Mathematisches Institut WS 2002/2003 der Universität München Blatt 9 Prof. Dr. B. Pareigis

Algebra I

33. Sei R := ℤ[\sqrt{−5}] = \{a + b\sqrt{−5} | a, b ∈ ℤ\}. Zeigen Sie:

(a) Die Elemente 2, 3, 1 + \sqrt{−5} und 1 − \sqrt{−5} von R sind irreduzible Elemente, von denen keine zwei assoziiert sind.

(b) Entscheiden Sie, ob R faktoriell ist.

(Hinweis: Beachten Sie: 6 = 2 · 3 = (1 + \sqrt{−5})(1 − \sqrt{−5}).) (6)

34. Sei R ein Integritätsring und x, a, b ∈ R. Man zeige:

(a) Ist x Produkt von Primelementen, so gibt es nur endlich viele Hauptideale von R, die x enthalten.

(b) Genau dann besitzt das Paar a, b ein kleinstes gemeinsames Vielfaches, wenn für alle r ∈ R das Paar ra, rb einen größten gemeinsamen Teiler besitzt. (6)

35. Zeigen Sie: Jeder endliche nullteilerfreie Ring ist ein Körper. (4)

36. Bestimmen Sie den Zerfällungskörper des Polynoms x^{4} − 2 ∈ ℚ[x]. Geben Sie den Grad dieses Zerfällungskörpers über ℚ an. (4)

Abgabe: Dienstag, 21.1.2003, 11.15 Uhr, Übungskästen im 1. Stock des Mathematischen Instituts. Bitte geben Sie auf Ihrer Lösung Ihren Namen und Ihre Übungsgruppe an.