a_{k}p^{k}) von Teilsummen mit 0 ≤ a_{i} < p die Bedingungen (1) und (2) aus dem Satz 19.7 und ist damit insbesondere eine Cauchyfolge. Offenbar ist |\overline{(b_{i})}|_{p} = lim_{i⟶∞} |b_{i}|_{p} = lim_{i⟶∞} p^{−k} = p^{−k} ≤ 1, wobei k bestimmt ist durch die Bedingung a_{0} = … = a_{k−1} = 0. Also ist \overline{(b_{i})} in ℤ_{p}. Damit können wir die p-adischen ganzen Zahlen aus ℤ_{p} eindeutig darstellen als

a = (… a_{2}a_{1}a_{0})_{p}.
□

Bemerkung 19.9 (Die Darstellung von p-adischen Zahlen). Wenn a eine p-adische Zahl in ℚ_{p} \ ℤ_{p} ist, dann ist |a|_{p} = p^{n} für ein n > 0. Wir multiplizieren a mit p^{n} und erhalten b = p^{n}a mit |b|_{p} ≤ 1. Dann läßt sich b schreiben als b = (… a_{2}a_{1}a_{0})_{p} oder als Äquivalenzklasse der Teilsummenfolge (∑_{k=0}^{m} a_{k}p^{k}). Dann läßt sich a schreiben als Äquivalenzklasse der Teilsummenfolge (∑_{k=0}^{m}(a_{k} · p^{−n})p^{k}) = (∑_{k=−n}^{m} a_{k+n}p^{k}) = (∑_{k=−n}^{m} a′_{k}p^{k}) mit a′_{k} := a_{k+n} für alle k ≥ −n. Die p-adische Zahl a hat damit eine eindeutige p-adische Darstellung

a = (… a_{2}a_{1}a_{0}, a_{−1}a_{−2} … a_{−n})_{p}.

Sie kann mit einem unendlichen Dezimalbruch verglichen werden. Die ”kleinen“ Terme stehen in dieser Darstellung jedoch links mit der Bedeutung a_{n}p^{n} und der Norm p^{−n}.

Folgerung 19.10 (Die p-adischen Einheiten). Sei a ∈ ℤ_{p} eine p-adische ganze Zahl. Dann sind äquivalent:

(1) a ist in ℤ_{p} invertierbar.

(2) |a|_{p} = 1.

(3) a hat die p-adische Darstellung a = (… a_{2}a_{1}a_{0})_{p} mit a_{0} ≠ 0.

(4) a ist per Definition eine p-adische Einheit.

Beweis. Sei a ∈ ℤ_{p}. Die Zahl a ist invertierbar in ℤ_{p} genau dann, wenn ein b ∈ ℤ_{p} existiert mit ab = 1. Daraus folgt |ab|_{p} = |a|_{p}|b|_{p} = |1|_{p} = 1, also muß gelten |a|_{p} = 1. Ist umgekehrt |a|_{p} = 1 also insbesondere a ≠ 0, so gilt für das Inverse b ∈ ℚ_{p} von a die Gleichung |a|_{p}|b|_{p} = |ab|_{p} = |1|_{p} = 1, also |b|_{p} = 1. Damit ist nach Definition b ∈ ℤ_{p}, also a in ℤ_{p} invertierbar. Mit der p-adischen Darstellung von a = (… a_{2}a_{1}a_{0})_{p} gilt |a|_{p} = p^{−k}, wenn a_{0} = a_{1} = … = a_{k−1} = 0. Damit folgt auch die Äquivalenz (2) ⟺ (3). □

Bemerkung 19.11 (Diverse Resultate). (1) Die Körper ℝ, ℂ, ℚ_{p} (für alle Primzahlen p) sind paarweise nicht isomorphe Erweiterungen von ℚ, also alle von Charakteristik 0. Insbesondere sind alle Polynome über diesen Körpern und allen Unterkörpern separabel.

(2) Eine p-adische Darstellung

a = (… a_{2}a_{1}a_{0}, a_{−1}a_{−2} … a_{−n})_{p}

bricht genau dann ab (a_{i} = 0 für alle i > n), wenn a eine eine positive rationale Zahl ist, deren Nenner eine Potenz von p ist.

(3) Ein p-adische Darstellung von a ist periodisch genau dann, wenn a ∈ ℚ.

(4) (”Fermat“) Die Gleichung x^{p} − x = 0 hat p verschiedene Nullstellen a_{0}, …, a_{p−1} in ℚ_{p} (Teichmüller Ziffern). Diese erfüllen a_{i} ≡ i mod p.

(5) (”Eisensteinkriterium“) Sei f(x) = ∑_{k=0}^{n} a_{k}x^{k} ein Polynom in ℤ_{p}[x]. Wenn a_{i} ≡ 0 mod p für i = 0, …, n − 1, a_{n} ≢ 0 mod p und wenn a_{0} ≢ 0 mod p^{2}, dann ist f(x) irreduzibel in ℚ_{p}.

(6) Eine Reihe ∑_{i=0}^{∞} c_{i} mit c_{i} in ℚ_{p} konvergiert genau dann, wenn (c_{i}) eine Nullfolge bilden.

(7) ℤ_{p} ist folgenkompakt, d.h. jede Folge in ℤ_{p} hat eine konvergente Teilfolge.

(8) Der algebraische Abschluß \overline{ℚ_{p}} von ℚ_{p} ist nicht vollständig, trägt jedoch eine p-adische Topologie. Die Vervollständigung Ω von \overline{ℚ_{p}} ist algebraisch abgeschlossen. Ω ist das beste nicht archimedische Analogon zu den komplexen Zahlen ℂ.